Funksioni beta

Në matematikë, funksioni beta, i quajtur edhe integrali i Eulerit i llojit të parë, është një funksion i veçantë që lidhet ngushtë me funksionin gama dhe me koeficientët binomialë . Përcaktohet nga integrali

${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt}$

për hyrjet e numrave kompleksë ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ sikurse ${\displaystyle \Re (z_{1}),\Re (z_{2})>0}$ .

Funksioni beta është simetrik, që do të thotë se ${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})}$ për të gjitha inputet ${\displaystyle z_{1}}$ dhe ${\displaystyle z_{2}}$ . ^[1]

Një veti kryesore e funksionit beta është marrëdhënia e tij e ngushtë me funksionin gama : ^[1]

${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.}$

Përafrimi i Stirlingut jep formulën asimptotike

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}$

për x dhe y të mëdha.

1. ^ ^{a b} Davis, Philip J. (1972), "6. Gamma function and related functions", përmbledhur nga Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (red.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, fq. 258, ISBN 978-0-486-61272-0 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!). Specifically, see 6.2 Beta Function.