Interferens

Interferens kan i det enkleste tilfellet beskrives matematisk for to harmoniske bølger som beveger seg i samme retning med samme amplitude A₀, bølgelengde λ og bølgehastighet c. Hver av dem gir derfor et utslag som er gitt ved den periodiske funksjonen

${\displaystyle F_{n}(x,t)=A_{0}\cos(kx-\omega t+\phi _{n})}$ 

der k = 2π /λ er bølgetallet og ω = kc er vinkelfrekvensen. Leddet φ_n  i argumentet til den trigonometriske funksjonen er en faseforskyvning som avhenger av hvordan posisjonen x og tiden t  fastsettes og kan i allminnelighet være forskjellig for hver av bølgene.^[1]

Hvis intensiteten til bølgen defineres som utslaget i kvadrat, vil den i et punkt variere med tiden som cos². Denne funksjonen svinger regelmessig mellom 0 og 1 slik at dens midlere verdi er 1/2. Derfor har hver av bølgene en intensitet som er A₀²/2.

Den samtidig tilstedeværelsen av to slike bølger gir dermed et totalt utslag F(x,t) = F₁(x,t) + F₂(x,t). Ved å benytte den trigonometriske identiteten eller

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\alpha -\beta \over 2}\cos {\alpha +\beta \over 2}}$  ,

finner man da den resulterende bølgen

${\displaystyle F(x,t)=2A_{0}\cos {\Delta \over 2}\cos {\Big (}kx-\omega t+{\phi _{1}+\phi _{2} \over 2}{\Big )}}$ 

der Δ = φ₁ - φ₂ er faseforskjellen mellom de to bølgene. Denne holder seg konstant når bølgene er 100% koherente. Da oppstår en ny bølge av samme type med amplitude A = 2A₀ cosΔ/2  og derfor midlere intensitet

${\displaystyle I=2A_{0}^{2}\cos ^{2}{\Delta \over 2}}$ 

Ved maksimal, konstruktiv interferens er faseforskjellen et helt multiplum av 2π  slik at Δ/2 blir et helt multiplum av π . Toppene i bølgene opptrer da samtidig på samme sted. Dermed vil den resulterende amplituden bli dobbelt så stor som i hver av bølgene og intensiteten fire ganger så stor. Man sier at de to bølgene er «i fase». Derimot når faseforskjellen er et odde multiplum av π , er de «ute av fase» som betyr at når den ene bølgen har et maksimalt utslag, har den andre et utslag av motsatt verdi slik at den totale amplituden blir null. Man har i dette tilfellet full, destruktiv interferens. Generelt vil den totale amplituden ligge mellom disse to ekstreme verdiene.

Mange beregninger av interferens blir enklere ved bruk av fasevektorer. Dette er komplekse størrelser hvis reelle del er den fysiske bølgen. For eksempel vil en harmoniske bølge i denne formalismen skrives som

${\displaystyle F_{n}(x,t)=A_{0}e^{i(kx-\omega t+\phi _{n})}}$ 

der i = √(-1) er den imaginære enheten. Addisjon av to slike bølger gir nå

${\displaystyle F(x,t)=A_{0}e^{i[kx-\omega t+(\phi _{1}+\phi _{2})/2]}(e^{i\Delta }+e^{-i\Delta })}$ 

Man finner dermed den resulterende amplituden

${\displaystyle A=A_{0}(e^{i\Delta }+e^{-i\Delta })=2A_{0}\cos {\Delta \over 2}}$ 

uten bruk av trigonometriske identiteter. ^[2]

I sitt berømte foredrag i Royal Society høsten 1801 fortalte Thomas Young om hvordan han splittet en smal lysstråle i to mindre stråler med hjelp av et smalt kort. Ved å observere effekten av disse to strålene på en skjerm, kunne han se en serie med vekselvis lyse og mørke striper.^[3]

Noe senere demonstrerte han samme effekten ved å la lys gå gjennom en smal åpning for å lage det mest mulig koherent. Deretter lot han lyset fortsette mot en skjerm med to nye, smale åpninger nær hverandre. Senere er dette omtalt som hans dobbeltspalteeksperiment og var det avgjørende bevis for å betrakte lys som en bølge og ikke som en strøm av partikler som Isaac Newton hadde argumentert for.^[4]

Lyset fra hver liten åpning vil spre seg utover som en kulebølge hvis denne er tilnærmet sirkelformet. Er åpningen derimot en smal spalte, vil hver av disse generere en sylinderbølge. I begge disse situasjonene må dimensjonen til åpningen være av samme størrelsesorden som bølgelengden til lyset som benyttes. Hvis denne er mye større, vil det i tillegg opptre diffraksjon i hver åpning.^[2]

Når det resulterende lyset observeres i stor avstand fra de to åpningene, vil det med god tilnærmelse beskrives som plane bølger som går i en viss retning gitt ved en vinkel θ pekende mot et punkt P på en ny skjerm hvor lyset observeres. Dette forutsetter også at avstanden r  til dette punktet er mye større enn avstanden a mellom de to åpningene.

Betrakter man lys av samme frekvens, vil da summen av de to bølgene i punktet P være

${\displaystyle {\begin{aligned}F(r,t)&=A_{0}\cos(kr_{1}-\omega t)+A_{0}\cos(kr_{2}-\omega t)\\&=A_{0}\cos(kr_{1}-\omega t)+A_{0}\cos(kr_{1}-\omega t+k(r_{2}-r_{1}))\end{aligned}}}$ 

da de har samme fase og amplitude A₀  i åpningene. Her er r₁  og r₂  avstanden fra P til hver av disse. Forskjellen mellom disse

${\displaystyle \delta r=r_{2}-r_{1}=a\sin \theta }$ 

har dermed gitt opphav til en faseforskjell

${\displaystyle \Delta =k\delta r=ka\sin \theta ={2\pi \over \lambda }a\sin \theta }$ 

Den midlere intensiteteten i punktet P i retning θ blir nå

${\displaystyle I=I_{0}\cos ^{2}{\Delta \over 2}=I_{0}\cos ^{2}{\Big (}{\pi a\sin \theta \over \lambda }{\Big )}}$ 

der I₀ = 2A₀² er intensiteten i foroverretning θ = 0. Samme maksimale, intensitet finner man også i alle retninger som gir faseforskjeller Δ som er et helt multiplum av 2π. Det tilsvarer at den optiske veilengden δr  er et helt antall bølgelengder λ. På samme måte opptrer det intensitetminima der denne veilengden er et halvtallig antall bølglengder. Dermed har man

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Maxima:}}\;\;\;\Delta &=2n\cdot \pi \Longrightarrow \delta r=n\cdot \lambda \\{\text{Minima:}}\;\;\;\Delta &=(2n+1)\cdot \pi \Longrightarrow \delta r=(n+1/2)\lambda \end{aligned}}}$ 

der n = 0, 1, 2, ... . Teoretisk vil det derfor oppstå uendelig mange lyse og mørke felt på skjermen hvor lyset detekteres. I praksis vil vil man bare se de mest sentrale av disse da lyset i et virkelig eksperiment ikke vil være 100% koherent.^[5]

Når de to åpningene i dobbeltspalteeksperimentet er større enn bølgelengden man betrakter, vil lyset som utgår derfra, ikke lenger kunne beskrives som eksakte, plane bølger i store avstander. I stedet vil man da måtte ta hensyn til diffraksjon. Hvis åpningene er spalter med bredde b, finner man fra fremgangsmåten til beregning av Fraunhofer-diffraksjon at denne resulterende intensiteten blir

${\displaystyle I=I_{0}\cos ^{2}({\pi a\sin \theta /\lambda })\left[{\sin(\pi b\sin \theta /\lambda ) \over \pi b\sin \theta /\lambda }\right]^{2}}$ 

der a  igjen er avstanden mellom disse to brede spaltene.^[6] I grensen der bredden b blir av samme størrelsesorden som bølgelengden λ, går dette uttrykket over i det forrige for meget smale spalter. Da er retningen til hvert maksimum i interferensmønsteret gitt ved sinθ = n(λ/a) med n = 0, 1, 2, 3 og så videre. Men på grunn av diffraksjonen med a > b, blir disse mindre etterhvert som vinkelen θ  øker. Og for sinθ = λ/b forsvinner de så helt. Deretter opptrer de igjen ved større vinkler, men med reduserte amplituder.

• Lys
• Moarémønster