Poliedro sferico

Il primo studio significativo sui poliedri sferici è quello scritto nel X secolo dal matematico e astronomo persiano Abu l-Wafa Muhammad al-Buzjani.^[1]

L'utilizzo dei poliedri sferici fu di grande aiuto all'elaborazione della geometria dei poliedri simmetrici e di quelli uniformi e al loro studio. Così, ad esempio, circa duecento anni fa, all'inizio del XIX secolo, Poinsot utilizzò i poliedri sferici per arrivare alla scoperta dei quattro poliedri stellati regolari, detti anche poliedri di Keplero-Poinsot. A metà del XX secolo, invece, Harold Coxeter utilizzò tali poliedri per poter enumerare tutti tranne uno i poliedri uniformi esistenti, attraverso la costruzione di Wythoff (l'unico poliedro che rimase fuori fu il grande dirombicosidodecaedro).^[2][3]

La formula di Eulero vale anche per i poliedri sferici, ossia anche nel loro caso, indicando con ${\displaystyle F}$ , ${\displaystyle S}$  e ${\displaystyle V}$  rispettivamente i numeri di facce, spigoli e vertici del poliedro, si ha che: ${\displaystyle F+V-S=2\,\!}$  oppure ${\displaystyle F+V=S+2\,\!}$ .^[4]

Tutti i poliedri regolari e semiregolari, e i loro duali, possono essere proiettati su una sfera come tassellature:

Come detto la tassellatura sferica permette di ottenere poliedri sferici che non sono ottenibili in geometria euclidea se non come casi degeneri, ossia gli osoedri, aventi simbolo di Schläfli {2,n}, e i diedri, aventi simbolo di Schläfli {n,2}. Nelle due tabelle seguenti sono riportati alcuni osoedri e diedri regolari.

I poliedri sferici che hanno almeno una simmetria inversiva sono connessi ai poliedri proiettivi^[5] (ossia tassellature del piano proiettivo reale) - proprio come la sfera è un rivestimento universale dello spazio proiettivo (esiste infatti il rivestimento con due fogli ${\displaystyle p:S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}}$  dalla sfera unitaria allo spazio proiettivo reale) i poliedri proiettivi corrispondono tramite una mappa a 2 fogli a poliedri sferici che sono centralmente simmetrici. Inoltre, poiché un rivestimento è un omeomorfismo locale (in questo caso un'isometria locale), sia i poliedri sferici che i poliedri proiettivi corrispondenti hanno la stessa figura al vertice astratta.

Ad esempio, il rivestimento a due fogli di un emi-cubo (proiettivo) è il cubo sferico. L'emi-cubo ha 4 certici, 3 facce e 6 spigoli, ognuno dei quali è rivestito da due copie nella sfera, e di conseguenza il cubo ha 8 vertici, 6 facce e 12 spigoli, mentre entrambi questi poliedri hanno figura al vertice 4.4.4 (tre quadrati che si incontrano a un vertice).

Gli esempi meglio conosciuti di poliedri proiettivi sono i poliedri proiettivi regolari, i quozienti dei solidi platonici centralmente simmetrici, così come due classi infinite di diedri e osoedri:

• Emi-cubo, {4,3}/2
• Emi-ottaedro, {3,4}/2
• Emi-dodecaedro, {5,3}/2
• Emi-icosaedro, {3,5}/2
• Emi-diedro, {2p,2}/2, p>=1
• Emi-osoedro, {2,2p}/2, p>=1

• Geometria sferica
• Trigonometria sferica

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• (EN) Eric W. Weisstein, Poliedro sferico, su MathWorld, Wolfram Research.