Funzione di Mertens

I primi valori sono dati dalla seguente tavola

Un'idea della lenta crescita del codominio della M(n) al crescere di n è data dai primi termini della successione dei valori ${\displaystyle M(10^{k})}$ , successione reperibile in OEIS in corrispondenza della sigla A084237 i cui valori per k = 0, 1, ..., 16 sono

Mertens nel 1897 ha avanzato la congettura che valesse la disuguaglianza

${\displaystyle \left|M(n)\right|\leq {\sqrt {n}}}$ ,

dopo aver verificato che essa è soddisfatta per n < 10000.

Tuttavia nel 1985 A. M. Odlyzko e H. J. J. te Riele hanno dimostrato che tale congettura è errata, con una dimostrazione che richiede una comprensione del calcolo avanzato e che non fornisce un controesempio. Il minimo valore x che falsifica la congettura è ancora sconosciuto, tuttavia è stato dimostrato che deve essere compreso tra 10¹² e 10⁶⁵.

Un'ulteriore congettura di Odlyzko e te Riele ancora aperta affermerebbe che

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|M(n)\right|}{\sqrt {n}}}=\infty }$ 

Il termine n-esimo della successione di Mertens fornisce il valore del determinante della matrice di Redheffer n × n.

• A. M. Odlyzko, H. J. J. te Riele (1985): Disproof of the Mertens conjecture, J. reine angew. Math., 357 pp. 138-160. (v. in PDF
• Mertens function in MathWorld

• Congettura di Mertens
• Ipotesi di Riemann

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla funzione di Mertens

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di Mertens, su MathWorld, Wolfram Research.