«Ութանիստ»–ի խմբագրումների տարբերություն
No edit summary |
No edit summary |
||
Տող 1. | Տող 1. | ||
{{միացնել|Օկտաէդր}} |
|||
{| border="1" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" |
{| border="1" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" |
||
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Ութանիստ |
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Ութանիստ |
||
Տող 47. | Տող 46. | ||
[[Պատկեր:Вписанный правильный октаэдр.gif|thumb|right|Օկտաեդրին արտագծված գնդային մակերևույթ]] |
[[Պատկեր:Вписанный правильный октаэдр.gif|thumb|right|Օկտաեդրին արտագծված գնդային մակերևույթ]] |
||
== Կանոնավոր օկտաէդր == |
|||
Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 8 եռանկյուն նիստ, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագթից դուրս է գալիս 4 նիստ։ |
|||
=== Չափեր === |
|||
Եթե օկտաէդրի կողի երկարությունը հավասար է ''а'', ապա օկտաէդրին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է. |
|||
<center><math>r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \approx 0.7071067 \cdot a </math>,</center> |
|||
Օկտաէդրին ներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հաշվում են հետևյալ բանաձևով. |
|||
<center><math>r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}\approx 0.4082482\cdot a : </math></center> |
|||
[[Երկնիստ անկյուն]]ը. <math>\alpha = 2\phi \approx 109,47^\circ</math>, որտեղ <math>\phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3})</math>: |
|||
Բոլոր կողերը շոշափող կիսաներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է |
|||
: <math>r_m = \frac{a}{2} = 0.5\cdot a</math>: |
|||
=== Օրթոգոնալ պրոյեկցիաները === |
|||
''Օկտաէդրն'' ունի չորս հատուկ [[Պրոյեկցիա|օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ]]՝ կենտրոնադրած կողով, գագաթով, նիստով և նիստի նորմալով։ Երկրորդ և երրորդ դեպքը համապատասխանում են Կոքսետերի B<sub>2</sub> և A<sub>2</sub> հարթություններին։ |
|||
{|class=wikitable width=480 |
|||
|+Օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ |
|||
|- |
|||
!Կենտրոնադրում |
|||
!Կողով |
|||
!Նիստի նորմալով |
|||
!Գագաթով |
|||
!Նիստով |
|||
|- |
|||
!Պատկեր |
|||
|[[Պատկեր:Cube t2 e.png|100px]] |
|||
|[[Պատկեր:Cube t2 fb.png|100px]] |
|||
|[[Պատկեր:3-cube t2 B2.svg|100px]] |
|||
|[[Պատկեր:3-cube t2.svg|100px]] |
|||
|- align=center |
|||
!Պրոյեկտիվ համաչափություն |
|||
|[2] |
|||
|[2] |
|||
|[4] |
|||
|[6] |
|||
|} |
|||
=== Գնդային խճանկար === |
|||
Օկտաէդրը կարելի է ներկայացնել որպես [[Գնդային բազմանիստ|գնդային խճանկար]] և հարթության վրա պրոյեկտել [[տարածագրական պրոյեկցիա]]յի օգնությամբ։ Այդ պրոյեկցիան [[Կոնֆորմ արտապատկերում|կոնֆորմ]] է, պահպանում է անկյունները, բայց ոչ երկարություններն ու մակերեսը։ Գնդի վրայի հատվածները հարթության վրա արտապատկերվում են շրջանագծի աղեղների։ |
|||
{|class=wikitable |
|||
|- align=center valign=top |
|||
|[[Պատկեր:Uniform tiling 432-t2.png|160px]] |
|||
|[[Պատկեր:octahedron stereographic projection.png|160px]]<br>[[Եռանկյուն]]ա-կենտրոնադրած |
|||
|- |
|||
![[Պրոյեկցիա|Օրթոգոնալ պրոյեկցիա]] |
|||
!colspan=1|[[Տարածագրական պրոյեկցիա]] |
|||
|} |
|||
=== Դեկարտյան կոորդինատներ === |
|||
<math>\sqrt{2}</math> երկարությամբ կողով օկտաէդրը կոորդինատների սկզբնակետից կարող է տեղադրվել այնպես, որ նրա բարձրություններն ընկած լինեն կոորդինատային առանցքների վրա։ Այդ դեպքում գագաթների [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|դեկարտյան կոորդինատները]] կլինեն. |
|||
: (±1, 0, 0); |
|||
: (0, ±1, 0); |
|||
: (0, 0, ±1): |
|||
''x''-''y''-''z'' [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում]] օկտաէդրը դա (''a'', ''b'', ''c'') կետով կենտրոնով և ''r'' շառավղով բոլոր (''x'', ''y'', ''z'') կետերի բազմությունն է, այնպես, որ |
|||
:<math>\left|x - a\right| + \left|y - b\right| + \left|z - c\right| = r:</math> |
|||
=== Մակերես և ծավալ === |
|||
''a'' երկարությամբ կողով կանոնավոր օկտաէդրի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է |
|||
: <math>S=2a^2\sqrt{3} \approx 3.46410162a^2</math>: |
|||
Օկտաէդրի ծավալը (''V'') հաշվարկվում է |
|||
: <math>V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3 \approx 0.471404521a^3</math> |
|||
: բանաձևով։ |
|||
Այսպիսով, նույն երկարությամբ կողով օկտաէդրի ծավալը չորս անգամ մեծ է տետրաէդրի ծավալից, իսկ մակերևույթի մակերեսը մեծ է երկու անգամ (քանի որ ��ակերևույթը կազմված է 8 եռանկյուններից, իսկ տետրաէդրը՝ 4): |
|||
Եթե օկտաէդրը ձգենք, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը. |
|||
: <math>\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,</math> |
|||
մակերեսի և ծավալի բանաձևերը վերածվում են՝ |
|||
: <math>A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}</math> |
|||
: <math>V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m</math> |
|||
Բացի այդ, ձգված օկտաէդրի իներցիայի մոմենտների տենզորը հավասար կլինի. |
|||
: <math> |
|||
I = |
|||
\begin{bmatrix} |
|||
\frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\ |
|||
0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2) & 0 \\ |
|||
0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2) |
|||
\end{bmatrix} |
|||
</math> |
|||
Այն բերվում է կանոնավոր օկտաէդրի հավասարման, երբ. <math>x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}</math>: |
|||
=== Երկրաչափական կապեր === |
|||
[[Պատկեր:Compound of two tetrahedra.png|left|thumb|Օկտաէդրն իրենից ներկայացնում է երկու տետրաէդրերի հատում]] |
|||
Երկու երկակի տետրաէդրերի ներքին (ընդհանուր) փոխդասավորվածության մաս է կազմում օկտաէդրը, իսկ հենց այդ փոխդասավորությունը կոչվում է [[աստղաձև օկտաէդր]] (լատ. ''stella octangula''): Փոխդասավորվածությունը հանդիսանում է օկտաէդրի [[Աստղաձև բազմանիստ|աստղաձև]] միակ ձևը։ Հետևաբար, կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է կանոնավոր տետրաէդրից կողի կեսի երկայնքով չորս կանոնավոր տետրաէդրերով հատույթ։ Օկտաէդրի գագաթները ընկած են տետրաէդրի կողերի մեջտեղում և օկտաէդրը տետրաէդրի հետ կապված է նույն ձևով, ինչպես խորանա��դաօկտաէդրը և իկոսոդոեկտաէդրը կապված են պլատոնյան մնացած մարմինների հետ։ |
|||
Օկտաէդրը պլատոնյան մարմինների շրջանակում յուրահատուկ է նրանով, որ միայն նա յուրաքանչյուր գագաթին կից ունի զույգ թվով նիստեր։ |
|||
Օկտաէդրը համարվում է 4-կապանի։ Դա նշանակում է, որ պետք է հեռացնել չորս գագաթները, որպեսզի մնացածները հեռացնեն։ Դա 4-կապանի 4 սիմպլիցիալ լավ ծածկույթով բազմանիստերից մեկն է, որը նշանակում է, որ գագաթների ամենաշատ անկախ բազմությունները ունեն նույն չափը։ Այդ հատկություններով մնացած երեք բազմանիստերն են հնգանկյուն երկբուրգը, սիամական դոդեկաէդրը և 12 գագաթներով և 20 եռանկյուն նիստերով անկանոն բազմանիստը{{sfn|Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer|2010|с=894–912}}։ |
|||
* Օկտաէդրը կարելի է ներգծել տետրաէդրին, ընդ որում օկտաէդրի 8 նիստերից 4-ը կլինեն համադրված տետրաէդրի չորս նիստերի հետ, օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները կլինեն համադրված տետրաէդրի վեց կողերի միջնակետերի հետ։ |
|||
* Օկտաէդրը կարելի է ներգծել խորանարդին, ընդ որում օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները համադրված կլինեն խորանարդի վեց նիստերի կենտրոնների հետ։ |
|||
* Օկտաէդրին կարելի է ներգծել խորանարդ, ընդ որում խորանարդի բոլոր ութ գագաթները տեղակայված կլինեն օկտաէդրի ութ նիստերի կենտրոններում։ |
|||
=== Համասեռ գունավորում և սիմետրիա === |
|||
Գոյություն ունի համասեռ գունավորմամբ 5 օկտաէդրեր, անվանված են ըստ իրենց նիստերի գույների. 1212, 1112, 1111: |
|||
Օկտաէդրի [[համաչափության խումբ]] է հանդիսանում 48 կարգի O<sub>h</sub> հիպերօկտաէդրալ եռաչափ խումբը։ Այդ խմբի ենթախմբերի կազմի մեջ է մտնում D<sub>3d</sub> (12 կարգի)՝ եռանկյուն [[անտիպրիզմա]]յի համաչափության խումբը, '''D<sub>4h</sub>''' (16 կարգի)՝ քառակուսային [[երկբուրգ]]ի համաչափության խումբը և T<sub>d</sub> (24 կարգի)՝ ամբողջությամբ հատած տետրաէդրի համաչափության խումբ։ Այդ համաչափությունները կարելի է ընդգծել նիստերի տարատեսակ գունավորման ճանապարհով։ |
|||
{| class=wikitable |
|||
!Անվանում |
|||
!Օկտաէդր |
|||
!Ամբողջությամբ |
|||
հատած |
|||
[[տետրաէդր]]<BR>(Տետրատետրաէդր) |
|||
!Եռանկյունային [[անտիպրիզմա]] |
|||
!Քառակուսային [[երկբուրգ]] |
|||
!Շեղանկյունային երկբուրգ |
|||
|- align=center |
|||
!Պատկեր<BR>(Նիստերի գունավորում) |
|||
|[[Պատկեր:Uniform polyhedron-43-t2.png|100px]]<BR>(1111) |
|||
|[[Պատկեր:Uniform polyhedron-33-t1.png|100px]]<BR>(1212) |
|||
|[[Պատկեր:Trigonal antiprism.png|100px]]<BR>(1112) |
|||
|[[Պատկեր:Square bipyramid.png|100px]]<BR>(1111) |
|||
|[[Պատկեր:Rhombic bipyramid.png|100px]]<BR>(1111) |
|||
|- align=center |
|||
!Շլեֆլիի սիմվոլ |
|||
|{3,4} |
|||
|r{3,3} |
|||
|s{2,6}<BR>sr{2,3} |
|||
|ft{2,4}<BR>{ } + {4} |
|||
|ftr{2,2}<BR>{ } + { } + { } |
|||
|- align=center |
|||
!Վիտխոֆֆի սիմվոլ |
|||
| 4 | 3 2 |
|||
| 2 | 4 3 |
|||
| 2 | 6 2 <BR> | 2 3 2 |
|||
| || |
|||
|- align=center |
|||
!Համաչափություն |
|||
|O<sub>h</sub>, [4,3], (*432) |
|||
|T<sub>d</sub>, [3,3], (*332) |
|||
|D<sub>3d</sub>, [2<sup>+</sup>,6], (2*3)<BR>D<sub>3</sub>, [2,3]<sup>+</sup>, (322) |
|||
|D<sub>4h</sub>, [2,4], (*422) |
|||
|D<sub>2h</sub>, [2,2], (*222) |
|||
|- align=center |
|||
!Կարգ |
|||
|48 |
|||
|24 |
|||
|12<BR>6 |
|||
|16 |
|||
|8 |
|||
|} |
|||
=== Փռվածքներ === |
|||
Գոյություն ունի օկտաէդրի 12 փռվածք<ref name="mw">{{MathWorld3|Octahedron}}</ref>։ |
|||
=== Երկակիություն === |
|||
Օկտաէդրը [[Երկակի բազմանիստեր|երկակի]] է խորանարդին։ |
|||
: [[Պատկեր:Dual Cube-Octahedron.svg|240px]] |
|||
=== Հատույթ === |
|||
Համասեռ [[տետրահեմիհեկսաէդր]]ը համարվում է կանոնավոր օկտաէդրի տետրաէդրալ համաչափության հետ հատույթ, որը պահպանում է կողերի և գագաթների դասավորությունը։ Հատույթն ունի չորս եռանկյուն նիստեր և 3 կենտրոնական քառակուսի։ |
|||
{| class="wikitable" style="vertical-align:top;text-align:center" |
|||
| [[Պատկեր:Uniform polyhedron-33-t1.png|100px]]<br>Օկտաէդր |
|||
| [[Պատկեր:tetrahemihexahedron.png|100px]]<br>[[Տետրահեմիհեկսաէդր]] |
|||
|} |
|||
== Ոչ կանոնավոր օկտաէդրեր == |
|||
Հաջորդ բազմանիստերը կոմբինատոր համարժեք են կանոնավոր օկտաէդրին։ Նրանք բոլորն ունեն վեց գագաթ, ութ եռանկյուն նիստեր և տասներկու կողեր, ինչը համապատասխանում է կանոնավոր օկտաէդրի պարամետրերին։ |
|||
* ''Եռանկյուն [[անտիպրիզմա]]ներ՝'' երկու նիստերն իրենցից ներկայացնում են զուգահեռ հարթություններում ընկած և համաչափության ընդհանուր առանք ունեցող հավասարակողմ եռանկյուններ։ Մյուս վեց եռանկյունները հավասարակողմ են։ |
|||
* Քառանկյուն երկբուրգեր, որի մեջ ամենաքիչը մեկ էկվատորիալ քառանկյունը ընկած է հարթության մեջ։ Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հատուկ դեպք, երբ բոլոր երեք քառանկյունները համդիսանում են հարթ քառակուսիներ։ |
|||
* [[Շոնխարդտի բազմանիստ]], ոչ ուռուցիկ բազմանիստ, որն առանց նոր գագաթներ ներմուծելու հնարավոր չէ տրոհել տետրաէդրերի։ |
|||
=== Այլ ուռուցիկ ութանիստեր === |
|||
Ընդհանուր առմամբ, օկտաէդր կարող է անվանվել ութ նիստ ունեցող բազմանիստը։ Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 6 գագաթ և 12 կող՝ մինիմալ թիվ օկտաէդրի համար։ Ոչ կանոնավոր ութանիստերը կարող են ունենալ մինչև 12 գագաթ և 18 կող<ref name="mw" /><ref>{{Cite web |author=Steven Dutch |title=Enumeration of Polyhedra |url=http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/polynum0.htm |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20111010185122/http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/polynum0.htm |archivedate=2011 թ․ հոկտեմբերի 10 |accessdate=2015 թ․ նոյեմբերի 8}}</ref>։ |
|||
[[Պատկեր:Hexagonal prism.png|thumb|100px|Վեցանկյուն պրիզմա]] |
|||
[[Պատկեր:Uniform polyhedron-33-t01.png|thumb|100px|Երեսակված տետրաէդր]] |
|||
[[Պատկեր:Tetragonal trapezohedron.png|thumb|100px| Քառանկյուն տետրաէդր]] |
|||
Գոյություն ունի 257 տոպոլոգիապես տարբեր ուռուցիկ ութանիստեր, հայելային արտապատկերումները բացառած<ref name="mw" />։ Մասնավորապես, գոյություն ունի 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 ութանիստեր համապատասխանաբար 6-ից մինչև 12 գագաթների թվով<ref>[http://www.numericana.com/data/polycount.htm Counting polyhedra]</ref><ref>{{Cite web |title=Архивированная копия |url=http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/poly8f0.htm |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141117072140/http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/poly8f0.htm |archivedate=2014 թ․ նոյեմբերի 17 |accessdate=2016 թ․ օգոստոսի 14}}</ref>։ |
|||
Որոշ ոչ կանոնավոր ութանիստեր. |
|||
* [[Ութանկյուն պրիզմա]]. Երկու նիստերը հանդիսանում են զուգահեռ կանոնավոր վեցանկյուններ, վեց քառակուսիներ զույգ առ զույգ միացնում են վեցանկյունների համապատասխան կողմերը։ |
|||
* Յոթանկյուն [[Բուրգ (երկրաչափություն)|բուրգ]]. Մեկ նիստը հանդիսանում է յոթանկյուն (հիմնականում կանոնավոր), իսկ մնացած յոթ նիստերը հանդիսանում են եռանկյուններ (հիմնականում հավասարասրուն)։ Հնարավոր չէ, որպեսզի բոլոր եռանկյուն նիստերը լինեն հավասարակողմ։ |
|||
* [[Հատած տետրաէդր]]. Տետրաէդրի չորս նիստերը հատվում են մինչև կանոնավոր վեցանկյուններ և հատած գագաթների տեղում ձևավորվում են երեք հավելյալ հավասարակողմ եռանկյուն նիստեր ։ |
|||
* [[Քառանկյուն տրապեցոէդր]]. Ութ նիստերը [[Կոնգրուենտություն (երկրաչափություն)|կոնգրուենտ]] են [[դելտոիդ]]ներին։ |
|||
== Օկտաէդրերը ֆիզիկական աշխարհում == |
|||
=== Օկտաէդրերը բնության մեջ === |
|||
[[Պատկեր:Fluorite octahedron.jpg|thumb|[[Ֆլյուորիտ|Ֆլյուրոիտ]]ե օկտաէդր]] |
|||
* Բնական մի շարք [[Խորանարդային համակարգ|խորանարդային]] [[բյուրեղ]]ներ ունեն օկտաէդրի տեսք։ Դրանք են. [[ալմաստ]]ը, ալյումինակալիումի սուլֆատը, [[նատրիումի քլորիդ]]ը, պերովսկիտը, [[օլիվին]]ը, [[ֆլյուորիտ]]ը, [[Շպինելներ|շպինել]]ը։ |
|||
* Օկտաէդրի ձև ունեն մաքուր մետաղների ([[նիկել]], [[պղինձ]], [[մագնեզիում]], [[տիտան]], [[լանթան]] և շատ ուրիշներ) պլատոնափաթեթային կառուցվածքների մեջ միջատոմային դատարկությունները (անցքեր)։ |
|||
* Կամասիտի [[համաձուլվածքներ]]ի թիթեղը օկտաէդրիտային երկնաքարերում տեղավորված են ութանիստ օկտաէդրի ութ նիստերին զուգահետ։ |
|||
=== Օկտաէդրն արվեստի և մշակույթի մեջ === |
|||
[[Պատկեր:Rubiks snake octahedron.jpg|thumb|Երկու միանման դասավորած [[ռուբիկի օձ]]երը կարող են մոտարկել օկտաէդր:]] |
|||
* Խաղերի մեջ օկտաէդրի տեսքի [[զառ]]ը կոչվում է «d8»: |
|||
* Եթե օկտաէդրի յուրաքանչյուր կող փոխարինենք [[Օհմ (չափման միավոր)|միաօհմ]] [[Ռեզիստոր|ռեզիստր]]ով, հանդիպակաց գագաթների միջև դիմադրությունը կկազմի 1/2 Օհմ, իսկ կից գագաթների միջև՝ 5/12 Օհմ{{sfn|Klein|2002|с=633–649}}. |
|||
* Երաժշտական յոթ նոտաներ օկտաէդրի գագաթների վրա կարելի է դասավորել այնպես, որ յուրաքանչյուր կող ներկայացնի ներդաշնակ զույգ, իսկ յուրաքանչյուր նիստ՝ ներդաշնակ եռյակ։ |
|||
* Հակատանկային ոզնին ունի երեք շեղակի օկտաէդրի ձև։ |
|||
=== Տետրաէդալ կապ === |
|||
Կրկնվող տետրաէդրերից և օկտաէդրերից կազմված կմախքը 1950-ական թվականներին հայտնաբերել է [[Ռիչարդ Բաքմինսթեր Ֆուլլեր|Ֆուլլեր]]ը և այն հայտնի է որպես տարածական շրջանակ և համարվում է ամուր կառույց։ |
|||
== Կապված բազմանիստեր == |
|||
Կանոնավոր օկտաէդր կարելի է ստանալ իրար հաջորդող նիստերի վրա ավելացնելով չորս տետրաէդրեր։ Բոլոր ութ նիստերին տետրադրեր ավելացնելը ձևավորում է աստղաձև օկտաէդր։ |
|||
{| class=wikitable |
|||
|[[Պատկեր:Triangulated tetrahedron.png|120px]] |
|||
|[[Պատկեր:Compound of two tetrahedra.png|120px]] |
|||
|- |
|||
![[Տետրաէդր]] |
|||
! Աստղաձև օկտաէդր |
|||
|} |
|||
=== Տետրատետրաէդր === |
|||
Կանոնավոր օկտաէդրը կարելի է դիտարկել որպես ամբողջական հատած տետրաէդր և կարող է անվանվել տետրատետրաէդր։ Դա կարելի է ցույց տալ երկու գույնով ներկված մոդելով։ Այդ գունավորմամբ օկտաէդրն ունենում է տետրաէդրալ համաչափություն։ |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|+Համասեռ տետրաէդրալ բազմանիստերի ընտանիք |
|||
|- style="text-align:center;" |
|||
!colspan=7|Համաչափություն։ [[Տետրաէդրալ համաչափություն|[3,3]]], (*332) |
|||
![3,3]<sup>+</sup>, (332) |
|||
|- style="text-align:center;" |
|||
|[[Պատկեր:Uniform polyhedron-33-t0.png|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Uniform polyhedron-33-t01.png|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Uniform polyhedron-33-t1.png|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Uniform polyhedron-33-t12.png|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Uniform polyhedron-33-t2.png|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Uniform polyhedron-33-t02.png|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Uniform polyhedron-33-t012.png|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Uniform polyhedron-33-s012.png|50px]] |
|||
|- style="text-align:center;" |
|||
|[[Տետրաէդր|{3,3}]] |
|||
|t{3,3} |
|||
|r{3,3} |
|||
|t{3,3} |
|||
|[[Տետրաէդր|{3,3}]] |
|||
|[[Խորանարդաօկտաէդր|rr{3,3}]] |
|||
|tr{3,3} |
|||
|[[Իկոսաէդր|sr{3,3}]] |
|||
|- |
|||
! colspan="8" |Երկակի բազմանիստեր |
|||
<!-- |- style="text-align: center;" |
|||
!{{CDD|node_f1|3|node|3|node}} |
|||
!{{CDD|node_f1|3|node_f1|3|node}} |
|||
!{{CDD|node|3|node_f1|3|node}} |
|||
!{{CDD|node|3|node_f1|3|node_f1}} |
|||
!{{CDD|node|3|node|3|node_f1}} |
|||
!{{CDD|node_f1|3|node|3|node_f1}} |
|||
!{{CDD|node_f1|3|node_f1|3|node_f1}} |
|||
!{{CDD|node_fh|3|node_fh|3|node_fh}} --> |
|||
|- style="text-align:center;" |
|||
|[[Պատկեր:Tetrahedron.svg|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Triakistetrahedron.jpg|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Hexahedron.svg|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Triakistetrahedron.jpg|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Tetrahedron.svg|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Rhombicdodecahedron.jpg|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:Tetrakishexahedron.jpg|50px]] |
|||
|[[Պատկեր:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px]] |
|||
|- style="text-align:center;" |
|||
|[[Տետրաէդր|V3.3.3]] |
|||
|[[Տրիակիստետրաէդր|V3.6.6]] |
|||
|[[Խորանարդ|V3.3.3.3]] |
|||
|[[Տրիակիստետրաէդր|V3.6.6]] |
|||
|[[Տետրաէդր|V3.3.3]] |
|||
|[[Շեղանկյունադեդոկաէդր|V3.4.3.4]] |
|||
|[[Տրիակիստետրաէդր|V4.6.6]] |
|||
|[[Պենտագոնդոդեկաէդր|V3.3.3.3.3]] |
|||
|} |
|||
== Օկտաեդրի հատկությունները == |
== Օկտաեդրի հատկությունները == |
||
Տող 67. | Տող 334. | ||
</center> |
</center> |
||
* Ութանիստի տեսք ունեն միջատոմային հեռավորությունները կիպ փաթեթվոչված մաքուր մետաղներում ([[նիկել]]ի, [[Պղինձ|պղնձի]], [[մագնեզիում]]ի, [[տիտան]]ի, [[լանթան]]ի և այլ մետաղների) ու իոնական միացություններում (նատրիումի քլորիդ, սֆալերիտ, վյուրցիտ և այլն)։ |
* Ութանիստի տեսք ունեն միջատոմային հեռավորությունները կիպ փաթեթվոչված մաքուր մետաղներում ([[նիկել]]ի, [[Պղինձ|պղնձի]], [[մագնեզիում]]ի, [[տիտան]]ի, [[լանթան]]ի և այլ մետաղների) ու իոնական միացություններում (նատրիումի քլորիդ, սֆալերիտ, վյուրցիտ և այլն)։ |
||
== Տես նաև == |
|||
* [[Կոմպլեքս միացություններ]] |
|||
== Ծանոթագրություններ == |
== Ծանոթագրություններ == |
||
{{ծանցանկ}} |
{{ծանցանկ}} |
||
== Գրականություն == |
|||
== Աղբյուրներ == |
|||
{{refbegin}} |
|||
* Սովետական հանրագիտարան |
|||
* [[Большая советская энциклопедия]] |
|||
* {{Ռուսերեն հոդված |ref=Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer |автор=Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer |заглавие=On well-covered triangulations. III |год=2010 |издание=Discrete Applied Mathematics |том=158 |выпуск=8 |doi=10.1016/j.dam.2009.08.002 |mr=2602814}} |
|||
* {{Ռուսերեն հոդված |ref=Klein |автор=Douglas J. Klein |заглавие=Resistance-Distance Sum Rules |год=2002 |издание=Croatica Chemica Acta |том=75 |выпуск=2 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20070610165115/http://jagor.srce.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2002/v75-n2/CCA_75_2002_633_649_KLEIN.pdf |archivedate=2007-06-10 |accessdate=2006-09-30 |deadlink=да |url=http://jagor.srce.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2002/v75-n2/CCA_75_2002_633_649_KLEIN.pdf}} |
|||
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Williams |автор=R. Williams |заглавие=The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design |год=1979 |часть=Chapter 5 The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's |место=New York |издательство=[[Dover Publications]]}} |
|||
{{refend}} |
|||
== Արտաքին հղումներ == |
|||
* {{mathworld |urlname=Octahedron |title=Octahedron}} |
|||
* [http://www.bendwavy.org/klitzing/dimensions/polyhedra.htm Klitzing Polytopes, 3D convex uniform polyhedra] |
|||
* [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=1S2GJRuqXD7blH9ixbn1mPoTSPo6vkjWddm7xoNxFj&name=Octahedron#applet Editable printable net of an octahedron with interactive 3D view] |
|||
* [http://www.software3d.com/Octahedron.php Paper model of the octahedron] |
|||
* [http://www.kjmaclean.com/Geometry/GeometryHome.html K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra] |
|||
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra] |
|||
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra |
|||
** [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html Conway Notation for Polyhedra] Try: dP4 |
|||
{{ՀՍՀ}} |
|||
[[Կատեգորիա:Երկրաչափական մարմիններ]] |
[[Կատեգորիա:Երկրաչափական մարմիններ]] |
||
[[Կատեգորիա:Կանոնավոր բազմանիստեր]] |
|||
[[Կատեգորիա:Բազմանիստեր]] |
08:45, 3 Օգոստոսի 2024-ի տարբերակ
Ութանիստ | |
---|---|
Տեսակ | Կանոնավոր բազմանիստ |
Նիստ | եռանկյուն |
Նիստեր | |
Կողեր | |
Գագաթներ | |
Մի գագաթից ելնող նիստեր | |
Գագաթի անկյունը | ստեռ |
Կետային համաչափության խումբ | Օկտաեդրական (Oh) |
Երկակի բազմանիստ | Խորանարդ |
Ութանիստ (հունարեն՝ οκτάεδρον, հունարեն՝ οκτώ, «ութ» и греч. հունարեն՝ έδρα — «հիմք»), Պլատենյան հինգ հայտնի ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստերից մեկը[1]։
Բնութագրիչներ
Ութանիստն ունի 8 եռանկյունաձև նիստեր, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագաթից ելնում են 4 նիստեր։
Եթե ութանիստի կողի երկարությունը а է, ապա լրիվ մակերևույթի մակերեսը (S) և օկտաեդրի ժավալը (V) հաշվվում են հետևյալ բանաձևերով՝
Ութանիստին արտագծված գնդի շառավիղը հավասար է՝
Ութանիստին ներգծված գնդի շառավիղը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝
երկնիստ անկյուն։ , где .
Կանոնավոր օկտաէդր
Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 8 եռանկյուն նիստ, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագթից դուրս է գալիս 4 նիստ։
Չափեր
Եթե օկտաէդրի կողի երկարությունը հավասար է а, ապա օկտաէդրին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է.
Օկտաէդրին ներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հաշվում են հետևյալ բանաձևով.
Երկնիստ անկյունը. , որտեղ :
Բոլոր կողերը շոշափող կիսաներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է
- :
Օրթոգոնալ պրոյեկցիաները
Օկտաէդրն ունի չորս հատուկ օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ՝ կենտրոնադրած կողով, գագաթով, նիստով և նիստի նորմալով։ Երկրորդ և երրորդ դեպքը համապատասխանում են Կոքսետերի B2 և A2 հարթություններին։
Կենտրոնադրում | Կողով | Նիստի նորմալով | Գագաթով | Նիստով |
---|---|---|---|---|
Պատկեր | ||||
Պրոյեկտիվ համաչափություն | [2] | [2] | [4] | [6] |
Գնդային խճանկար
Օկտաէդրը կարելի է ներկայացնել որպես գնդային խճանկար և հարթության վրա պրոյեկտել տարածագրական պրոյեկցիայի օգնությամբ։ Այդ պրոյեկցիան կոնֆորմ է, պահպանում է անկյունները, բայց ոչ երկարություններն ու մակերեսը։ Գնդի վրայի հատվածները հարթության վրա արտապատկերվում են շրջանագծի աղեղների։
Եռանկյունա-կենտրոնադրած | |
Օրթոգոնալ պրոյեկցիա | Տարածագրական պրոյեկցիա |
---|
Դեկարտյան կոորդինատներ
երկարությամբ կողով օկտաէդրը կոորդինատների սկզբնակետից կարող է տեղադրվել այնպես, որ նրա բարձրություններն ընկած լինեն կոորդինատային առանցքների վրա։ Այդ դեպքում գագաթների դեկարտյան կոորդինատները կլինեն.
- (±1, 0, 0);
- (0, ±1, 0);
- (0, 0, ±1):
x-y-z ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում օկտաէդրը դա (a, b, c) կետով կենտրոնով և r շառավղով բոլոր (x, y, z) կետերի բազմությունն է, այնպես, որ
Մակերես և ծավալ
a երկարությամբ կողով կանոնավոր օկտաէդրի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է
- :
Օկտաէդրի ծավալը (V) հաշվարկվում է
- բանաձևով։
Այսպիսով, նույն երկարությամբ կողով օկտաէդրի ծավալը չորս անգամ մեծ է տետրաէդրի ծավալից, իսկ մակերևույթի մակերեսը մեծ է երկու անգամ (քանի որ մակերևույթը կազմված է 8 եռանկյուններից, իսկ տետրաէդրը՝ 4):
Եթե օկտաէդրը ձգենք, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը.
մակերեսի և ծավալի բանաձևերը վերածվում են՝
Բացի այդ, ձգված օկտաէդրի իներցիայի մոմենտների տենզորը հավասար կլինի.
Այն բերվում է կանոնավոր օկտաէդրի հավասարման, երբ. :
Երկրաչափական կապեր
Երկու երկակի տետրաէդրերի ներքին (ընդհանուր) փոխդասավորվածության մաս է կազմում օկտաէդրը, իսկ հենց այդ փոխդասավորությունը կոչվում է աստղաձև օկտաէդր (լատ. stella octangula): Փոխդասավորվածությունը հանդիսանում է օկտաէդրի աստղաձև միակ ձևը։ Հետևաբար, կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է կանոնավոր տետրաէդրից կողի կեսի երկայնքով չորս կանոնավոր տետրաէդրերով հատույթ։ Օկտաէդրի գագաթները ընկած են տետրաէդրի կողերի մեջտեղում և օկտաէդրը տետրաէդրի հետ կապված է նույն ձևով, ինչպես խորանարդաօկտաէդրը և իկոսոդոեկտաէդրը կապված են պլատոնյան մնացած մարմինների հետ։
Օկտաէդրը պլատոնյան մարմինների շրջանակում յուրահատուկ է նրանով, որ միայն նա յուրաքանչյուր գագաթին կից ունի զույգ թվով նիստեր։
Օկտաէդրը համարվում է 4-կապանի։ Դա նշանակում է, որ պետք է հեռացնել չորս գագաթները, որպեսզի մնացածները հեռացնեն։ Դա 4-կապանի 4 սիմպլիցիալ լավ ծածկույթով բազմանիստերից մեկն է, որը նշանակում է, որ գագաթների ամենաշատ անկախ բազմությունները ունեն նույն չափը։ Այդ հատկություններով մնացած երեք բազմանիստերն են հնգանկյուն երկբուրգը, սիամական դոդեկաէդրը և 12 գագաթներով և 20 եռանկյուն նիստերով անկանոն բազմանիստը[2]։
- Օկտաէդրը կարելի է ներգծել տետրաէդրին, ընդ որում օկտաէդրի 8 նիստերից 4-ը կլինեն համադրված տետրաէդրի չորս նիստերի հետ, օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները կլինեն համադրված տետրաէդրի վեց կողերի միջնակետերի հետ։
- Օկտաէդրը կարելի է ներգծել խորանարդին, ընդ որում օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները համադրված կլինեն խորանարդի վեց նիստերի կենտրոնների հետ։
- Օկտաէդրին կարելի է ներգծել խորանարդ, ընդ որում խորանարդի բոլոր ութ գագաթները տեղակայված կլինեն օկտաէդրի ութ նիստերի կենտրոններում։
Համասեռ գունավորում և սիմետրիա
Գոյություն ունի համասեռ գունավորմամբ 5 օկտաէդրեր, անվանված են ըստ իրենց նիստերի գույների. 1212, 1112, 1111:
Օկտաէդրի համաչափության խումբ է հանդիսանում 48 կարգի Oh հիպերօկտաէդրալ եռաչափ խումբը։ Այդ խմբի ենթախմբերի կազմի մեջ է մտնում D3d (12 կարգի)՝ եռանկյուն անտիպրիզմայի համաչափության խումբը, D4h (16 կարգի)՝ քառակուսային երկբուրգի համաչափության խումբը և Td (24 կարգի)՝ ամբողջությամբ հատած տետրաէդրի համաչափության խումբ։ Այդ համաչափությունները կարելի է ընդգծել նիստերի տարատեսակ գունավորման ճանապարհով։
Անվանում | Օկտաէդր | Ամբողջությամբ
հատած տետրաէդր |
Եռանկյունային անտիպրիզմա | Քառակուսային երկբուրգ | Շեղանկյունային երկբուրգ |
---|---|---|---|---|---|
Պատկեր (Նիստերի գունավորում) |
(1111) |
(1212) |
(1112) |
(1111) |
(1111) |
Շլեֆլիի սիմվոլ | {3,4} | r{3,3} | s{2,6} sr{2,3} |
ft{2,4} { } + {4} |
ftr{2,2} { } + { } + { } |
Վիտխոֆֆի սիմվոլ | 4 | 3 2 | 2 | 4 3 | 2 | 6 2 | 2 3 2 |
||
Համաչափություն | Oh, [4,3], (*432) | Td, [3,3], (*332) | D3d, [2+,6], (2*3) D3, [2,3]+, (322) |
D4h, [2,4], (*422) | D2h, [2,2], (*222) |
Կարգ | 48 | 24 | 12 6 |
16 | 8 |
Փռվածքներ
Գոյություն ունի օկտաէդրի 12 փռվածք[3]։
Երկակիություն
Օկտաէդրը երկակի է խորանարդին։
Հատույթ
Համասեռ տետրահեմիհեկսաէդրը համարվում է կանոնավոր օկտաէդրի տետրաէդրալ համաչափության հետ հատույթ, որը պահպանում է կողերի և գագաթների դասավորությունը։ Հատույթն ունի չորս եռանկյուն նիստեր և 3 կենտրոնական քառակուսի։
Օկտաէդր |
Տետրահեմիհեկսաէդր |
Ոչ կանոնավոր օկտաէդրեր
Հաջորդ բազմանիստերը կոմբինատոր համարժեք են կանոնավոր օկտաէդրին։ Նրանք բոլորն ունեն վեց գագաթ, ութ եռանկյուն նիստեր և տասներկու կողեր, ինչը համապատասխանում է կանոնավոր օկտաէդրի պարամետրերին։
- Եռանկյուն անտիպրիզմաներ՝ երկու նիստերն իրենցից ներկայացնում են զուգահեռ հարթություններում ընկած և համաչափության ընդհանուր առանք ունեցող հավասարակողմ եռանկյուններ։ Մյուս վեց եռանկյունները հավասարակողմ են։
- Քառանկյուն երկբուրգեր, որի մեջ ամենաքիչը մեկ էկվատորիալ քառանկյունը ընկած է հարթության մեջ։ Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հատուկ դեպք, երբ բոլոր երեք քառանկյունները համդիսանում են հարթ քառակուսիներ։
- Շոնխարդտի բազմանիստ, ոչ ուռուցիկ բազմանիստ, որն առանց նոր գագաթներ ներմուծելու հնարավոր չէ տրոհել տետրաէդրերի։
Այլ ուռուցիկ ութանիստեր
Ընդհանուր առմամբ, օկտաէդր կարող է անվանվել ութ նիստ ունեցող բազմանիստը։ Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 6 գագաթ և 12 կող՝ մինիմալ թիվ օկտաէդրի համար։ Ոչ կանոնավոր ութանիստերը կարող են ունենալ մինչև 12 գագաթ և 18 կող[3][4]։
Գոյություն ունի 257 տոպոլոգիապես տարբեր ուռուցիկ ութանիստեր, հայելային արտապատկերումները բացառած[3]։ Մասնավորապես, գոյություն ունի 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 ութանիստեր համապատասխանաբար 6-ից մինչև 12 գագաթների թվով[5][6]։
Որոշ ոչ կանոնավոր ութանիստեր.
- Ութանկյուն պրիզմա. Երկու նիստերը հանդիսանում են զուգահեռ կանոնավոր վեցանկյուններ, վեց քառակուսիներ զույգ առ զույգ միացնում են վեցանկյունների համապատասխան կողմերը։
- Յոթանկյուն բուրգ. Մեկ նիստը հանդիսանում է յոթանկյուն (հիմնականում կանոնավոր), իսկ մնացած յոթ նիստերը հանդիսանում են եռանկյուններ (հիմնականում հավասարասրուն)։ Հնարավոր չէ, որպեսզի բոլոր եռանկյուն նիստերը լինեն հավասարակողմ։
- Հատած տետրաէդր. Տետրաէդրի չորս նիստերը հատվում են մինչև կանոնավոր վեցանկյուններ և հատած գագաթների տեղում ձևավորվում են երեք հավելյալ հավասարակողմ եռանկյուն նիստեր ։
- Քառանկյուն տրապեցոէդր. Ութ նիստերը կոնգրուենտ են դելտոիդներին։
Օկտաէդրերը ֆիզիկական աշխարհում
Օկտաէդրերը բնության մեջ
- Բնական մի շարք խորանարդային բյուրեղներ ունեն օկտաէդրի տեսք։ Դրանք են. ալմաստը, ալյումինակալիումի սուլֆատը, նատրիումի քլորիդը, պերովսկիտը, օլիվինը, ֆլյուորիտը, շպինելը։
- Օկտաէդրի ձև ունեն մաքուր մետաղների (նիկել, պղինձ, մագնեզիում, տիտան, լանթան և շատ ուրիշներ) պլատոնափաթեթային կառուցվածքների մեջ միջատոմային դատարկությունները (անցքեր)։
- Կամասիտի համաձուլվածքների թիթեղը օկտաէդրիտային երկնաքարերում տեղավորված են ութանիստ օկտաէդրի ութ նիստերին զուգահետ։
Օկտաէդրն արվեստի և մշակույթի մեջ
- Խաղերի մեջ օկտաէդրի տեսքի զառը կոչվում է «d8»:
- Եթե օկտաէդրի յուրաքանչյուր կող փոխարինենք միաօհմ ռեզիստրով, հանդիպակաց գագաթների միջև դիմադրությունը կկազմի 1/2 Օհմ, իսկ կից գագաթների միջև՝ 5/12 Օհմ[7].
- Երաժշտական յոթ նոտաներ օկտաէդրի գագաթների վրա կարելի է դասավորել այնպես, որ յուրաքանչյուր կող ներկայացնի ներդաշնակ զույգ, իսկ յուրաքանչյուր նիստ՝ ներդաշնակ եռյակ։
- Հակատանկային ոզնին ունի երեք շեղակի օկտաէդրի ձև։
Տետրաէդալ կապ
Կրկնվող տետրաէդրերից և օկտաէդրերից կազմված կմախքը 1950-ական թվականներին հայտնաբերել է Ֆուլլերը և այն հայտնի է որպես տարածական շրջանակ և համարվում է ամուր կառույց։
Կապված բազմանիստեր
Կանոնավոր օկտաէդր կարելի է ստանալ իրար հաջորդող նիստերի վրա ավելացնելով չորս տետրաէդրեր։ Բոլոր ութ նիստերին տետրադրեր ավելացնելը ձևավորում է աստղաձև օկտաէդր։
Տետրաէդր | Աստղաձև օկտաէդր |
---|
Տետրատետրաէդր
Կանոնավոր օկտաէդրը կարելի է դիտարկել որպես ամբողջական հատած տետրաէդր և կարող է անվանվել տետրատետրաէդր։ Դա կարելի է ցույց տալ երկու գույնով ներկված մոդելով։ Այդ գունավորմամբ օկտաէդրն ունենում է տետրաէդրալ համաչափություն։
Համաչափություն։ [3,3], (*332) | [3,3]+, (332) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
{3,3} | t{3,3} | r{3,3} | t{3,3} | {3,3} | rr{3,3} | tr{3,3} | sr{3,3} |
Երկակի բազմանիստեր | |||||||
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Օկտաեդրի հատկությունները
- Օկտաեդրին կարելի է ներգծել տետրաեդր, ընդ որում ութանիստի ութ նիստերից չորսը ընկած են տետրաեդրի չորս նիստերի հարթությունների վրա, օկտաեդրի բոլոր վեց գագաթները համընկնում են տետրաեդրի վեց կողերի միջնակետերին հետ։
- Օկտաեդրը կարելի է ներգծել խորանարդին, ընդ որում ութանիստի բոլոր վեց գագաթները ընկած կլինեն խորանարդի նիստերի կենտրոնների վրա։
- Օկտաեդրին կարելի է ներգծել խորանարդ, ընդ որում խորանարդի բոլոր ութ գագաթները կհամընկնեն օկտաեդրի ութ նիստերի կենտրոնների հետ։
- Կանոնավոր ութանիստը ունի համաչափության Oh կենտրոն, որը համընկնում է խորանարդի կենտրոնի հետ։
Ութանկյունը բնության մեջ
- Բնության մեջ հանդիպող շատ բյուրեղներ ունեն հենց օկտաեդրի տեսք։ Օրինակ, ալմաստը, նատրիումի քլորիդը, պերովսկիտը, օլիվինը, ֆլյուորիտը, շպինելը։
-
Պերովսկիտ
-
Օլիվին
-
Ֆլյուորիտ
-
Շպինել
- Ութանիստի տեսք ունեն միջատոմային հեռավորությունները կիպ փաթեթվոչված մաքուր մետաղներում (նիկելի, պղնձի, մագնեզիումի, տիտանի, լանթանի և այլ մետաղների) ու իոնական միացություններում (նատրիումի քլորիդ, սֆալերիտ, վյուրցիտ և այլն)։
Տես նաև
Ծանոթագրություններ
- ↑ Սելիվանով Դ. Ֆ., Երկրաչափական մարմին։ Բրոքհաուսի ու Եֆրոնի հանրագիտարանային բառարան 86 հատորով (82-րդ հատոր և 4 լրացուցիչ) 1890—1907
- ↑ Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010, էջ 894–912
- ↑ 3,0 3,1 3,2 Կաղապար:MathWorld3
- ↑ Steven Dutch. «Enumeration of Polyhedra». Արխիվացված է օրիգինալից 2011 թ․ հոկտեմբերի 10-ին. Վերցված է 2015 թ․ նոյեմբերի 8-ին.
- ↑ Counting polyhedra
- ↑ «Архивированная копия». Արխիվացված է օրիգինալից 2014 թ․ նոյեմբերի 17-ին. Վերցված է 2016 թ․ օգոստոսի 14-ին.
- ↑ Klein, 2002, էջ 633–649
Գրականություն
- Большая советская энциклопедия
- Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer On well-covered triangulations. III // Discrete Applied Mathematics. — 2010. — В. 8. — Т. 158. —
- Douglas J. Klein Resistance-Distance Sum Rules // Croatica Chemica Acta. — 2002. — В. 2. — Т. 75. Архивировано из первоисточника 10 Հունիսի 2007.
- R. Williams Chapter 5 The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979.
Արտաքին հղումներ
- Կաղապար:Mathworld
- Klitzing Polytopes, 3D convex uniform polyhedra
- Editable printable net of an octahedron with interactive 3D view
- Paper model of the octahedron
- K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
- The Uniform Polyhedra
- Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
- Conway Notation for Polyhedra Try: dP4
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի ��րոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից։ |