Numero

Un numero che esprime la dimensione di un insieme di elementi, così come un numero che identifica la posizione in una successione di oggetti, è detto numero naturale. La necessità di esprimere una grandezza in relazione ad un'altra grandezza ha reso necessaria l'introduzione di altre classi di numeri, come i numeri razionali ed i numeri reali. L'esigenza di rappresentare il numero ottenuto attraverso un'operazione matematica, infine, ha giustificato l'utilizzo di ulteriori classi di numeri come, ad esempio, i numeri algebrici.

Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi insiemi numerici. Tra questi i numeri naturali, che sono:

${\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\ldots }$ 

I numeri naturali (il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ) sono usati per contare e per ordinare. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è previsto dagli assiomi di Peano.

L'insieme dei numeri naturali costituisce una successione ordinata. Ogni numero è descritto tramite una o più cifre.

Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce il segno (e lo zero se non incluso), distinguendo tra numeri positivi e numeri negativi, si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente interi), il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . I numeri interi relativi sono:

${\displaystyle \ldots -3,-2,-1,0,1,2,\ldots }$ 

Se a partire dai numeri interi si costruiscono numeri dati dal rapporto tra di loro, si ottengono i numeri razionali, i quali sono quindi esprimibili tramite una frazione (ratio in latino, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempio:

${\displaystyle {\frac {2}{3}},-{\frac {7}{4}},{\frac {11}{17}},\ldots }$ 

L'insieme di tutti i numeri razionali è per convenzione indicato col simbolo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

I numeri algebrici sono numeri ottenibili come radici di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono algebrici. Il viceversa non è in generale vero; ad esempio:

${\displaystyle {\sqrt {2}},{\sqrt[{3}]{5}},{\sqrt {\frac {\sqrt {3}}{11}}}}$ 

sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione, non sono razionali.

Un numero non algebrico è detto trascendente. Ad esempio, ${\displaystyle \pi }$  (pi greco) ed ${\displaystyle e}$  (numero di Nepero) sono trascendenti: non è possibile ottenere ${\displaystyle \pi }$  come radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.

L'insieme dei numeri reali comprende i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema numerico decimale. I numeri reali comprendono i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.

L'insieme dei numeri reali è simboleggiato per convenzione con ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

L'insieme dei numeri reali non fornisce tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione:

${\displaystyle x^{2}=-1}$ 

non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre positivo o nullo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria ${\displaystyle i.}$  Essa è così definita:

${\displaystyle i^{2}=-1.}$ 

Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, esso appartiene all'insieme dei numeri complessi. In generale, un numero complesso è un'espressione del tipo:

${\displaystyle a+bi,}$ 

dove ${\displaystyle i}$  è l'unità immaginaria e ${\displaystyle a,b}$  sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi è indicato per convenzione con il simbolo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Gli insiemi numerici sono ciascuno sottoinsieme dell'altro, secondo quest'ordine (dove il simbolo ${\displaystyle \subset }$  indica l'inclusione stretta):

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .}$ 

Per particolari scopi, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , può essere ulteriormente esteso, al prezzo, però, di perdere alcune proprietà e, di conseguenza, subire un declassamento come struttura algebrica.

I numeri complessi sono stati estesi e hanno dato luogo ai quaternioni. L'operazione di moltiplicazione dei quaternioni non gode della proprietà commutativa.

Gli ottonioni estendono i quaternioni. Questa volta si perde la proprietà associativa. Gli unici sistemi associativi con dimensione finita, oltre ai complessi, sono i quaternioni.

Estendendo gli ottonioni si ottengono i sedenioni, che perdono la proprietà dell'algebra alternativa, ma mantengono comunque la proprietà associativa della potenza.

Estendendo i sedenioni si ottengono i trigintiduoni, che perdono la proprietà associativa della potenza.^[2][3]

I numeri vanno distinti per il tramite dei nomi, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzinao anche il paio o anche il trio.

Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri hanno condotto ai numeri iperreali e ai numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insiemi; il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.

Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'algebra chiamata algebra astratta. Essa contiene i concetti di gruppo, anello e campo.

In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è assai simile. I numeri "uno", "due" e "tre" degli antichi romani erano espressi come I, II, III (numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro attuale, con le cifre da 0 a 9. I numeri, detti tsu o hêng, cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - ◦ era 1210. Gli tsu erano verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le bacchette da calcolo, che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani.

Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto (cinque meno uno = quattro). Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un motivo antropomorfico - la mano ha cinque dita - ma vi era anche una motivazione che coinvolge il cervello umano. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: si provi a dire se è più grande ||||||||| o ||||||||||; più semplice se sono scritti come IX e X.

Il sistema adottato in Europa è il sistema di numerazione decimale, detto anche numerazione araba. In realtà proviene dall'India, e molto probabilmente deriva dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida, ma conservano l'idea della linea doppia o tripla orizzontale. Col simbolo 4 la corrispondenza si perde.

• Calcolo con le dita
• Far di conto
• Legge dei grandi numeri
• Manoscritto di Bakhshali
• Nome dei numeri
• Numbers station
• Numeri nella cultura cinese
• Numerologia
• Ordini di grandezza (numeri)
• Storia dei numeri

Numeri particolari

• Costanti matematiche
• Intero di Eisenstein
• Numeri amicabili
• Numeri automorfi
• Numeri ciclici
• Numeri colombiani
• Numeri di Armstrong
• Numeri di Bell
• Numeri di Mersenne
• Numeri maiuscoletti
• Numeri perfetti
• Numeri pratici
• Numeri primi
• Numeri schizofrenici
• Numeri triangolari

•   Wikiquote contiene citazioni sul numero
•   Wikizionario contiene il lemma di dizionario «numero»
•   Wikiversità contiene risorse su numero
•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su numero

• numero, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.  
• Federigo Enriques, Giacomo Devoto, Riccardo Bachi, Nicola Turchi, NUMERO, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1935.  
• numero, in Dizionario di filosofia, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2009.  
• Umberto Zannier, NUMERI, in XXI secolo, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2009-2010.  
• (EN) number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Numero, su MathWorld, Wolfram Research.