Criterio di Weierstrass

Sia ${\displaystyle f_{n}:A\subseteq \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$  una successione di funzioni a valori complessi. Se per ogni ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  esiste ${\displaystyle M_{n}\geq 0}$  tale che:

${\displaystyle |f_{n}(z)|\leq M_{n},\qquad \forall z\in A}$ 

e si ha:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }M_{n}<+\infty ,}$ 

allora la serie:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }f_{n}(z)}$ 

converge totalmente e uniformemente in ${\displaystyle A}$ .

Questo risultato è spesso utilizzato insieme al teorema del limite uniforme, il quale afferma che il limite (relativo alla convergenza uniforme) di ogni successione di funzioni continue è continuo. Insieme, i due enunciati stabiliscono che se, in aggiunta alle condizioni precedenti, ${\displaystyle A}$  è uno spazio topologico e le funzioni ${\displaystyle f_{n}}$  sono continue su ${\displaystyle A}$ , allora la serie converge ad una funzione continua.

Se il codominio di ${\displaystyle f_{n}}$  è uno spazio di Banach si ottiene una generalizzazione del teorema, in cui la disuguaglianza:

${\displaystyle |f_{n}(z)|\leq M_{n}}$ 

può essere rimpiazzata da:

${\displaystyle \|f_{n}(z)\|\leq M_{n}}$ 

dove ${\displaystyle \|\cdot \|}$  è la norma sullo spazio di Banach.

Sia ${\displaystyle S_{n}(z)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(z)}$ . Presi ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$  con ${\displaystyle m>n}$ , date le ipotesi del teorema si ha:

${\displaystyle |S_{m}(z)-S_{n}(z)|=|\sum _{k=n+1}^{k=m}f_{k}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=m}|f_{k}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=m}M_{k}\qquad \forall z\in A}$ 

La serie a termini non-negativi ${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }M_{k}}$  converge, quindi per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$  esiste ${\displaystyle n_{0}}$  tale che per ogni ${\displaystyle n>n_{0}}$  si verifica:

${\displaystyle \sum _{k=n}^{k=+\infty }M_{k}<\epsilon }$ 

Scegliendo ${\displaystyle n}$  e ${\displaystyle m}$  sufficientemente grandi si ha quindi:

${\displaystyle |S_{m}(z)-S_{n}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=m}M_{k}\leq \sum _{k=n}^{k=+\infty }M_{k}<\epsilon \qquad \forall z\in A}$ 

Per ogni ${\displaystyle z}$  la successione ${\displaystyle S_{n}(z)}$  è di Cauchy nello spazio metrico completo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , pertanto converge a ${\displaystyle l_{z}}$ . Definendo la funzione ${\displaystyle S(z)=l_{z}}$  e facendo tendere ${\displaystyle m}$  a ${\displaystyle +\infty }$  nella precedente relazione si ha:

${\displaystyle |S(z)-S_{n}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=+\infty }M_{k}<\epsilon \ \qquad \forall z\in A\quad \forall n>n_{0}}$ 

ovvero ${\displaystyle S_{n}(z)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(z)}$  converge uniformemente a ${\displaystyle S(z)}$ .

• (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, gennaio 1991, ISBN 0-07-054236-8.
• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, maggio 1986, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1976.
• (EN) E. T. Whittaker; G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, 1927.

• Serie di funzioni
• Successione di funzioni

• (EN) Weierstrass M-test, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Criterio di Weierstrass, su MathWorld, Wolfram Research.