Himpunan bagian

Dalam matematika, terutama teori himpunan, suatu himpunan A adalah himpunan bagian atau subhimpunan dari himpunan B bila A "termuat" di dalam B. A dan B boleh jadi merupakan himpunan yang sama. Hubungan suatu himpunan yang menjadi himpunan bagian yang lain disebut sebagai "termasuk ke dalam" atau kadang-kadang "pemuatan". Himpunan B adalah superhimpunan dari A karena semua elemen A juga adalah elemen B.

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan dan setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B, maka:

• A adalah subset atau himpunan bagian dari (atau termasuk ke dalam) B, dilambangkan dengan ${\displaystyle A\subseteq B}$,

atau secara ekuivalen

• B adalah superset atau superhimpunan dari (atau meliputi) A, dilambangkan dengan ${\displaystyle B\supseteq A.}$

Jika A adalah sebuah subset dari B, tetapi A tidak sama dengan B (yaitu ada paling sedikit satu elemen B yang bukan elemen dari A), maka

• A juga merupakan suatu himpunan bagian sejati (proper subset atau strict subset) dari B; ini ditulis: ${\displaystyle A\subsetneq B.}$

atau secara ekuivalen

• B adalah superhimpunan sejati (proper superset) dari A; ini ditulis: ${\displaystyle B\supsetneq A.}$

Untuk setiap himpunan S, relasi inklusi ⊆ merupakan urutan parsial pada himpunan ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ untuk semua subset dari S (himpunan kuasa dari S).

Ketika dikuantifikasi, A ⊆ B ditulis: ∀x{x∈A → x∈B}.^[1]

Sejumlah pengarang menggunakan simbol ⊂ dan ⊃ untuk masing-masing mengindikasikan "subset" dan "superset", bukan dengan simbol ⊆ dan ⊇, tetapi artinya sama.^[2] Misalnya, bagi para pengarang ini, adalah benar untuk setiap himpunan A bahwa A ⊂ A.

Para pengarang lain lebih suka menggunakan simbol ⊂ dan ⊃ untuk masing-masing mengindikasikan himpunan bagian dan superhimpunan sejati, daripada ⊊ dan ⊋.^[3] Penggunaan ini membuat ⊆ dan ⊂ analog dengan simbol ketidaksamaan ≤ dan <. Misalnya, jika x ≤ y maka x dapat sama dengan y, atau tidak sama, tetapi jika x < y, maka x pasti tidak akan sama dengan y, dan pasti lebih kecil dari y. Ini mirip dengan kaidah penggunaan ⊂ sebagai "himpunan bagian sejati", jika A ⊆ B, maka A dapat sama atau tidak sama dengan B, tetapi jika A ⊂ B, maka A pasti tidak akan sama dengan B.

• Himpunan A = {1, 2} adalah "himpunan bagian sejati" (proper subset) dari B = {1, 2, 3}, sehingga ekspresi A ⊆ B dan A ⊊ B keduanya benar.
• Himpunan D = {1, 2, 3} adalah subset dari E = {1, 2, 3}, sehingga D ⊆ E benar, dan D ⊊ E salah.
• Setiap himpunan adalah subset dari himpunan itu sendiri, tetapi bukan "himpunan bagian sejati" (proper subset). (X ⊆ X benar, dan X ⊊ X salah untuk setiap himpunan X.)
• Himpunan kosong { }, dilambangkan dengan ∅, juga merupakan subset dari setiap himpunan X. Juga selalu merupakan himpunan bagian sejati dari setiap himpunan kecuali terhadap dirinya sendiri.
• Himpunan {x: x adalah bilangan prima yang lebih besar dari 10} merupakan himpunan bagian sejati dari {x: x adalah bilangan ganjil yang lebih besar dari 10}
• Himpunan bilangan asli adalah himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan rasional, dan himpunan titik-titik dalam suatu segmen garis adalah himpunan bagian sejati dari suatu himpunan titik-titik dalam garis. Ini merupakan dua contoh di mana baik subset dan himpunan itu sendiri tak terhingga, dan di mana subset mempunyai kardinalitas (konsep yang menyesuaikan ukuran, yaitu jumlah elemen pada suatu himpunan terhingga) yang sama dengan himpunan induk; kasus-kasus itu dapat membingungkan intuisi.

• Teori himpunan

• Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2. 

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-502-5.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan) (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-563-7.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan) (Indonesia)

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Subset". MathWorld.