Universo de Grothendieck

Um universo de Grothendieck é um conjunto U com as propriedades:

1. Se x é um elemento de U e y é um elemento de x, então y é um elemento de U (isto é, U é um conjunto transitivo.)
2. Se x e y são elementos de U, então o conjunto {x, y} é um elemento de U.
3. Se x é um elemento de U, então o conjunto das partes P(x) é um elemento de U.
4. Se I (um conjunto de índices) é um elemento de U, e, para cada i ∈ I, há um elemento x_i ∈ U, a união ⋃_{i ∈ I} x_i pertence a U.

Com essas regras, os universos de Grothendieck mais simples serão o conjunto vazio, e conjunto dos conjuntos hereditariamente finitos (isto é, os conjuntos que podem ser descritos usando uma quantidade finita dos símbolos "∅", "{ }" e vírgula).^[1] Para eliminar esses casos triviais, alguns autores exigem que o conjunto ℕ = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, …} dos ordinais finitos pertença a U.^[2]

O axioma de universos diz que, para todo conjunto x, existe universo de Grothendieck U tal que x ∈ U.^[3]

Cada universo de Grothendieck U também satisfaz:

• Se x, y ∈ U, a dupla (x, y) (definida na teoria de conjuntos como {{x}, {x, y}}) pertence a U.
• Se x ∈ U e y ⊆ x, y ∈ U.
• Se X ∈ U e Y ∈ U, X × Y ∈ U.^[1]

Cada universo de Grothendieck incluindo ℕ é um ∈-modelo para os axiomas de Zermelo-Fraenkel, de modo que sua existência não pode ser demonstrada por estes axiomas.^[2]

• GROTHENDIECK, Alexander; ARTIN, Michel; VERDIER, Jean-Louis; BOURBAKI, Nicolas; et al. (1969). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie (SGA). [S.l.: s.n.] . Disponível em web.archive.org/web/20120114070702/http://library.msri.org/books/sga/sga/pdf/index.html e agrothendieck.github.io/SGAEGAFGA.html.
• «Grothendieck universe – Nlab». Consultado em 8 de fevereiro de 2020