Benutzer:Qcomp/Quantum speed limit

Das Quantenspeedlimit ist (Quantenhöchstgeschwindigkeit, Quantengeschwindigkeitsgrenze, -begrenzung, Quanten-Speedlimit?) eine Begrenzung dafür, wie schnell sich ein Quantensystem aus einem gegebenen Zustand in einen davon unterscheidbaren (orthogonalen) Zustand entwickeln kann.^[1] Das Quantenspeedlimit gibt eine untere Schranke für die mindestens dafür nötige Zeit an. Diese Schranke hängt von Erwartungswert und Standardabweichung der Energie der beteiligten Zustände ab. Das Quantenspeedlimit ist eng mit der Energie-Zeit-Unschärferelation verbunden.

Im Jahr 1945 leiteten Leonid Mandelstam und Igor Tamm eine Zeit-Energie-Unschärferelation ab, die die Evolutionsgeschwindigkeit durch die Energiedispersion begrenzt.^[2] Mehr als ein halbes Jahrhundert später zeigten Norman Margolus und Lev Levitin, dass die Evolutionsgeschwindigkeit auch durch die mittlere Energie beschränkt ist,^[3] ein Ergebnis, das als Margolus-Levitin-Theorem bekannt ist. Welche der beiden Schranken die strengere und damit die maßgebliche ist, hängt vom Zustand des betrachteten Systems ab. Beide Schranken wurden später für offene Quantensysteme und für bestimmte Systeme der klassischen Physik verallgemeinert.

Die durch Quantenspeedlimits gegebenen Schranken finden unter anderem in der Quantenkontrolltheorie, in der Quanteninformatik und der Quantenthermodynamik Anwendung und wurden verwendet, um die Grenzen der Informationsverarbeitung im Universum abzuschätzen.^[4][5]

Zur Definition einer Geschwindigkeit auf dem Raum der Dichtematrizen ist zunächst ein Abstandsmaß auf diesem Raum nötig. Hierzu wird die Bures-Metrik ${\displaystyle D_{B}}$ verwendet, die über den Abstand ${\displaystyle ds^{2}}$ zwischen der Dichtematrix ${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|j\rangle \langle j|}$ und der infinitesimal benachbarten Dichtematrix ${\displaystyle \rho +d\rho }$ definiert ist als $${\displaystyle ds(\rho ,\rho +d\rho )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{jk}{\frac {|\langle j|d\rho |k\rangle |^{2}}{p_{j}+p_{k}}}.}$$ Falls ein Quantensystem unter einem zeitabhängigen Hamiltonian ${\displaystyle H(t)}$ evolviert, dann ist seine (in der Bures-Metrik gemessene) Geschwindigkeit zur Zeit ${\displaystyle t}$ nach oben beschränkt durch $${\displaystyle ds\leq {\frac {\sigma _{H}(t)}{\hbar }}dt,}$$ wobei ${\displaystyle \sigma _{H}(t)}$ die Energieunschärfe zur Zeit ${\displaystyle t}$ ist.

Daraus ergeben sich zwei Korollare:

• Für die Zeit ${\displaystyle \tau }$, die benötigt wird, um unter der Einwirkung von ${\displaystyle H}$ den Zustand ${\displaystyle \rho }$ nach ${\displaystyle \rho '}$ zu transformieren, gilt ${\displaystyle \tau \geq {\frac {\hbar }{{\bar {\sigma }}_{H}}}D_{B}(\rho ,\rho ')}$, wobei ${\displaystyle {\bar {\sigma }}_{H}:={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt}$ die zeitgemittelte Unschärfe der Energie ist. Eine von Anfangszustand und Zeitentwicklung unabhängige Schranke ergibt sich, für Hamiltonians mit nach oben und unten beschränktem Spektrum: Wenn ${\displaystyle h_{+}\geq H(t)\geq h_{-}}$ ist, dann gilt ${\displaystyle \sigma _{H}(t)\leq |h_{+}-h_{-}|/2}$ und damit folgt ${\displaystyle \tau \geq {\frac {2\hbar }{|h_{+}-h_{-}|}}D_{B}(\rho ,\rho ')}$.
• Die Zeit, die benötigt wird, um aus einem reinen Zustand in einen dazu orthogonalen reinen Zustand zu transformieren, ist ${\displaystyle \tau \geq {\frac {\pi }{2}}{\frac {\hbar }{{\bar {\sigma }}_{H}}}}$.

wohin gehört dieser EN?^[6]

Die 1995 von Margolus und Levitin abgeleitete Schranke limitiert die Geschwindigkeit von Operationen in Abhängigkeit von der mittleren Energie des Systems.^[3] Diese Schranke ist unabhängig von der von Mandelstam und Tamm und kann —da die Energieunschärfe für gegebene mittlere Energie sowohl beliebig groß als auch beliebig klein sein kann— je nach betrachtetem System und Zustand eine strengere oder schwächere Schranke als diese liefern.

Für ein System mit diskreten Energieniveaus und nach unten beschränktem Spektrum im Zustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$ gilt für die Zeit ${\displaystyle \tau _{\perp }}$, die nötig ist um in einen zum Anfangszustand orthogonalen Zustand überzugehen, dass^[3]

${\displaystyle \tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4E}},}$

wobei ${\displaystyle E}$ die mittlere Energie über der Grundzustandsenergie ${\displaystyle E_{0}}$ des Systems ist (also ${\displaystyle E=\langle \psi |{\hat {H}}|\psi \rangle -E_{0}}$ mit dem Systemhamiltonian ${\displaystyle {\hat {H}}}$).

Wenn die Energie des Systems auch nach oben beschränkt ist (${\displaystyle E_{\text{max}}\geq {\hat {H}}\geq E_{0}}$), dann ergibt sich einer weitere Schranke: ${\displaystyle \tau _{\perp }}$ ist dann auch durch die mittlere Energie unterhalb des Maximalwerts beschränkt:^[7]

${\displaystyle \tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4(E_{\text{max}}-E)}}.}$

Physikalische Systeme, die mit einer Umgebung in Kontakt stehen, werden als offene Quantensysteme bezeichnet, und ihre Entwicklung unterliegt ebenfalls dem QSL.^[8][9] Bemerkenswerterweise konnte gezeigt werden, dass Umgebungseffekte, wie z. B. eine nicht-markovsche Dynamik, Quantenprozesse beschleunigen können,^[10] was in einem Hohlraum-QED-Experiment verifiziert wurde.^[11]

Im Jahr 2018 wurde gezeigt, dass QSL nicht auf den Quantenbereich beschränkt sind und dass ähnliche Grenzen auch in klassischen Systemen gelten. Angeregt durch das Quantenspeedlimit für offene Systeme wurde die Idee auch auf klassisch-mechanische Systeme übertragen, deren Dynamik durch eine Liouville-Gleichung beschrieben wird.^[12][13] Für ${\displaystyle N}$ Freiheitsgrade kann der Raum der Verteilungen auf dem Phasenraum als Hilbertraum angesehen werden. Für ein System im Zustand ${\displaystyle \rho }$ und mit einen Liouville-Operator ${\displaystyle {\hat {L}}}$ gilt für die Zeit ${\displaystyle \tau }$, die nötig ist, damit sich das System in einen Zustand ${\displaystyle \rho (\tau )}$ entwickelt:

${\displaystyle \tau \geq \tau _{\mathrm {CSL} }={\sqrt {\frac {2[\langle \rho |\rho \rangle -\langle \rho |\rho (\tau )\rangle ]}{\langle \rho |{\hat {L}}^{2}|\rho \rangle }}}}$,

d. h., die benötigte Zeit [???]. Spezialisiert man aber auf den Fall eines einzelnen punktförmigen Teilchens mit bekannten Phasenraumkoordinaten, (d. h., ${\displaystyle \rho }$ entspricht einer Deltafunktion), dann verschwindet die Untergrenze. In ähnlicher Weise können auch Madelstam-Tamm-artige Schranken abgeleitet werden, woraus sich in diesem Fall eine strengere Schranke ergibt.^[12]
Diese Überlegungen zeigen, dass das "Quantenspeedlimit" kein Quanteneffekt ist, der mit der Nicht-Vertauschbarkeit in der Quantenmechanik zu tun hat, sondern eine Eigenschaft aller Systeme, deren Dynamik durch einen hermiteschen Operator generiert wird.^[12][dagegen aber Deffner/Lutz: „the existence of a speed limit time is a purely quantum effect which vanishes when ${\displaystyle \hbar }$ goes to zero“]

Für die Ableitung des QSL ist es wichtig, welches Abstandsmaß auf dem Raum der Zustände gewählt wird. Von einer allgemeineren Perspektive wurde gezeigt, dass die Grenzen durch die Schatten-p-Normen des Generators der Zeitentwicklung bestimmt werden.^[14]

(unfertig)

• Lieb-Robinson Schranke Matthew Francis: A quantum speed limit: how fast does quantum information flow through a lattice? In: Ars Technica. 25. Januar 2012, abgerufen am 13. November 2023 (englisch). </ref> PM MPQ
• Wie schnell erfolgt der Kollaps der Wellenfunktion? spektrum.de,
• Laserpulse, TU Wien
• Grenzen der Berechnung:^[4] alle Rechengeräte sind aus Materie aufgebaut, die den Gesetzen der Quantenmechanik gehorcht. Jede Rechenoperation muss, wenn sie ein eindeutges (klassisches) Ergebnis haben soll, den Übergang des Systems von einem Zustand in einen dazu orthogonalen beinhalten. Angenommen, das Rechengerät ist ein physikalisches System, dessen Zeitentwicklung durch einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator generiert wird. Dannn impliziert die Margolus-Levitin-Schranke, dass die Zahl der Operationen pro Zeit und Energie, der Ungleichung

$${\displaystyle {\frac {1/\delta t_{\perp }}{E}}\leq {\frac {1}{\hbar {\frac {\pi }{2}}}}=6\times 10^{33}\mathrm {s} ^{-1}\cdot \mathrm {J} ^{-1}.}$$ genügen. Das heißt, die Verarbeitungsrate von jeder denkbaren Form der Rechnung kann nicht größer sein als um die ${\displaystyle 6\times 10^{33}}$ Operationen pro Sekunde und pro [[Joule]. Dies gilt auch für „klassische“ Computer, da auch diese aus Bestandteilen gebaut sind, die der Quentenphysik unterliegen.

Im Jahr 2021 wurden sowohl die Mandelstam-Tamm- als auch die Margolus-Levitin-QSL-Grenzen gleichzeitig in einem einzigen Experiment getestet,[13] was darauf hindeutet, dass es "zwei verschiedene Regime gibt: eines, in dem die Mandelstam-Tamm-Grenze die Entwicklung zu allen Zeiten einschränkt, und ein zweites, in dem ein Übergang zur Margolus-Levitin-Grenze bei längeren Zeiten stattfindet."

• Sebastian Deffner, Steve Campbell: Quantum speed limits: from Heisenberg's uncertainty principle to optimal quantum control. In: New Journal of Physics. Band 24, 2022, arxiv:1705.08023 (englisch, iop.org). 
• M. R. Frey: Quantum speed limits—primer, perspectives, and potential future directions. In: Quantum Inf Process. Band 15, 2016, S. 3919–3950, doi:10.1007/s11128-016-1405-x. 

In quantum mechanics, a quantum speed limit (QSL) is a limitation on the minimum time for a quantum system to evolve between two distinguishable states.^[15] QSL are closely related to time-energy uncertainty relations. In 1945, Leonid Mandelstam and Igor Tamm derived a time-energy uncertainty relation that bounds the speed of evolution in terms of the energy dispersion.^[16] Over half a century later, Norman Margolus and Lev Levitin showed that the speed of evolution cannot exceed the mean energy,^[17] a result known as the Margolus–Levitin theorem. Realistic physical systems in contact with an environment are known as open quantum systems and their evolution is also subject to QSL.^[18][19] Quite remarkably it was shown that environmental effects, such as non-Markovian dynamics can speed up quantum processes,^[20] which was verified in a cavity QED experiment.^[21]

QSL have been used to explore the limits of computation^[22][23] and complexity. In 2017, QSLs were studied in a quantum oscillator at high temperature. ^[24] In 2018, it was shown that QSL are not restricted to the quantum domain and that similar bounds hold in classical systems. ^[25][26] In 2021, both the Mandelstam-Tamm and the Margolus-Levitin QSL bounds were concurrently tested in a single experiment^[27] which indicated there are "two different regimes: one where the Mandelstam-Tamm limit constrains the evolution at all times, and a second where a crossover to the Margolus-Levitin limit occurs at longer times."

Let ${\displaystyle ds^{2}}$ be the Bures metric, defined by$${\displaystyle ds(\rho ,\rho +d\rho )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{jk}{\frac {|<j|d\rho |k>|^{2}}{p_{j}+p_{k}}}}$$If a quantum system is evolving under a time-dependent Hamiltonian ${\displaystyle H}$, then its velocity according to Bures metric is upper bounded by$${\displaystyle ds\leq {\frac {\sigma _{H}(t)}{\hbar }}dt}$$where ${\displaystyle \sigma _{H}(t)}$ is the uncertainty in energy at time ${\displaystyle t}$.

Two corollaries:

• The time taken to evolve from ${\displaystyle \rho }$ to ${\displaystyle \rho '}$ is ${\displaystyle \tau \geq {\frac {\hbar }{{\bar {\sigma }}_{H}}}dist(\rho ,\rho ')}$, where is ${\displaystyle {\bar {\sigma }}_{H}:={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt}$ the time-averaged uncertainty in energy.
• The time taken to evolve from one pure state to another pure state orthogonal to it is ${\displaystyle \tau \geq {\frac {\pi }{2}}{\frac {\hbar }{{\bar {\sigma }}_{H}}}}$.

^[28]

1. ↑ S. Deffner, S. Campbell: Quantum speed limits: from Heisenberg's uncertainty principle to optimal quantum control. In: J. Phys. A: Math. Theor. 50. Jahrgang, Nr. 45, 10. Oktober 2017, S. 453001, doi:10.1088/1751-8121/aa86c6, arxiv:1705.08023 (englisch). 
2. ↑ L. I. Mandelshtam, I. E. Tamm: The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics. In: J. Phys. (USSR). 9. Jahrgang, 1945, S. 249–254 (englisch). 
3. ↑ ^{a b c} Norman Margolus, Lev B. Levitin: The maximum speed of dynamical evolution. In: Physica D: Nonlinear Phenomena. 120. Jahrgang, Nr. 1–2, September 1998, S. 188–195, doi:10.1016/S0167-2789(98)00054-2, arxiv:quant-ph/9710043 (englisch). 
4. ↑ ^{a b} Seth Lloyd: Ultimate physical limits to computation. In: Nature. 406. Jahrgang, Nr. 6799, 31. August 2000, ISSN 1476-4687, S. 1047–1054, doi:10.1038/35023282, PMID 10984064, arxiv:quant-ph/9908043 (englisch). 
5. ↑ Seth Lloyd: Computational Capacity of the Universe. In: Physical Review Letters. 88. Jahrgang, Nr. 23, 24. Mai 2002, S. 237901, doi:10.1103/PhysRevLett.88.237901, PMID 12059399, arxiv:quant-ph/0110141 (englisch). 
6. ↑ Sebastian Deffner, Eric Lutz: Energy–time uncertainty relation for driven quantum systems. In: Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 46. Jahrgang, Nr. 33, 23. August 2013, ISSN 1751-8113, S. 335302, doi:10.1088/1751-8113/46/33/335302 (englisch, iop.org). 
7. ↑ Gal Ness, Andrea Alberti, Yoav Sagi: Quantum Speed Limit for States with a Bounded Energy Spectrum. In: Phys. Rev. Lett. Band 129, 2022, S. 140403, doi:10.1103/PhysRevLett.129.140403, arxiv:2206.14803. 
8. ↑ M. M. Taddei, B. M. Escher, L. Davidovich, R. L. de Matos Filho: Quantum Speed Limit for Physical Processes. In: Physical Review Letters. 110. Jahrgang, Nr. 5, 30. Januar 2013, S. 050402, doi:10.1103/PhysRevLett.110.050402, PMID 23414007, arxiv:1209.0362 (englisch). 
9. ↑ A. del Campo, I. L. Egusquiza, M. B. Plenio, S. F. Huelga: Quantum Speed Limits in Open System Dynamics. In: Physical Review Letters. 110. Jahrgang, Nr. 5, 30. Januar 2013, S. 050403, doi:10.1103/PhysRevLett.110.050403, PMID 23414008, arxiv:1209.1737 (englisch). 
10. ↑ S. Deffner, E. Lutz: Quantum speed limit for non-Markovian dynamics. In: Physical Review Letters. 111. Jahrgang, Nr. 1, 3. Juli 2013, S. 010402, doi:10.1103/PhysRevLett.111.010402, PMID 23862985, arxiv:1302.5069 (englisch). 
11. ↑ A. D. Cimmarusti, Z. Yan, B. D. Patterson, L. P. Corcos, L. A. Orozco, S. Deffner: Quantum speed limit for non-Markovian dynamics. In: Physical Review Letters. 114. Jahrgang, Nr. 23, 11. Juni 2015, S. 233602, doi:10.1103/PhysRevLett.114.233602, PMID 26196802, arxiv:1503.02591 (englisch). 
12. ↑ ^{a b c} Manaka Okuyama, Masayuki Ohzeki: Quantum Speed Limit is Not Quantum. In: Phys. Rev. Lett. Band 120, 2018, S. 070402, doi:10.1103/PhysRevLett.120.070402, arxiv:1710.03498. 
13. ↑ Siehe auch: B. Shanahan, A. Chenu, N. Margolus, and A. del Campo: Quantum Speed Limits across the Quantum-to-Classical Transition. In: Phys. Rev. Lett. Band 120, S. 070401, doi:10.1103/PhysRevLett.120.070401, arxiv:1710.07335. 
14. ↑ S. Deffner: Geometric quantum speed limits: a case for Wigner phase space. In: New Journal of Physics. 19. Jahrgang, Nr. 10, 20. Oktober 2017, S. 103018, doi:10.1088/1367-2630/aa83dc, arxiv:1704.03357 (englisch). 
15. ↑ S. Deffner, S. Campbell: Quantum speed limits: from Heisenberg's uncertainty principle to optimal quantum control. In: J. Phys. A: Math. Theor. 50. Jahrgang, Nr. 45, 10. Oktober 2017, S. 453001, doi:10.1088/1751-8121/aa86c6, arxiv:1705.08023 (englisch). 
16. ↑ L. I. Mandelshtam, I. E. Tamm: The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics. In: J. Phys. (USSR). 9. Jahrgang, 1945, S. 249–254 (englisch). 
17. ↑ Norman Margolus, Lev B. Levitin: The maximum speed of dynamical evolution. In: Physica D: Nonlinear Phenomena. 120. Jahrgang, Nr. 1–2, September 1998, S. 188–195, doi:10.1016/S0167-2789(98)00054-2, arxiv:quant-ph/9710043 (englisch). 
18. ↑ M. M. Taddei, B. M. Escher, L. Davidovich, R. L. de Matos Filho: Quantum Speed Limit for Physical Processes. In: Physical Review Letters. 110. Jahrgang, Nr. 5, 30. Januar 2013, S. 050402, doi:10.1103/PhysRevLett.110.050402, PMID 23414007, arxiv:1209.0362 (englisch). 
19. ↑ A. del Campo, I. L. Egusquiza, M. B. Plenio, S. F. Huelga: Quantum Speed Limits in Open System Dynamics. In: Physical Review Letters. 110. Jahrgang, Nr. 5, 30. Januar 2013, S. 050403, doi:10.1103/PhysRevLett.110.050403, PMID 23414008, arxiv:1209.1737 (englisch). 
20. ↑ S. Deffner, E. Lutz: Quantum speed limit for non-Markovian dynamics. In: Physical Review Letters. 111. Jahrgang, Nr. 1, 3. Juli 2013, S. 010402, doi:10.1103/PhysRevLett.111.010402, PMID 23862985, arxiv:1302.5069 (englisch). 
21. ↑ A. D. Cimmarusti, Z. Yan, B. D. Patterson, L. P. Corcos, L. A. Orozco, S. Deffner: Quantum speed limit for non-Markovian dynamics. In: Physical Review Letters. 114. Jahrgang, Nr. 23, 11. Juni 2015, S. 233602, doi:10.1103/PhysRevLett.114.233602, PMID 26196802, arxiv:1503.02591 (englisch). 
22. ↑ Seth Lloyd: Ultimate physical limits to computation. In: Nature. 406. Jahrgang, Nr. 6799, 31. August 2000, ISSN 1476-4687, S. 1047–1054, doi:10.1038/35023282, PMID 10984064, arxiv:quant-ph/9908043 (englisch). 
23. ↑ Seth Lloyd: Computational Capacity of the Universe. In: Physical Review Letters. 88. Jahrgang, Nr. 23, 24. Mai 2002, S. 237901, doi:10.1103/PhysRevLett.88.237901, PMID 12059399, arxiv:quant-ph/0110141 (englisch). 
24. ↑ S. Deffner: Geometric quantum speed limits: a case for Wigner phase space. In: New Journal of Physics. 19. Jahrgang, Nr. 10, 20. Oktober 2017, S. 103018, doi:10.1088/1367-2630/aa83dc (englisch). 
25. ↑ B. Shanahan, A. Chenu, N. Margolus, A. del Campo: Quantum Speed Limits across the Quantum-to-Classical Transition. In: Physical Review Letters. 120. Jahrgang, Nr. 7, 12. Februar 2018, S. 070401, doi:10.1103/PhysRevLett.120.070401, PMID 29542956 (englisch). 
26. ↑ Manaka Okuyama, Masayuki Ohzeki: Quantum Speed Limit is Not Quantum. In: Physical Review Letters. 120. Jahrgang, Nr. 7, 12. Februar 2018, S. 070402, doi:10.1103/PhysRevLett.120.070402, PMID 29542975, arxiv:1710.03498 (englisch). 
27. ↑ Gal Ness, Manolo R. Lam, Wolfgang Alt, Dieter Meschede, Yoav Sagi, Andrea Alberti: Observing crossover between quantum speed limits. In: Science Advances. 7. Jahrgang, Nr. 52, 22. Dezember 2021, S. eabj9119, doi:10.1126/sciadv.abj9119, PMID 34936463, PMC 8694601 (freier Volltext) – (englisch). 
28. ↑ Sebastian Deffner, Eric Lutz: Energy–time uncertainty relation for driven quantum systems. In: Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 46. Jahrgang, Nr. 33, 23. August 2013, ISSN 1751-8113, S. 335302, doi:10.1088/1751-8113/46/33/335302 (englisch, iop.org). 

Kategorie:Quantenmechanik