Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
im Punkt
(
cosh
A
,
sinh
A
)
{\displaystyle (\cosh A,\sinh A)}
, wobei
A
{\displaystyle A}
die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild an der
x
{\displaystyle x}
-Achse, und der Hyperbel ist.
Definition über die Exponentialfunktion
Bearbeiten
Mittels der Exponentialfunktion können
sinh
{\displaystyle \sinh }
und
cosh
{\displaystyle \cosh }
wie folgt definiert werden:
sinh
(
z
)
:=
e
z
−
e
−
z
2
{\displaystyle \sinh(z):={\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{2}}}
cosh
(
z
)
:=
e
z
+
e
−
z
2
{\displaystyle \cosh(z):={\frac {\mathrm {e} ^{z}+\mathrm {e} ^{-z}}{2}}}
Daher sind die hyperbolischen Funktionen periodisch (mit rein imaginärer Periode).
Die Potenzreihen von
cosh
{\displaystyle \cosh }
und
sinh
{\displaystyle \sinh }
lauten
sinh
(
z
)
=
z
+
z
3
3
!
+
z
5
5
!
+
z
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
cosh
(
z
)
=
1
+
z
2
2
!
+
z
4
4
!
+
z
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
z
2
n
(
2
n
)
!
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(z)&=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{7}}{7!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cosh(z)&=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}\,,\end{aligned}}}
wobei der Ausdruck
n
!
{\displaystyle n!}
für die Fakultät von
n
{\displaystyle n}
, das Produkt der ersten
n
{\displaystyle n}
natürlichen Zahlen steht. Im Gegensatz zu den Potenzreihenentwicklungen von
cos
{\displaystyle \cos }
und
sin
{\displaystyle \sin }
haben alle Terme ein positives Vorzeichen.
Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel
Bearbeiten
Wegen ihrer Verwendung zur Parametrisierung der Einheitshyperbel
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
:
x
=
cosh
(
t
)
,
y
=
sinh
(
t
)
{\displaystyle x=\cosh(t),y=\sinh(t)}
werden sie Hyperbelfunktionen genannt, in Analogie zu den Kreisfunktionen Sinus und Kosinus, die den Einheitskreis
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
parametrisieren:
x
=
cos
(
t
)
,
y
=
sin
(
t
)
{\displaystyle x=\cos(t),y=\sin(t)}
Die Funktionen stellen eine Verbindung her zwischen der Fläche
A
{\displaystyle A}
, die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der
x
{\displaystyle x}
-Achse sowie der Hyperbel eingeschlossen wird, und der Länge verschiedener Strecken.
Dabei ist
sinh
(
A
)
{\displaystyle \sinh(A)}
die (positive)
y
{\displaystyle y}
-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und
cosh
(
A
)
{\displaystyle \cosh(A)}
die dazugehörige
x
{\displaystyle x}
-Koordinate;
tanh
(
A
)
{\displaystyle \tanh(A)}
ist die
y
{\displaystyle y}
-Koordinate der Geraden bei
x
=
1
{\displaystyle x=1}
, d. h. die Steigung der Geraden.
Berechnet man die Fläche durch Integration , erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.
Eigenschaften der reellen Hyperbelfunktionen
Bearbeiten
Graph der reellen Hyperbelfunktionen
Für alle reellen Zahlen
x
{\displaystyle x}
sind auch
sinh
(
x
)
{\displaystyle \sinh(x)}
und
cosh
(
x
)
{\displaystyle \cosh(x)}
reell.
Die reelle Funktion
sinh
{\displaystyle \sinh }
ist streng monoton steigend und besitzt in
x
=
0
{\displaystyle x=0}
ihren einzigen Wendepunkt.
Die reelle Funktion
cosh
{\displaystyle \cosh }
ist auf dem Intervall
(
−
∞
,
0
]
{\displaystyle (-\infty ,0]}
streng monoton fallend, auf dem Intervall
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
streng monoton steigend und besitzt bei
x
=
0
{\displaystyle x=0}
ein globales Minimum.
Wegen
sinh
,
cosh
:
R
↦
R
{\displaystyle \sinh ,\cosh \colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} }
gelten alle Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen, die im nachfolgenden Absatz aufgeführt sind, auch für die Funktionen, die auf die reellen Zahlen eingeschränkt sind.
Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen
Bearbeiten
Für alle komplexen Zahlen
z
,
z
1
,
z
2
{\displaystyle z,z_{1},z_{2}}
gilt:
sinh
(
−
z
)
=
−
sinh
(
z
)
{\displaystyle \sinh(-z)=-\sinh(z)}
, d. h., sinh ist eine ungerade Funktion .
cosh
(
z
)
=
cosh
(
−
z
)
{\displaystyle \cosh(z)=\cosh(-z)}
, d. h., cosh ist eine gerade Funktion.
sinh
(
z
)
=
sinh
(
z
+
2
π
i
)
und
cosh
(
z
)
=
cosh
(
z
+
2
π
i
)
{\displaystyle \sinh(z)=\sinh(z+2\pi \mathrm {i} )\quad {\text{ und }}\quad \cosh(z)=\cosh(z+2\pi \mathrm {i} )}
,
d. h., es liegt rein „imaginäre Periodizität“ vor mit minimaler Periodenlänge
2
π
{\displaystyle 2\pi }
.
sinh
(
z
1
±
z
2
)
=
sinh
(
z
1
)
⋅
cosh
(
z
2
)
±
sinh
(
z
2
)
⋅
cosh
(
z
1
)
{\displaystyle \sinh(z_{1}\pm z_{2})=\sinh(z_{1})\cdot \cosh(z_{2})\pm \sinh(z_{2})\cdot \cosh(z_{1})}
cosh
(
z
1
±
z
2
)
=
cosh
(
z
1
)
⋅
cosh
(
z
2
)
±
sinh
(
z
1
)
⋅
sinh
(
z
2
)
{\displaystyle \cosh(z_{1}\pm z_{2})=\cosh(z_{1})\cdot \cosh(z_{2})\pm \sinh(z_{1})\cdot \sinh(z_{2})}
tanh
(
z
1
±
z
2
)
=
tanh
(
z
1
)
±
tanh
(
z
2
)
1
±
tanh
(
z
1
)
tanh
(
z
2
)
{\displaystyle \tanh(z_{1}\pm z_{2})={\frac {\tanh(z_{1})\pm \tanh(z_{2})}{1\pm \tanh(z_{1})\tanh(z_{2})}}}
cosh
2
(
z
)
−
sinh
2
(
z
)
=
1
{\displaystyle {\cosh }^{2}(z)-{\sinh }^{2}(z)=1}
cosh
z
+
sinh
z
=
e
z
{\displaystyle \cosh z+\sinh z\ =\mathrm {e} ^{z}}
cosh
z
−
sinh
z
=
e
−
z
{\displaystyle \cosh z-\sinh z\ =\mathrm {e} ^{-z}}
Die Ableitung des Sinus hyperbolicus lautet:
d
d
z
sinh
(
z
)
=
cosh
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\sinh }(z)=\cosh(z)}
.
Die Ableitung des Kosinus hyperbolicus lautet:
d
d
z
cosh
(
z
)
=
sinh
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\cosh }(z)=\sinh(z)}
.
Die Ableitung des Tangens hyperbolicus lautet:
d
d
z
tanh
(
z
)
=
1
−
tanh
2
(
z
)
=
1
cosh
2
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\tanh }(z)=1-{\tanh }^{2}(z)={\frac {1}{\cosh ^{2}(z)}}}
.
Die Funktionen
sinh
(
z
)
{\displaystyle \sinh(z)}
und
cosh
(
z
)
{\displaystyle \cosh(z)}
bilden wie
e
z
{\displaystyle e^{z}}
und
e
−
z
{\displaystyle e^{-z}}
eine Lösungsbasis (Fundamentalsystem ) der linearen Differentialgleichung
d
2
d
z
2
f
(
z
)
=
f
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}f(z)=f(z)}
.
Fordert man allgemein für die beiden Basislösungen
f
i
(
z
)
{\displaystyle f_{i}(z)}
dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung noch
f
1
(
0
)
=
0
{\displaystyle f_{1}(0)=0}
,
f
1
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle f_{1}'(0)=1}
und
f
2
(
0
)
=
1
{\displaystyle f_{2}(0)=1}
,
f
2
′
(
0
)
=
0
{\displaystyle f_{2}'(0)=0}
, so sind sie bereits eindeutig durch
sinh
{\displaystyle \sinh }
und
cosh
{\displaystyle \cosh }
festgelegt. Sprich, diese Eigenschaft kann ebenfalls als Definition dieser beiden Hyperbelfunktionen herangezogen werden.
Bijektivität der komplexen Hyperbelfunktionen
Bearbeiten
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A
:=
{
z
∈
C
∣
−
π
/
2
<
Im
z
<
π
/
2
}
{\displaystyle A:=\{z\in \mathbb {C} \mid -\pi /2<\operatorname {Im} \,z<\pi /2\}}
B
:=
{
z
∈
C
∣
Re
z
≠
0
∨
|
Im
z
|
<
1
}
{\displaystyle B:=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} \,z\neq 0\vee |\operatorname {Im} \,z|<1\}}
Dann bildet die komplexe Funktion
sinh
{\displaystyle \sinh }
den „Streifen“
A
{\displaystyle A}
bijektiv auf
B
{\displaystyle B}
ab.
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A
:=
{
z
∈
C
∣
0
<
Im
z
<
π
}
{\displaystyle A:=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<\operatorname {Im} \,z<\pi \}}
B
:=
{
z
∈
C
∣
Im
z
≠
0
∨
|
Re
z
|
<
1
}
{\displaystyle B:=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} \,z\neq 0\vee |\operatorname {Re} \,z|<1\}}
Dann bildet die komplexe Funktion
cosh
{\displaystyle \cosh }
den „Streifen“
A
{\displaystyle A}
bijektiv auf
B
{\displaystyle B}
ab.
In deutschsprachiger Literatur wurden zur Unterscheidung von den trigonometrischen Funktionen die Hyperbelfunktionen lange Zeit in Frakturschrift dargestellt – mit initialer Großschreibung und ohne abschließendes h:[ 1]
S
i
n
x
=
^
sinh
x
{\displaystyle {\mathfrak {Sin}}\,x\,{\widehat {=}}\,\sinh x}
C
o
s
x
=
^
cosh
x
{\displaystyle {\mathfrak {Cos}}\,x\,{\widehat {=}}\,\cosh x}
T
a
n
x
/
T
g
x
=
^
tanh
x
/
tgh
x
{\displaystyle {\mathfrak {Tan}}\,x\ /\ {\mathfrak {Tg}}\,x\,{\widehat {=}}\,\tanh x\ /\ \operatorname {tgh} x}
C
o
t
x
/
C
t
g
x
=
^
coth
x
/
ctgh
x
{\displaystyle {\mathfrak {Cot}}\,x\ /\ {\mathfrak {Ctg}}\,x\,{\widehat {=}}\,\coth x\ /\ \operatorname {ctgh} x}
S
e
c
x
=
^
sech
x
{\displaystyle {\mathfrak {Sec}}\,x\,{\widehat {=}}\,\operatorname {sech} x}
C
s
c
x
=
^
csch
x
{\displaystyle {\mathfrak {Csc}}\,x\,{\widehat {=}}\,\operatorname {csch} x}
Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
Für
sinh
{\displaystyle \sinh }
sind auch die Namen hsin , Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
Für
cosh
{\displaystyle \cosh }
sind auch die Namen hcos , Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich. Der Graph entspricht der Kettenlinie (Katenoide).
Tangens hyperbolicus :
tanh
(
x
)
:=
sinh
(
x
)
cosh
(
x
)
{\displaystyle \tanh(x):={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}}
Cotangens hyperbolicus :
coth
(
x
)
:=
1
tanh
(
x
)
=
cosh
(
x
)
sinh
(
x
)
{\displaystyle \coth(x):={\frac {1}{\tanh(x)}}={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}}
Secans hyperbolicus :
sech
(
x
)
:=
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (x):={\frac {1}{\cosh(x)}}}
Kosecans hyperbolicus :
csch
(
x
)
:=
1
sinh
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (x):={\frac {1}{\sinh(x)}}}
Funktion
sinh
{\displaystyle \sinh }
cosh
{\displaystyle \cosh }
tanh
{\displaystyle \tanh }
coth
{\displaystyle \coth }
sech
{\displaystyle \operatorname {sech} }
csch
{\displaystyle \operatorname {csch} }
sinh
(
x
)
=
{\displaystyle \sinh(x)=}
sinh
(
x
)
{\displaystyle \sinh(x)\,}
sgn
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x){\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}
tanh
(
x
)
1
−
tanh
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\tanh(x)}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}}
sgn
(
x
)
coth
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle {\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}}
sgn
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
sech
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}{\operatorname {sech} (x)}}}
1
csch
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {csch} (x)}}}
cosh
(
x
)
=
{\displaystyle \cosh(x)=}
1
+
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}
cosh
(
x
)
{\displaystyle \,\cosh(x)}
1
1
−
tanh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}}
|
coth
(
x
)
|
coth
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,{\frac {\left|\coth(x)\right|}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}}
1
sech
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\operatorname {sech} (x)}}}
1
+
csch
2
(
x
)
|
csch
(
x
)
|
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}{\left|\operatorname {csch} (x)\right|}}}
tanh
(
x
)
=
{\displaystyle \tanh(x)=}
sinh
(
x
)
1
+
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\sinh(x)}{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}}
sgn
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}{\cosh(x)}}}
tanh
(
x
)
{\displaystyle \,\tanh(x)}
1
coth
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\coth(x)}}}
sgn
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}
sgn
(
x
)
1
+
csch
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}}
coth
(
x
)
=
{\displaystyle \coth(x)=}
1
+
sinh
2
(
x
)
sinh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}{\sinh(x)}}}
sgn
(
x
)
cosh
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\cosh(x)}{\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}}
1
tanh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\tanh(x)}}}
coth
(
x
)
{\displaystyle \,\coth(x)}
sgn
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}}
sgn
(
x
)
1
+
csch
2
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}
sech
(
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {sech} (x)=}
1
1
+
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}}
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\cosh(x)}}}
1
−
tanh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}
coth
2
(
x
)
−
1
|
coth
(
x
)
|
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}{\left|\coth(x)\right|}}}
sech
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sech} (x)}
|
csch
(
x
)
|
1
+
csch
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\left|\operatorname {csch} (x)\right|}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}}
csch
(
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {csch} (x)=}
1
sinh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\sinh(x)}}}
sgn
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}}
1
−
tanh
2
(
x
)
tanh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}{\tanh(x)}}}
sgn
(
x
)
coth
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}
sgn
(
x
)
sech
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\operatorname {sech} (x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}}
csch
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {csch} (x)}
Analog zum Eulerschen Beweis des Basler Problems können unendliche Produktreihen für den Sinus Hyperbolicus und den Cosinus Hyperbolicus aufgestellt werden:
1
x
sinh
(
x
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
n
2
π
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{x}}\sinh(x)=\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl (}1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}{\biggr )}}
cosh
(
x
)
=
∏
n
=
1
∞
[
1
+
4
x
2
(
2
n
−
1
)
2
π
2
]
{\displaystyle \cosh(x)=\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}1+{\frac {4x^{2}}{(2n-1)^{2}\pi ^{2}}}{\biggr ]}}
Die erste gezeigte Funktion stellt die nicht normierte Variante des Hyperbolischen Kardinalsinus dar.
Die Summen der diskreten Cauchy-Verteilung ergeben die Hyperbelfunktionen:
tanh
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
8
x
(
2
n
−
1
)
2
π
2
+
4
x
2
{\displaystyle \tanh(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {8x}{(2n-1)^{2}\pi ^{2}+4x^{2}}}}
L
(
x
)
=
coth
(
x
)
−
1
x
=
∑
n
=
1
∞
2
x
n
2
π
2
+
x
2
{\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{n^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}}
sech
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
(
8
n
−
4
)
π
(
2
n
−
1
)
2
π
2
+
4
x
2
{\displaystyle \operatorname {sech} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(8n-4)\pi }{(2n-1)^{2}\pi ^{2}+4x^{2}}}}
1
x
−
csch
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
2
x
n
2
π
2
+
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{x}}-\operatorname {csch} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2x}{n^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}}
Alle sechs nun gezeigten Reihen sind für alle reellen Werte
x
{\displaystyle x}
konvergent!
Der Buchstabe L steht für die Langevin-Funktion , welche in der Elektrodynamik bei der Beschreibung des Paramagnetismus und in der statistischen Thermodynamik bei der Beschreibung der Wärmeenergie eine essentielle Rolle spielt und einen Spezialfall der Brillouin-Funktionen bildet. Und generell gilt für alle reellen Zahlen a, b und c mit dem Kriterium
4
a
c
−
b
2
>
0
{\displaystyle 4ac-b^{2}>0}
folgende Formel:
∑
n
=
−
∞
∞
1
a
n
2
+
b
n
+
c
=
2
π
sinh
(
1
a
4
a
c
−
b
2
π
)
4
a
c
−
b
2
[
cosh
(
1
a
4
a
c
−
b
2
π
)
−
cos
(
b
a
π
)
]
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a\,n^{2}+b\,n+c}}={\frac {2\,\pi \sinh {\bigl (}{\tfrac {1}{a}}{\sqrt {4ac-b^{2}}}\,\pi {\bigr )}}{{\sqrt {4ac-b^{2}}}\,{\bigl [}\cosh {\bigl (}{\tfrac {1}{a}}{\sqrt {4ac-b^{2}}}\,\pi {\bigr )}-\cos {\bigl (}{\tfrac {b}{a}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}}}}
Ilja N. Bronstein : Taschenbuch der Mathematik . Deutsch (Harri).
Nickos Papadatos: The characteristic function of the discrete Cauchy distribution . Department of Mathematics, National and Kapodistrian University of Athens, Panepistemiopolis, 157 84 Athens, Greece, 2022