Kombinace

Počet kombinací ${\displaystyle k}$ -té třídy z ${\displaystyle n}$ -prvků bez opakování, neuspořádaných ${\displaystyle k}$ -tic vybraných z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou, je

${\displaystyle C_{k}(n)={n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$ ,

kde symbol ${\displaystyle {n \choose k}}$  představuje kombinační číslo, „n nad k“.

Mějme skupinu tří prvků ${\displaystyle a,b,c}$ , tzn. ${\displaystyle n=3}$ .

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat třemi možnými způsoby, tzn. vybereme ${\displaystyle a}$  nebo ${\displaystyle b}$  nebo ${\displaystyle c}$ . Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. ${\displaystyle k=1}$ , a tedy počet výběrů je roven

${\displaystyle C_{1}(3)={3 \choose 1}={3! \over {1!\cdot (3-1)!}}={3\cdot 2! \over 2!}=3}$ 

Chceme-li z uvedené trojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: ${\displaystyle ab}$ , ${\displaystyle ac}$ , ${\displaystyle bc}$ . Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy ${\displaystyle k=2}$ ) bez opakování. Pro počet dvojic pak dostáváme

${\displaystyle C_{2}(3)={3 \choose 2}=3}$ 

Pokud chceme z uvedené trojice prvků vybrat vždy tři, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat pouze jedinou trojici prvků: ${\displaystyle abc}$ . Jedná se o kombinaci třetí třídy (tedy ${\displaystyle k=3}$ ) bez opakování. Pro počet trojic tedy platí

${\displaystyle C_{3}(3)={3 \choose 3}=1}$ 

Jaký je počet možných různých tahů Sportky, kde se z celkem 49 čísel náhodně vybírá 6 čísel?

${\displaystyle C_{6}(49)={49 \choose 6}={49! \over {6!\cdot (49-6)!}}={49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43! \over {720\cdot 43!}}=13~983~816}$ 

Počet kombinací ${\displaystyle k}$ -té třídy z ${\displaystyle n}$  prvků s opakováním, tzn. každý prvek se ve výběru může objevit vícekrát, je určen vztahem

${\displaystyle C_{k}^{\prime }(n)={{(n+k-1)} \choose n-1}={{(n+k-1)} \choose k}={(n+k-1)! \over k!(n-1)!}}$ 

Mějme skupinu dvou prvků ${\displaystyle a,b}$ , tzn. ${\displaystyle n=2}$ .

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat dvěma možnými způsoby, tzn. vybereme ${\displaystyle a}$  nebo ${\displaystyle b}$ . Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. ${\displaystyle k=1}$ , a tedy počet výběrů je roven

${\displaystyle C_{1}^{\prime }(2)={{(2+1-1)} \choose 1}={2 \choose 1}=2}$ 

Je vidět, že u kombinací první třídy není třeba rozlišovat, zda jsou s opakováním nebo bez opakování.

Chceme-li z uvedené dvojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a každý prvek můžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: ${\displaystyle aa}$ , ${\displaystyle ab}$ , ${\displaystyle bb}$ . Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy ${\displaystyle k=2}$ ) s opakováním. Pro počet dvojic pak dostáváme

${\displaystyle C_{2}^{\prime }(2)={{(2+2-1)} \choose 2}={3 \choose 2}=3}$ 

Obdobně bychom dostali ${\displaystyle C_{3}^{\prime }(2)={{(2+3-1)} \choose 3}={4 \choose 3}=4}$ , atd.

• Odmaturuj z matematiky. [s.l.]: Didaktis, 2003 (druhé opravené vydání). ISBN 80-86285-97-9. Kapitola 35.Kombinatorika. 

• Permutace
• Variace

•   Obrázky, zvuky či videa k tématu kombinace na Wikimedia Commons
•   Téma Kombinace ve Wikicitátech
•   Slovníkové heslo kombinace ve Wikislovníku