Brontekst bekijken van Rotatie (vectorveld)

U hebt geen toestemming om deze pagina te bewerken, want:

Uw IP-adres bevindt zich in een bereik dat op alle wiki’s van de Wikimedia Foundation geblokkeerd is.

Deze blokkade is ingesteld door ‪EPIC‬. De opgegeven reden is Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected.

Aanvang blokkade: 25 aug 2024 21:06
Einde blokkade: 25 aug 2027 21:06

Uw huidige IP-adres is 44.215.112.167. Het geblokkeerde bereik is 44.215.0.0/16.

Vermeld alle bovenstaande gegevens als u ergens op deze blokkade reageert. Als u denkt dat u per abuis bent geblokkeerd, kunt u aanvullende informatie en instructies vinden in het algemene beleid Geen open proxy’s.

Anders kunt u om de blokkering bespreken een verzoek om beoordeling op Meta-Wiki plaatsen. U kunt ook een e-mail sturen naar de VRT-wachtrij van de stewards op stewards@wikimedia.org met daarin alle bovenstaande gegevens.

U kunt de brontekst van deze pagina bekijken en kopiëren.

De '''rotatie''' ([[Nederlands in Nederland|Nederlands]]) of '''rotor''' ([[Belgisch-Nederlands|Belgisch]]) (Engels: curl) is een eigenschap of [[Functie (wiskunde)|functie]] van een driedimensionaal [[vectorveld]]. De rotatie in een [[Punt (wiskunde)|punt]] van het veld geeft aan in welke mate de richting van het veld verandert. Vatten we het veld op als een [[Stromingsleer|stroming]], dan geeft de rotatie in ieder punt aan, hoe snel en om welke [[Omwentelingsas|as]] een meestromend deeltje zou draaien. De rotatie laat zich formeel als [[differentiaalrekening|differentiaaloperator]] interpreteren en hoort samen met de andere differentiaaloperatoren [[Gradiënt (wiskunde)|gradiënt]] en [[divergentie (vectorveld)|divergentie]] tot de [[vectoranalyse]], een deelgebied van de [[multivariabele analyse]].

== Voorbeelden ==
* Een [[Tornado (wervelwind)|wervelstorm]] roteert om het [[Oog (cycloon)|oog]]. Het vectorveld dat de windsnelheden beschrijft, heeft in het oog en mogelijk ook elders, een van 0 verschillende rotatie.
* Het vectorveld dat de snelheid van de punten van een [[Rotatie (meetkunde)|draaiende]] schijf voorstelt, heeft in ieder punt van de schijf een van 0 verschillende rotatie.
* Het vectorveld van de snelheden op een [[autoweg]] waarvan de rijstroken van rechts naar links toenemende rijsnelheden vertonen, heeft op de grenzen tussen de rijstroken een van 0 verschillende rotatie.
Nb. De voorbeelden zoals hierboven beschreven betreffen in feite tweedimensionale vectorvelden. De rotatie heeft dan slechts een waarde in één dimensie, zijnde die loodrecht op dit vectorveld.

== Definitie ==
In de [[wiskunde]] is de rotatie (Ned) of rotor (Bel) van een driedimensionaal [[vectorveld]] <math>\mathbf{V}</math> een nieuw driedimensionaal vectorveld dat is gedefinieerd als het [[kruisproduct]] of ook wel vectorieel product van de [[Nabla|nabla-operator]]  <math>\nabla</math> met het vectorveld <math>\mathbf{V}</math>:

: <math>\operatorname{rot}\mathbf{V} =
\nabla \times \mathbf{V} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z} \\
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
V_x \\
V_y \\
V_z \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \\
\frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \\
\frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \\
\end{pmatrix}</math>

Men schrijft de rotatie van <math>\mathbf{V}</math> ook wel als determinant:

: <math>\operatorname{rot}\mathbf{V} =
\begin{vmatrix} 
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 
{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
 V_x & V_y & V_z 
\end{vmatrix}
</math>,

waarin <math>\mathbf{i}, \ \mathbf{j}</math> en <math>\mathbf{k}</math> de [[eenheidsvector]]en zijn langs de <math>x</math>-, <math>y</math>- en <math>z</math>-as.

Beschouw voor de eenvoud van de formules een om de <math>z</math>-as draaiende cilinder in plaats van een draaiende schijf. De beweging wordt beschreven door het vectorveld:

: <math>v_x(x, y, z) = -\omega y</math>
: <math>v_y(x, y, z) = \omega x</math>
: <math>v_z(x, y, z) = 0</math>

De rotatie is:

: <math>\operatorname{rot} \mathbf{v}  =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z} \\
\frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x} \\
\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
0 - 0 \\
0 - 0 \\
\omega - (- \omega ) \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
2 \omega \\
\end{pmatrix}
</math>

Dit is een [[Rotatie (driedimensionaal)|draaiing]] om de <math>z</math>-as.

[[Categorie:Vectorcalculus]]
[[Categorie:Veldentheorie]]
[[Categorie:Wiskundige analyse]]

Terug naar Rotatie (vectorveld).

Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Rotatie_(vectorveld)"