Spuro (lineara algebro)

La spuro estas lineara operatoro. Tio estas ke

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

tr(rA) = r tr(A)

por ĉiuj kvadrataj n-per-n matricoj A kaj B kaj ĉiu skalaro r.

Pro tio ke la ĉefa diagonalo estas invarianta je transpono, matrico kaj ĝia transpono havas la saman spuron:

tr(A) = tr(A^T) .

Se A estas m×n matrico kaj B estas n×m matrico, tiam ambaŭ produtoj AB kaj BA estas kvadrataj, kaj

tr(AB) = tr(BA) .

Ĉi tion eblas pruvi per uzo de difino de matrica multipliko:

${\displaystyle \mathrm {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}(AB)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}B_{ji}A_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(BA)_{jj}=\mathrm {tr} (BA)}$  .

Uzante komutecon de spuro, oni povas montri ke spuro de produto de kvadrataj matricoj estas egala al spuro de ĉiu cikla permuto de la produto, fakto sciata kiel la cikla propraĵo de la spuro. Ekzemple, kun tri matricoj A, B, C de tiaj ampleksoj ke ABC, CAB kaj BCA ĉiuj ekzistas,

tr(ABC) = tr((AB)C) = tr(C(AB)) = tr(CAB) ,

kaj plu,

tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA) ,

tr(ABCD) = tr(DABC) = tr(CDAB) = tr(BCDA) ,

tr(ABCDE) = tr(EABCD) = tr(DEABC) = tr(CDEAB) = tr(BCDEA) ,

... .

Tamen, eĉ se A, B, kaj C estas kvadrataj matricoj de la sama amplekso, la spuroj de iliaj produtoj povas dependi de la ordo de la produto, do, ne ĉiuj permutoj de la tri matricoj estas permesataj por ne ŝanĝi spuron de la produto. Ekzemple,

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}}\right)\qquad B=\left({\begin{array}{cc}2&1\\1&0\end{array}}\right)\qquad C=\left({\begin{array}{cc}0&2\\1&1\end{array}}\right)}$  .

Tiam ${\displaystyle \mathrm {tr} (ABC)=\mathrm {tr} \left({\begin{array}{cc}1&5\\1&5\end{array}}\right)=6}$  kaj ${\displaystyle \mathrm {tr} (BAC)=\mathrm {tr} \left({\begin{array}{cc}0&6\\0&2\end{array}}\right)=2}$  .

Tamen, se produtoj de tri simetriaj matricoj estas konsiderata, ĉiu permuto estas permesata kaj ne ŝanĝas spuron de la produto:

tr(ABC) = tr(A^TB^TC^T) = tr((CBA)^T) = tr(CBA).

Por pli ol tri faktoroj tamen denove ne ĉiu permuto estas permesata eĉ kun simetriaj matricoj.

La spuro estas simileco-invarianto, kio signifas ke A kaj P⁻¹AP (P estas inversigebla matrico) havas la saman spuron:

tr(P⁻¹AP') = tr(PP⁻¹A) = tr(A) ,

kvankam ekzistas matricoj kiu havas la saman spuron sed estas ne similaj.

Por donita iu lineara transformo f : V → V (V estas finidimensia vektora spaco) ĝenerale oni povas difini la spuron kiel spuro de matrica prezento de f, tio estas, per elekto de bazo por V kaj priskribo de f kiel kvadrata matrico relativa al ĉi tiu bazo, kaj preno de spuro de ĉi tiu matrico. La rezulto ne dependas de la bazo elektita, pro tio ke por malsama bazoj estas similaj matricoj, Tiel la spuro de lineara transformo estas difinita sendepende de bazo.

Se A kaj B estas pozitivaj duone-difinitaj matricoj de la sama ordo tiam:

${\displaystyle 0\leq \mathrm {tr} (AB)^{n}\leq \mathrm {tr} (A)^{n}\mathrm {tr} (B)^{n}}$  .

Estu A n-per-n matrico kun reelaj aŭ kompleksaj elementoj. Estu λ₁,...,λn ĝiaj ejgenoj, kun ĉiu ajgeno listigita en tiu kvanto de fojoj kiu estas ĝi algebra obleco. Tiam:

tr(A) = ∑ λ_i.

Ĉi tio sekvas el tio ke A estas simila al sia jordana formo, kiu estas supra triangula matrico havanta erojn λ₁,...,λ_n sur la ĉefdiagonalo.

Por m-per-n matrico A kun kompleksaj aŭ reelaj elementoj (A^* estas la konjugita transpono de A):

tr(A^*A) ≥ 0

kaj tr(A^*A) = 0 se kaj nur se A = 0. La asigno

${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (A^{*}B)}$ 

difinas enan produton sur la spaco de komplekso aŭ reela m-per-n matricoj.

Se m=n tiam la normo difinata per ĉi tiu ena produto estas la normo de Frobenius de kvadrata matrico. Ĝi estas la samo kiel eŭklida normo se la matrico estas konsiderata kiel vektoro de longo n² kun ĉiuj elementoj reordigitaj el kvadrato en unu pli longan kolumnon.

• Neegalaĵo de Golden-Thompson