Polo di Landau

Secondo Landau, Abrikosov e Chalatnikov,^[8] la relazione tra la carica osservabile g_oss e la carica "nuda" g₀ per le teorie di campo rinormalizzabili quando Λ ≫ m è data da

${\displaystyle g_{\text{oss}}={\frac {g_{0}}{1+\beta _{2}g_{0}\ln \Lambda /m}}\qquad \qquad \qquad (1)}$ 

dove m è la massa della particella e Λ è l'impulso di cut-off. Se g₀ < ∞ e Λ → ∞ allora g_oss → 0 e la teoria sembra banale. Infatti, invertendo la (1), in modo che g₀ (relativo alla scala di lunghezza Λ⁻¹ ) rivela un valore accurato di g_oss,

${\displaystyle g_{0}={\frac {g_{\text{oss}}}{1-\beta _{2}g_{\text{oss}}\ln \Lambda /m}}.\qquad \qquad \qquad (2)}$ 

Come cresce Λ, così anche la carica nuda g₀ = g(Λ) aumenta, fino a divergere in corrispondenza del punto di rinormalizzazione

${\displaystyle \Lambda _{\text{Landau}}=m\exp \left\{{\frac {1}{\beta _{2}g_{\text{oss}}}}\right\}.\qquad \qquad \qquad (3)}$ 

Questa singolarità è il polo di Landau con un residuo negativo,

${\displaystyle g(\Lambda )=-{\frac {\Lambda _{\text{Landau}}}{\beta _{2}(\Lambda -\Lambda _{\text{Landau}})}}}$ 

In effetti, però, la crescita di g₀ invalida le equazioni (1) e (2) nella regione g₀ ≈ 1, poiché queste sono state ottenute per g₀ ≪ 1, per cui l'esistenza non perturbativa del polo di Landau diventa discutibile.

Il vero comportamento della carica g(μ) in funzione della scala di impulso μ è determinato dall'equazione di Gell-Mann e Low:^[9]

${\displaystyle {\frac {dg}{d\ln \mu }}=\beta (g)=\beta _{2}g^{2}+\beta _{3}g^{3}+\ldots \qquad \qquad \qquad (4)}$ 

che dà le equazioni (1) e (2) se viene integrata nelle condizioni g(μ) = g_oss per μ = m e g(μ) = g₀ per μ = Λ, quando nel membro di destra rimane solo il termine con β₂. Il comportamento generale di g(μ) dipende dalla forma della funzione β(g).

Secondo la classificazione di Bogoliubov e Shirkov,^[10] ci sono tre casi qualitativamente differenti:

• (a) se β(g) ha zero al valore finito g ∗, allora la crescita di g è satura, cioè g(μ) → g ∗ per μ → ∞ ;
• (b) se β(g) non è alternato e si comporta come β(g) ∝ g α con α ≤ 1 per g grande, allora la crescita di g(μ) continua all'infinito;
• (c) se β(g) ∝ g α con α > 1 per g grande, allora g(μ) è divergente al valore finito μ 0 e sorge il polo di Landau reale: la teoria è internamente inconsistente a causa dell'indeterminazione di g(μ) per μ > μ 0 .

Landau e Pomeranchuk^[11] cercarono di giustificare la possibilità (c) nel caso della QED e della teoria φ⁴. Hanno notato che la crescita di g₀ nell'eq. (1) porta la carica osservabile g_oss al limite costante, che non dipende da g₀. Lo stesso comportamento si può ottenere dagli integrali funzionali, omettendo nell'azione i termini quadratici. Se trascurare i termini quadratici vale già per g₀ ≪ 1, lo è tanto più per g₀ dell'ordine dell'unità o maggiore: dà motivo di considerare valida l'eq. (1) per una g₀ arbitraria.

Tuttavia, possono essere corretti qualitativamente. Infatti, il risultato g_oss = costante( g₀) può essere ottenuto dagli integrali funzionali solo per g₀ ≫ 1, mentre la sua validità per g₀ ≪ 1, basata sull'eq. (1), può essere correlata ad altre ragioni; per g₀ ≈ 1 questo risultato è probabilmente violato ma dalla condizione di matching ci si può aspettare la coincidenza di due valori costanti nell'ordine di grandezza. I risultati di Monte Carlo^[12] sembrano confermare la validità qualitativa degli argomenti Landau-Pomeranchuk, sebbene sia possibile anche una diversa interpretazione.

Il caso (c) nella classificazione di Bogoliubov e Shirkov corrisponde alla banalità quantistica in piena teoria (al di là del suo contesto perturbativo), come si può vedere da una dimostrazione per assurdo. Infatti, se g_oss < ∞, la teoria è internamente inconsistente. L'unico modo per evitarlo è per μ 0 → ∞, che è possibile solo per g_oss → 0.