Sfero

En 3-dimensiajn karteziaj koordinatoj sfero kun centro (x₀, y₀, z₀) kaj radiuso r estas surfaco donita per jena implica ekvacio, aŭ alivorte ĝi konsistas el ĉiuj punktoj (x, y, z) tiaj ke

(x−x₀)² + (y−y₀)² + (z−z₀)² = r²

Parametra difino de la sama sfero estas

x = x₀ + r cos φ sin θ

y = y₀ + r sin φ sin θ

z = z₀ + r cos θ

kie  0 < φ < 2π

0 < θ < π

Fakte limigoj de ŝanĝo de φ povas esti elektitaj alie. Por ĉiu φ₀ povas esti elektite ke φ₀ < φ < φ₀+2π kaj rezultas la sama sfero; ofta varianto estas φ₀ = −π.

Sfero de ajna radiuso estas surfaco difinita per jena diferenciala formo:

(x-x₀)dx + (y-y₀)dy + (z-z₀)dz = 0

aŭ

((x-x₀), (y-y₀), (z-z₀)) · (dx, dy, dz) = 0

kie · estas skalara produto de vektoroj. Ĉi tiu ekvacio respektivas al tiu fakto ke rapido de punkto moviĝanta laŭ la sfero estas ĉiam perpendikulara al la radiusa vektoro. Tiel obeante la ekvacion kaj komenciĝante je iu radiuso de la centro, punkto povas veni al ĉiu punkto sur la sfero de la radiuso, sed ne povas veni al punkto sur samcentra sfero de la alia radiuso.

Por kutima 2-sfero de radiuso r la surfaca areo estas

A = 4 π r²

kaj la volumeno ene de sfero - volumeno de pilko kies rando estas la sfero - estas

V = (4/3) π r³

Por n-sfero de radiuso r hiperareo A estas

${\displaystyle A=2{\frac {\pi ^{(n+1)/2}}{\Gamma ((n+1)/2)}}r^{n}}$ 

kie Γ estas la Γ funkcio, aŭ

${\displaystyle A={\begin{cases}{\frac {(2\pi )^{(n+1)/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\dots (n-1)}}&\qquad n{\text{ nepara}}\\\\{\frac {2(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{1\cdot 3\dots (n-1)}}&\qquad n{\text{ para }}\end{cases}}}$ 

Hipervolumeno V ene de n-sfero - hipervolumeno de pilko kies rando estas la sfero - estas

${\displaystyle V={\frac {Ar}{n+1}}}$ 

aŭ

${\displaystyle V={\begin{cases}{\frac {(2\pi )^{(n+1)/2}\,r^{n+1}}{2\cdot 4\dots (n+1)}}&\qquad n{\text{ nepara}}\\\\{\frac {2(2\pi )^{n/2}\,r^{n+1}}{1\cdot 3\dots (n+1)}}&\qquad n{\text{ para}}\end{cases}}}$ 

Se m estas dimensio de spaco en kiu estas la n-sfero, m = n + 1, la formuloj povas esti skribitaj kiel

${\displaystyle A=2{\frac {\pi ^{m/2}}{\Gamma (m/2)}}r^{m-1}}$ 

${\displaystyle A={\begin{cases}{\frac {(2\pi )^{m/2}\,r^{m-1}}{2\cdot 4\dots (m-2)}}&\qquad m{\text{ para}}\\\\{\frac {2(2\pi )^{(m-1)/2}\,r^{m-1}}{1\cdot 3\dots (m-2)}}&\qquad m{\text{ nepara}}\end{cases}}}$ 

${\displaystyle V={\frac {Ar}{m}}}$ 

${\displaystyle V={\begin{cases}{\frac {(2\pi )^{m/2}\,r^{m}}{2\cdot 4\dots m}}&\qquad m{\text{ para}}\\\\{\frac {2(2\pi )^{(m-1)/2}\,r^{m}}{1\cdot 3\dots m}}&\qquad m{\text{ nepara}}\end{cases}}}$ 

Sfero povas esti konstruita topologie simile al la aliaj konataj surfacoj.

Startu de kvadrato kaj tiam gluu kune respektivajn kolorigitajn randoj, tiel ke la sagoj kongruu. Sfero povas esti prezentita kiel kvocienta spaco, unuobla kvadrato ( [0,1] × [0,1] ) kun flankoj identigitaj jene:

(0, y) ~ (1-y, 1) por 0 ≤ y ≤ 1

(x, 0) ~ (1, 1-x) por 0 ≤ x ≤ 1

Notu, ke ĉi tio estas abstrakta gluado en topologia senco.

Ĉi tiu kvadrato estas fundamenta plurlatero de sfero.

• Cirklo
• Disko (matematiko)
• Kaloto
• Zono (matematiko)
• Globo (matematiko)
• Sfera geometrio
• Sferaj koordinatoj
• Sfera ŝelo
• Homologeca sfero
• Homotopeca sfero
• Metrika spaco
• Rimana sfero
• Solida angulo
• 3-sfero

• http://mathworld.wolfram.com/Sphere.html
• http://www.mathsisfun.com/geometry/sphere.html - bildoj
• http://www.walter-fendt.de/m14d/kugelvolumen.htm Arkivigite je 2013-06-29 per la retarkivo Wayback Machine