Tillståndsekvation (kosmologi)

I kosmologi karakteriseras tillståndsekvationen för en perfekt fluid av ett dimensionslöst tal ${\displaystyle \!w}$, lika med kvoten av dess tryck ${\displaystyle \!p}$ och dess energtäthet ${\displaystyle \!\rho }$: ${\displaystyle \!w=p/\rho }$. Den är nära besläktad med den termodynamiska tillståndsekvationen och ideala gaslagen.

Den perfekta gasens tillståndsekvationen kan skrivas som

${\displaystyle \!p=\rho _{m}RT=\rho _{m}C^{2}}$

där ${\displaystyle \!\rho _{m}}$ är masstätheten, ${\displaystyle \!R}$ den särskilda gaskonstanten, ${\displaystyle \!T}$ är temperaturen och ${\displaystyle \!C={\sqrt {RT}}}$ är en molekylernas karakteristiska termiska hastighet. Således

${\displaystyle w={\frac {p}{\rho }}={\frac {\rho _{m}C^{2}}{\rho _{m}c^{2}}}={\frac {C^{2}}{c^{2}}}\approx 0}$

där ${\displaystyle \!\rho =\rho _{m}c^{2}}$ och ${\displaystyle \!C<<c}$ för en "kall" gas, ${\displaystyle \!c}$ = ljushastigheten.

Tillståndsekvationen kan användas i Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-metrik för att beskriva evolutionen hos ett isotropiskt universum fyllt med en perfekt fluid. Om ${\displaystyle \!a}$ är skalfaktorn, så gäller

${\displaystyle \rho \propto a^{-3(1+w)}.}$

Om fluiden är den dominerande formen av materia i ett platt universum, så

${\displaystyle a\propto t^{\frac {2}{3(1+w)}},}$

där${\displaystyle \!t}$ är egentiden.

I allmänhet är Friedmanns accelerationsekvation

${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +3p)}$

där ${\displaystyle \!\Lambda }$ är den kosmologiska konstanten och ${\displaystyle \!G}$ är gravitationskonstanten, och ${\displaystyle {\ddot {a}}}$ är skalfaktorns andraderivata med avseende på egentiden.

Om vi definierar "effektiv" energidensitet och tryck som

${\displaystyle \rho ^{\prime }\equiv \rho +{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

${\displaystyle p^{\prime }\equiv p-{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

och

${\displaystyle p^{\prime }=w^{\prime }\rho ^{\prime }}$

så kan accelerationsekvationen skrivas som

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4}{3}}\pi G\left(\rho ^{\prime }+3p^{\prime }\right)=-{\frac {4}{3}}\pi G(1+3w^{\prime })\rho ^{\prime }}$

Vanlig icke-relativistisk materias tillståndsekvation (kallt rymdstoft) är ${\displaystyle \!w=0}$, vilket betyder att den är utspädd som ${\displaystyle \rho \propto a^{-3}=V^{-1}}$, där ${\displaystyle \!V}$ är volymen. Detta innebär att energidensiteten rödförskjuts med volymen, vilket är naturligt för vanlig icke-relativistisk materia.

Ultrarelativistisk materias tillståndsekvation (strålning och även materia i ett förmodat tidigt universum) är ${\displaystyle \!w=1/3}$ , vilket betyder att den är utspädd som ${\displaystyle \rho \propto a^{-4}}$. I ett expanderande universum, avtar energidensiteten snabbare än volymen expanderar, eftersom strålning har moment och, enligt de Broglies hypotes en våglängd, som blir rödförskjuten.

• L. Bergström & A. Goobar; Cosmology and Particle Astrophysics, 2:a uppl, sid. 63, Springer (2004). ISBN 3-540-43128-4