Subgrupo

subconjunto de um grupo que também é um grupo

Definição

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Em teoria dos grupos, um subgrupo de um grupo G é um subconjunto H de G que também seja um grupo para a mesma operação. Sejam   um grupo e   um subconjunto não vazio de  . Dizemos que   é um subgrupo de   se   é fechado para a operação de   e é um grupo. Notação:  

Exemplos

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  • Os subgrupos de   são os conjuntos   dos múltiplos de  , para cada  .
  •   é um subgrupo de  
  • O conjunto   é um subgrupo dos (  com a multiplicação usual de números complexos..

Resultado Importante

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Para verifcar se um dado subconjunto de um grupo é um subgrupo, precisamos mostrar que ele é fechado para a operação do grupo e provar as três condições da definição de grupo. Contudo a proposição abaixo facilita este trabalho.

Proposição 1: Seja   um subconjunto não vazio de um grupo  .Então   é um subgrupo de   se e somente se, para todo   implica que  

Propriedades hereditárias

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Os grupos têm as seguintes propriedades hereditárias, isto é, se um grupo tem uma das propriedades seguintes, também os seus subgrupos a têm:

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