„Zufall“ – Versionsunterschied

Umgangssprachlich wird der Begriff Zufall - oder „reiner“ Zufall - verwendet, wenn ein Ereignis nicht kausal erklärbar ist. So sind die Phänomene der Quantenphysik ein Bereich, in dem es „reine“ Zufälle gibt. Z.B. ist der radioaktive Zerfall eines einzelnen Isotopenteilchens nicht vorhersagbar, man kennt lediglich die Halbwertszeit einer großen Menge von Isotopen der gleichen Atomart.

Aber Zufälle gibt es auch in der Biologie, z.B. bei der Mutation von Genen.

Die bekanntesten (und beliebsten) Zufälle sind das Glückspiel. Da niemand voraussagen kann, wie die nächste Roulettkugel fällt, gewinnen weltweit immer nur die Spielbanken (auf lange Sicht betrachtet). Zwar ist es einzelnen schon gelungen die Spielbank zu sprengen, aber das war dann Zufall oder Glück. In der Summe aller Spiele verbleibt der Bank stets ein sehr genau vorausberechenbarer Gewinn.

Man spricht also dann von Zufällen, wenn Ereignisse nicht absehbar, vorhersagbar oder berechenbar sind - zum Beispiel beim Werfen von Würfeln oder Münzen.

Zufälligkeit auf der einen Seite und anderseits Unberechenbarkeit oder Unvorhersagbarkeit sind so nicht strikt voneinander zu unterscheiden.

Eine mehr oder weniger systematische Untersuchung des Phänomens Zufall geschieht

• in der Philosophie (Was ist Zufall?)
• in der Mathematik (Wie lässt sich Zufall quantitativ fassen (Stochastik)? Wie lässt sich Zufall künstlich erzeugen (Zufallszahl und Pseudozufallszahl)?)
• in der Physik (Welche Prozesse sind zufällig, welche determiniert?)
• in der Psychologie (Warum haben Menschen Erwartungen (und welche) über das, was geschehen wird? Warum reagieren sie unterschiedlich, Beispiel Zwillinge)
• in der Soziologie (Wie entwickelt sich die Gesellschaft? Gibt es sozio-historische Gesetze? (siehe auch Geschichtsphilosophie))

Teilbereiche der Naturwissenschaften beschäftigen sich mit der Frage, ob unsere Welt im innersten deterministisch (also kausal eindeutig vorherbestimmt) oder zufällig ist. Bei auf den ersten Blick zufällig erscheinenden Ereignissen stellt sich die Frage, ob der Beobachter lediglich zu wenig Informationen hatte, um eine exakte Vorhersage zu treffen, oder ob das beobachtete System in sich zufällig ist.

Bei der ersten Art - den deterministischen Systemen - ist das Ergebnis eines Experiments bei identischen Bedingungen immer gleich. Eine beobachtete Varianz lässt darauf schließen, dass der Beobachter an zumindest einer Stelle ungenau gemessen hat. Heute untersucht die Chaosforschung deterministisch chaotische Systeme; das sind deterministische Systeme, die sich aber aufgrund ihrer großen Komplexität für den Menschen momentan unvorhersagbar verhalten.

Die Quantenphysik hat eine neuerliche Diskussion darüber ausgelöst, ob die Welt fundamental deterministischen oder im innersten zufälligen Prinzipien gehorcht. Eine der vorherrschenden Deutungen der Quantentheorie (Kopenhagener Deutung) legt z.B. nahe, dass identische Experimente unterschiedliche Ergebnisse produzieren können. Ein gutes Beispiel hierfür ist der radioaktive Zerfall. Hier ist zwar bekannt, dass nach dem Vergehen der Halbwertszeit die Hälfte der radioaktiven Atome zerfallen sein wird - welche Atome zerfallen werden, lässt sich momentan aber unmöglich vorhersagen.

Es gibt alternative Deutungen der Quantenmechanik, die vorschlagen, dass verborgenen Variablen der Grund für die scheinbar zufälligen Phänomene sind. D.h. dass die beobachteten Zufälle eigentlich deterministische Prozesse sind und die Wissenschaft derzeit nur noch nicht in der Lage ist, die zugrundeliegenden Gesetzmäßigkeiten zu durchschauen.

Daneben gibt es eine Theorie, die besagt, dass zufällige Quanteneffekte nur auf mikroskopischer Ebene eine Rolle spielen und diese Effekte nicht in den Makrokosmos durchdringen. Große Objekte blieben somit von Quanteneffekten unberührt und verhalten sich deterministisch.

Die Stochastik - ein Teilbereich der Mathematik - beschäftigt sich mit der formalen Beschreibung und quantitativen Bewertung von Zufallsereignissen. Das Glücksspiel motivierte die ersten mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorien und wird auch heute noch oft zu deren Illustration eingesetzt.

Die folgenden Begriffe sind zentral zur formalen Beschreibung des Zufalls:

(Zufalls)Experiment

Die beobachteten Vorgänge (beispielsweise zweimaliges Werfen eines Würfels).

Ergebnis oder Elementar-Ereignis

Beobachtung (beispielsweise erster Wurf '3', zweiter Wurf '5').

Ereignisraum

Aus Elementarereignissen zusammengesetzte Menge (das Ereignis „gerade Zahl gewürfelt“ ist aus den Elementarereignissen „2, 4 oder 6 gewürfelt“ zusammengesetzt).

Wahrscheinlichkeit

Jedem Elementarereignis wird ein Zahlenwert zwischen 0 (tritt nie ein) und 1 (tritt immer ein) zugeordnet (beispielsweise Gleichverteilung: Die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl auf dem Würfel ist gleichgroß, nämlich 1/6). Bei einem Kontinuum möglicher Ergebnisse spricht man von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Offensichtlich brauchen Zufallsexperimente mehr als ein mögliches Ergebnis.

Die Statistik versucht, zu einem gegebenen Zufallsexperiment die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu ermitteln.

Die Stufen sind

1. Vor dem Experiment: Mindestens 2 Ergebnisse sind möglich, es ist aber noch offen.
2. Das Zufallsexperiment findet statt.
3. Nur eines von mehreren möglichen Ergebnissen tritt ein.

Das einfachste Zufallsexperiment hat zwei mögliche Ergebnisse, die die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Z. B. Münzwurf erzeugt Zufallszahlen: Man ordnet der einen Seite die Zahl 0, der anderen die Zahl 1 zu. Notieren vieler Wurfergebnisse erhält man eine Folge von 0 und 1. Eine solche ist das Ergebnis eines sehr einfachen Zufallsprozesses.

Die so erhaltenen Zufallsfolgen von 0 und 1 sind leicht statistisch untersuchbar. Man kann Eigenschaften dieser Zufallsfolgen feststellen, die bei nicht-zufälligen Folgen (also die deterministisch nach irgendeinem Gesetz ermittelt werden) nicht auftreten. So lassen sich Zahlenfolgen auf echte Zufälligkeit prüfen.

Auffällige statistische Abweichungen von reinen Zufallsfolgen können zum Beispiel verwendet werden, um wissenschaftliche Fälschungen zu enttarnen, da Messungen stets auch einen zufälligen Messfehler beinhalten, während erfundene Zufallsfehler oft gerade durch den Versuch, sie möglichst zufällig erscheinen zu lassen, deutliche Abweichungen vom Zufallsergebnis enthalten.

Je länger eine Zahlenfolge ist, desto klarer kann unterschieden werden, ob es sich um eine zufällige oder nicht zufällige Folge handelt (Gesetz der großen Zahlen). Theoretisch kann auch ein Zufallsexperiment eine Folge von hundert Nullen hintereinander liefern, nur ist das so unwahrscheinlich, dass man in diesem Fall mit gutem Recht von einer Regelmäßigkeit ausgehen darf. Auf der anderen Seite gibt es deterministische Algorithmen, deren Ergebnisse sehr ähnlich denen eines Zufallsexperiments sind, so genannte Pseudozufallsgeneratoren. Bei guten Pseudozufallsgeneratoren braucht man eine sehr lange Zahlenreihe, um den Unterschied zum echten Zufall erkennen zu können. In der Informatik werden gelegentlich Zufallszahlen benötigt. Der Versuch, sie mit dem Computer zu berechnen, ist ein Widerspruch in sich.

Eine Folge, die die Realität abbildet, ist nicht immer rein deterministisch oder rein zufällig, sondern es liegt häufig eine Mischung aus beidem vor. Ein einfaches Beispiel wäre, wenn man beispielsweise stets eine Ziffer per Münzwurf bestimmt, die nächste als den Unterschied zwischen den beiden vorhergehenden Ziffern, dann wieder Münzwurf, und so fort. Durch Untersuchung solcher Folgen bekommt man ein recht gutes Verständnis für den Zufall und die Mischung von Zufälligem und Nichtzufälligem, wie es ja oft in der Realität anzutreffen ist.

Ein elementares Zufallsereignis beruht auf Gleichheit und Ungleichheit:

• Die zwei möglichen Varianten müssen mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten
• Trotzdem müssen sie ungleich, nämlich unterscheidbar sein.

Münze: beide Seiten müssen mit der selben Wahrscheinlichkeit auftreten können, trotzdem müssen beide Seiten verschieden geprägt sein, sonst könnte man sie nicht unterscheiden.

Ein Beispiel dafür sind auch die Links zu zufälligen Artikeln in Wikipedia.

Beispiel: Wir möchten 11 Münzen auf 10 Schweinchen verteilen. Wie stellen wir es an?

1. Wir geben jedem eine Münze. Aber warum bekommt ein Schweinchen zwei?
2. Würfeln wir und lassen den Zufall entscheiden, ist folgende Verteilung die wahrscheinlichste (siehe auch: Gesetz der kleinen Zahlen):

• Ein Schweinchen (10%) bekommt sehr viel (drei Münzen),
• Zwei (20%) bekommen viel (zwei Münzen),
• Vier (40%) bekommen etwas (eine Münze),
• Drei (30%) gehen leer aus (null Münzen).

• Aufgabe: Verteile 11 Münzen an 10 Schweinchen.
  Aufgabe: Verteile 11 Münzen an 10 Schweinchen.
• Gerecht, aber unwahrscheinlich.
  Gerecht, aber unwahrscheinlich.
• So verteilt der Zufall: Drei bekommen viel, und vier bekommen etwas, 30% gehen leer aus.
  So verteilt der Zufall: Drei bekommen viel, und vier bekommen etwas, 30% gehen leer aus.

Zwischen den Begriffen Zufall und freier Wille existiert ein enger Zusammenhang. Man kann argumentieren, dass eine freie Entscheidung eine Entscheidung ist, die zumindest teilweise nicht von anderen Einflüssen (innerer und äußerer Art) bestimmt wird. Sie ist also nicht determiniert. Dies kann aber gerade auch als Definition von Zufall angesehen werden. Nach dieser Auffassung kann es in einem Universum ohne Zufall keinen freien Willen geben, da jede Entscheidung bei Kenntnis aller Einflussgrößen vorhergesagt werden könnte. Aber wenn unsere Entscheidungen zufällig zustande kommen, ist das erst recht nicht, was wir uns unter freiem Willen vorstellen.

Immanuel Kant schlägt dafür in der Kritik der reinen Vernunft folgenden Ausweg vor: Der Widerspruch zwischen Determinismus und Unbestimmtheit des Willens ("Antinomie" der Willensfreiheit) entsteht nur dann, wenn Erscheinungen (der Erfahrungswelt) mit dem "Ding an sich" gleichgesetzt werden. "Denn, sind Erscheinungen Dinge an sich selbst, so ist Freiheit nicht zu retten. (...) Wenn dagegen Erscheinungen für nichts mehr gelten, als sie in der Tat sind, nämlich nicht für Dinge an sich, sondern bloße Vorstellungen, die nach empirischen Gesetzen zusammenhängen, so müssen sie selbst noch Gründe haben, die nicht Erscheinungen sind." (B 564f, Kritik der reinen Vernunft). Willensfreiheit bedeutet danach "das Vermögen, einen Zustand von selbst anzufangen" (B 561, Kritik der reinen Vernunft).

Aufgabe der Philosophie wäre es, Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Begriffe genauer herauszuarbeiten. Der englische Begriff random number (wörtlich: freie Zahl) für Zufallszahl weist auf diesen Zusammenhang hin.

• Ein elementarer Zufallsprozess ist der Münzwurf, denn er liefert eine zufällige Entscheidung zwischen zwei Alternativen. Man beachte, dass es für den Münzwurf irrelevant ist, ob das Ergebnis prinzipiell unberechenbar ist oder bei genauer Kenntnis der Rahmenbedingungen vorausgesagt werden kann. Solange alle Beteiligten gleich wenig über das Ergebnis wissen, wird der Münzwurf als fair empfunden.
  • Ein elementarer Zufallsprozess hat zwei Alternativen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5.
• Eine beispielsweise durch Münzwurf erzeugte Zufallsfolge von 0 und 1 lässt sich ohne Verlust kaum komprimieren.
• Je mehr Ordnung und Regelmäßigkeit man in einem System erkennt, desto weniger Zufall verbleibt darin.
• Es ist kein Verfahren bekannt, wie man „echten“ Zufall (was immer das sein soll) von jenen Ereignissen unterscheiden kann, die scheinbar zufällig sind, tatsächlich aber einem unbekannten deterministischen Gesetz gehorchen. Erst wenn man dieses deterministische Gesetz findet, kann man „echten“ Zufall ausschließen.
• Zufall heißt nicht, dass alles möglich ist. Ein zufälliger Münzwurf kann nur Kopf oder Zahl ergeben. Falls die Münze auf der Kante liegen bleibt, wirft man sie eben nochmals...
• Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 0 sind durchaus möglich. Ein Beispiel hierfür ist das Auswählen irgendeiner Zahl zwischen 3 und 4 mit konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte, also gleicher Wahrscheinlichkeit für jede Zahl im Intervall [3,4] der reellen Zahlen. Da es im Intervall [3,4] überabzählbar unendlich viele Zahlen gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für eine konkrete Zahl, beispielsweise Pi, gleich Null (Mathematiker nennen dies Lebesgue-Nullmenge), aber trotzdem ist Pi sehr wohl möglich.
• Manche meinen, wenn Zukunft völlig festgelegt und vorherbestimmt ist (deterministische Weltanschauung), dann gibt es keinen Zufall. Andere meinen, die Nachkommastellen der Zahl Pi 3,14159... seien völlig zufällig. Offensichtlich wird hier das Wort „Zufall“ in widersprüchlichen Bedeutungen verwendet.
• Die Mischung aus zufälligen und nichtzufälligen Ereignissen wird der Realität am besten gerecht. Die Frage ist lediglich, in welchem Verhältnis zu mischen ist.
  • Bevor man ein Ereignis als zufällig ansieht, sollte man sich eingehende Gedanken darüber machen, ob es wirklich rein zufällig ist. Manchmal ist der Zufall eine zu bequeme Erklärungsvariante.
  • Das menschliche Gehirn neigt andererseits dazu, auch in rein zufällige Geschehnisse Gesetzmäßigkeiten hinein zu interpretieren, da das kausale Denken insgesamt sich sehr erfolgreich erwiesen hat. Interessant ist in diesem Zusammenhang das Experiment von Wright an der Universität Stanford mit dem „vielarmigen Banditen“, siehe z. B. Paul Watzlawick, Wie wirklich ist die Wirklichkeit?
• Die rein statistische Berechnung der informationstheoretischen Entropie ist kein geeignetes Maß, um die Menge an Zufall in einer Zahlenfolge zu messen.
• Hat der Zufall ein Gedächtnis?
  • Das Zufallsexperiment des einmaligen Wurfs eines Würfels hat kein Gedächtnis. Das Zufallsexperiment der einmaligen eingeworfenen Roulettekugel auch nicht. Fällt die Kugel z. B. auf 5, so ändert das im idealen Roulettespiel nichts an den Chancen, dass das nächste Mal wieder die 5 kommt
    • Im realen Roulettespiel sind wegen mechanischer Unregelmäßigkeiten die Chancen vorhanden, dass eine Ungleichverteilung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Zahlen herrscht. Roulette hat also ein Gedächtnis in dem Sinn, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine der häufig gefallenen Zahlen wieder kommt, höher als oder zumindest gleich hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine der bisher selten gefallenen Zahlen kommt. Im realen Roulette müssen die Zylinder daher häufig getauscht werden, damit niemand diese Ungleichverteilung ausnutzen kann.
  • Kartenspiele haben üblicherweise ein Gedächtnis: die gezogene Karte kommt meist entsprechend den Regeln nicht zurück ins Spiel. Wird eine hohe Karte gezogen, so sinken die Chancen, dass das nächste Mal wieder eine hohe Karte gezogen wird. Daraus können Gewinnstrategien für das betreffende Spiel entsprechend den Regeln abgeleitet werden.
  • Ein Missverständnis beim Ziegenproblem ist häufig, dass dieses Glücksspiel sehr wohl ein Gedächtnis hat. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für die letzten beiden Tore auch nicht je 0,5 sondern ein Drittel zu zwei Drittel.

• Zufallszahlengeneratoren im Computern
  • Zufallszahlenalgorithmen
    Zufallszahlen lassen sich nicht "berechnen". Es gibt zwar verschiedene Algorithmen, mit denen man verschiedene Aspekte von Zufallszahlen (etwa deren statistische Verteilung) nachbilden kann. Die so erzeugten "Zufallszahlen" folgen immer bestimmten Mustern.
  • "echte" Zufallszahlen
    In jedem Fall wird eine Hardwarekomponente benötigt, die nichtdeterministisch arbeitet. In begrenztem Umfang lassen sich Eingabegeräte (z.B. Tastatur oder Maus) heranziehen. Um große Mengen an Zufallszahlen zu erzeugen, wird in der Regel spezielle Hardware verwendet, die das Rauschen elektronischer Bauteile ausnutzt.
• Weitere Zufallsgeneratoren
  Solche können zum Beispiel sein: Münze, Würfel, Roulette, Urne, Russisch Roulette oder Reißnagel
  Spiele mit dem Zufall? - Beispiel: Stichomantie

• "Auch das Zufälligste ist nur ein auf entfernterem Wege herangekommenes Notwendiges." - Arthur Schopenhauer
• "Könnte man nicht auch sagen, die geheime Verkettung der Dinge bilde für uns etwas, das wir Zufall nennen, was doch aber notwendig ist?" - Susette Gontard, Briefe, an Friedrich Hölderlin, 12. März 1799
• "Zufall ist ein Wort ohne Sinn; nichts kann ohne Ursache existieren." - Voltaire, Philosophisches Taschenwörterbuch
• "Zufällig gibt es keinen Zufall! Wenn man sagt, es sei möglich dass es Zufall gibt, dann heißt das nichts anderes, als dass es einen Grund geben kann der diesen verursacht. Dann ist es jedoch kein Zufall mehr . Behauptet man also es gäbe den absoluten Zufall, dann wäre es möglich dass in einer Stunde das Universum, also die Gesamtheit aller Dinge nicht mehr existiert - ohne dass die Frage nach dem Grund oder dem Danach berechtigt wäre." - Kausalitätstheorie: Warum das Universum unendlich sein muss! - Adrian Gudra, Veröffentlichung zum Bundeswettbewerb Jugend forscht 2007, S.12/Z.9-14
• "Zufällig im reinen Sinne der Kategorie ist das, dessen kontradiktorisches Gegenteil möglich ist." - Immanuel Kant, Kritik der reinen Vernunft, B 487

• Stefan Klein: Alles Zufall. Die Kraft, die unser Leben bestimmt. 2004. ISBN 3-498-03519-3
• Lew W. Tarassow: Wie der Zufall will? Vom Wesen der Wahrscheinlichkeit. Spektrum Akademischer Verlag. Heidelberg 1998. ISBN 3827404746
• Gerd Gigerenzer, Zeno Swijtink, Theodore Porter u. a.: Das Reich des Zufalls: Wissen zwischen Wahrscheinlichkeiten, Häufigkeiten und Unschärfen. Spektrum Akademischer Verlag 1999. ISBN 3-8274-0101-1 (Buch über die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung)
• Manfred Eigen und Ruthild Winkler: Das Spiel. Naturgesetze steuern den Zufall. Piper. ISBN 3-492-20410-4
• Sven P. Thoms: Ursprung des Lebens. Frankfurt: Fischer 2005, ISBN 3-5961-6128-2
• Karl Bosch: Statistik für Nichtstatistiker. Zufall oder Wahrscheinlichkeit. ISBN 3486247506
• Allan Combs/Mark Holland: Die Magie des Zufalls. ISBN 3499191776
• Elisabeth Mardorf: Das kann doch kein Zufall sein. Verblüffende Ereignisse und geheimnisvolle Fügungen in unserem Leben. Kösel Verlag. ISBN 3-466-34380-1
• Deborah J. Bennett: Randomness. Harvard University Press, 1999. ISBN 0674107462
• Patrick Suppes: Probabilistic Metaphysics. Basil Blackwell, 1984. ISBN 0631133321
• Martin Schneider: Teflon, Post-It und Viagra. Große Entdeckungen durch kleine Zufalle. Weinheim: Wiley-Vch, zuletzt 2006
• Carmen Thomas: Vom Zauber des Zufalls - Eine Einladung zum Mitmachen. Kiepenheuer&Witsch, 1998. ISBN 3-462-02710-7

• Aristoteles: Physika
• Heinrich Emil Timerding: Die Analyse des Zufalls
• Jakob Bernoulli: Wahrscheinlichkeitsrechnung Ars conjectandi. Reihe Ostwalds Klassiker, Bd. 107. ISBN 3-8171-3107-0
• Pierre Simon Laplace: Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlichkeit. Reihe Ostwalds Klassiker, Bd. 233. ISBN 3-8171-3233-6

• Michael Hampe: Die Macht des Zufalls - Vom Umgang mit dem Risiko. wjs-Verlag, Berlin, September 2006, ISBN 3-937989-23-4

• Chance
• Glück
• Information
• Kausalität
• Pech
• Randomisation
• Risiko
• Schicksal
• Serendipity
• "Sinnvoller" Zufall
• Zufall und Ordnung
• Zufallsexperiment

Wiktionary: Zufall – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikiquote: Zufall – Zitate

Wikibooks: Zufall – Lern- und Lehrmaterialien

• umfassende Materialiensammlung
• Zufall, Determinismus und Berechenbarkeit
• Würfelt Gott? Und wenn ja, wann?'
• Von Glücksspielen und Katastrophen, Zufällen und Häufungen, Wahrscheinlichkeiten und VBScript
• A. Lasson: Über den Zufall
• Linkliste
• Geordneter Zufall
• Zufallsstring erzeugen lassen