Axiome de séparation (topologie)

On dit qu'un espace topologique X est de Kolmogorov, ou vérifie la propriété T₀, si pour deux points distincts quelconques de X, l'un (au moins) des deux points admet un voisinage qui ne contient pas l'autre point. Ou encore, l'un des deux points n'est pas adhérent à l'autre.

Un espace T₁ est un espace topologique dont les singletons sont fermés. Ceci équivaut à : pour tout point x, l'intersection des voisinages de x est réduite au singleton {x}. Ou encore, pour deux points distincts quelconques, chacun des deux points admet un voisinage qui ne contient pas l'autre point. Ou encore, aucun des deux points n'est adhérent à l'autre.

Un espace est T₁ si et seulement s'il est à la fois T₀ et R₀.

Un « espace à unique limite séquentielle » (traduction libre du nom en anglais sous lequel cette notion est plus connue : space with unique sequential limit ou US-space) est un espace X dans lequel chaque suite convergente n'a qu'une limite, ou encore, tel que la diagonale est séquentiellement fermée dans X×X.

Tout espace à unique limite séquentielle est T₁ mais la réciproque est fausse^[3].

Un espace topologique X est faiblement séparé, ou faiblement Hausdorff, ou t₂^[5] lorsque pour tout espace compact K et toute application continue f de K dans X, l'image de K par f est fermée dans X.

Tout espace faiblement séparé est T₁ (mais pas nécessairement à unique limite séquentielle^[6]). Pour montrer que tout singleton est fermé, il suffit en effet de considérer un compact K non vide et l'application f constante de K dans ce singleton.

Un espace KC est un espace dans lequel tout quasi-compact est fermé^[7] (une notion voisine est celle d'espace compactement engendré).

Tout espace KC est faiblement séparé. En effet, l'image d'un compact par une application continue est quasi-compacte.

Tout espace KC est à unique limite séquentielle mais la réciproque est fausse^[3].

Cependant, dans un espace séquentiel à unique limite séquentielle, toute partie dénombrablement compacte est fermée^[9], donc l'espace est KC.

Sur un espace donné, une topologie quasi-compacte est maximale pour cette propriété si et seulement si elle est KC et une topologie KC est minimale pour cette propriété si et seulement si elle est quasi-compacte, si bien que les topologies quasi-compactes maximales et KC minimales sont les mêmes^[3],[10].

C'est la propriété classique. Un espace topologique est dit T₂, ou de Hausdorff, ou espace séparé, si pour tout couple (x,y) d'éléments distincts de X, il existe deux ouverts disjoints dont l'un contient x et l'autre contient y. Ceci équivaut à : pour tout point x, l'intersection des voisinages fermés de x est réduite au singleton {x}, ou encore à : la diagonale est fermée dans X×X.

La séparation T₂ entraîne la séparation KC (c'est le théorème classique selon lequel tout compact d'un séparé est fermé).

La réciproque est fausse, mais un espace à bases dénombrables de voisinages est séparé dès qu'il est à unique limite séquentielle^[3].

La topologie de Zariski sur une variété algébrique est T₁ mais en général non séparée.

Un espace topologique est un espace T_{2 1/2} lorsque deux points distincts admettent des voisinages dont les adhérences sont disjointes. Ou encore, deux points distincts admettent des voisinages fermés disjoints.

Tout espace T_{2 1/2} est séparé mais la réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant^[12]. On considère l'ensemble E du plan constitué de l'intérieur du disque de centre O de rayon 1 et des deux points (1, 0) et (–1, 0). Une base de voisinages d'un point intérieur au disque est formée des disques centrés en ce point. Une base de voisinages du point (1, 0) est constituée des réunions de ce point et d'une bande semi-circulaire (ouverte au sens usuel) adjacente à ce point et limitée par des segments [(0, 1), (0, 1 – h)] et [(0, –1), (0, –1 + h)]. De même pour (–1, 0). Dans le dessin ci-contre, on a représenté en couleur un voisinage d'un point intérieur au disque, et un voisinage de chacun des points (1, 0) et (–1, 0). Si ces deux derniers voisinages sont ouverts, ils sont disjoints, mais leurs adhérences s'intersectent selon une partie des segments communs qui les limitent. L'espace E est donc séparé mais pas T_{2 1/2}.

Un espace topologique X est appelé espace d'Urysohn lorsque pour tous points distincts x et y de X, il existe une fonction continue f de X dans le segment [0, 1] telle que f(x) = 0 et f(y) = 1. Un espace d'Urysohn est T_{2 1/2}.

Un espace est d'Urysohn si et seulement si l'application canonique vers son compactifié de Stone-Čech est injective.

Un espace topologique X vérifie T₃ lorsque pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe deux ouverts disjoints dont l'un contient x et l'autre contient F.

Tout espace vérifiant T₃ et T₀ est séparé. Un tel espace est dit régulier. Il vérifie T_{2 1/2}, mais pas toujours T_{2 3/4}^[13]. Inversement, la K-topologie sur ℝ vérifie T_{2 3/4} mais pas T₃.

Un espace topologique X vérifie T_{3 1/2} si pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F. Ceci équivaut à : X est uniformisable^[14].

Tout espace vérifiant T_{3 1/2} et T₀ est séparé. Un tel espace est qualifié de complètement régulier (on dit aussi : espace de Tychonov). Un espace complètement régulier est donc non seulement régulier mais aussi d'Urysohn.

Un espace est complètement régulier si et seulement s'il se plonge dans un espace compact.

Un espace topologique X vérifie T₄ lorsque pour tout couple de fermés disjoints E et F, il existe un couple d'ouverts disjoints dont l'un contient E et l'autre contient F.

Cet axiome n'est pas préservé par passage aux sous-espaces ni par passage aux produits (cependant, tout sous-espace fermé d'un espace T₄ est T₄).

Il n'implique aucun des précédents. En particulier, un espace peut vérifier T₄ sans être séparé : la topologie grossière vérifie T₄. Par contre, si un espace vérifie T₄ et T₁ alors il est séparé.

Un espace séparé vérifiant T₄ est dit normal.

Si X vérifie T₄, pour tout couple de fermés disjoints E et F, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 sur E et 1 sur F. Cette propriété remarquable s'appelle le lemme d'Urysohn. Plus généralement, le théorème de prolongement de Tietze assure que toute fonction continue d'un fermé de X dans ℝ s'étend continûment à X.

En particulier, tout espace normal est complètement régulier.

Tout espace paracompact (en particulier tout compact) est normal.

Un espace topologique X vérifie T₅ si pour toutes parties A et B de X telles que A ∩ B = ∅ et B ∩ A = ∅, il existe deux ouverts disjoints dont l'un contient A et l'autre contient B.

Cela équivaut à : tout sous-espace de X vérifie T₄, et il suffit pour cela que les sous-espaces ouverts de X vérifient T₄.

Un espace séparé vérifiant T₅ est dit complètement normal.

Un espace est donc complètement normal si et seulement si tous ses sous-espaces sont normaux.

Tout ensemble totalement ordonné muni de la topologie de l'ordre — par exemple tout espace topologique associé à un ordinal — est complètement normal.

La planche de Tychonov [0, ω₁]×[0, ω], produit de deux espaces complètement normaux, est un compact non complètement normal.

Un espace séparé X est dit parfaitement normal si tout fermé de X est le lieu d'annulation d'une application continue f de X dans ℝ.

Tout espace métrisable est parfaitement normal (prendre pour f la fonction distance au fermé).

Tout sous-espace d'un espace parfaitement normal est encore parfaitement normal.

Un espace parfaitement normal est normal (et par suite complètement normal, d'après la stabilité précédente pour les sous-espaces). Mieux : pour tous fermés disjoints E et F d'un tel espace X, e et f étant des fonctions continues qui s'annulent exactement sur ces fermés, la fonction ${\displaystyle {\frac {|e|}{|e|+|f|}}:X\to [0,1]}$  est continue, et vaut 0 exactement sur E et 1 exactement sur F.

Tout espace parfaitement normal est un espace G_δ (en)^[15], c'est-à-dire dans lequel tout fermé est un sous-ensemble G_δ (une intersection dénombrable d'ouverts), en l'occurrence ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{+\infty }f^{-1}\left(\,\left]-1/n,1/n\right[\,\right)}$  mais la réciproque est fausse : la K-topologie est un espace G_δ qui n'est pas parfaitement normal ni même normal.

La définition originelle (due à Čech et équivalente)^[16] est : un espace est parfaitement normal si c'est un espace G_δ normal.

Un exemple d'espace complètement normal mais non parfaitement normal est [0, ω₁] (muni de la topologie de l'ordre), où ω₁ désigne le premier ordinal non dénombrable.

• Histoire des axiomes de séparation (en)
• Ensembles séparés (en)

• (en) Mickael Henle, A Combinatorial Introduction to Topology, Dover, 1994, 310 p. (ISBN 978-0-486-67966-2, présentation en ligne)
• (en) James Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000, 2^e éd. (lire en ligne), chap. 4
• (en) Stephen Willard, General Topology, Dover, 2012 (1^re éd. 1970), 384 p. (ISBN 978-0-486-13178-8, présentation en ligne)

(en) Karl H. Hofmann, « The low separation axioms (T₀) and (T₁) », sur Université technique de Darmstadt, 2001

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