Point de rebroussement

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En mathématiques, on appelle point de rebroussement, fronce (selon René Thom) ou parfois cusp, selon la terminologie anglaise, un type particulier de point singulier sur une courbe. Dans le cas d'une courbe admettant une équation ${\displaystyle f(x,y)=0}$, les points de rebroussement ont les propriétés :

1. ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ;
2. ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\partial f \over \partial y}=0}$ ;
3. La matrice hessienne (la matrice des dérivées secondes) a un déterminant nul.

L'étude de la géométrie d'une courbe, algébrique ou analytique, au voisinage d'un tel point, repose notamment sur la notion d'éclatement.

Un exemple classique de courbe présentant un point de rebroussement est défini par

${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0}$.

Cette courbe peut être paramétrée par les équations:

${\displaystyle x=t^{2},\,y=t^{3}.}$

Cette courbe présente un point de rebroussement à l'origine.

On retrouve fréquemment des courbes présentant des points de rebroussement en optique, sous la forme de caustique.

• (en) Manfredo Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Rio de Janeiro, Prentice-Hall, 1976, 503 p. (ISBN 978-0-13-212589-5)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cusp (singularity) » (voir la liste des auteurs).

• Demi-tangentes
• Théorie des catastrophes
• Caustique

v · m Courbe - Éléments de navigation
Modes de génération	Représentation graphique d'une fonction mathématique Équation cartésienne Équation polaire Arc paramétré Trajectoire Courbe de niveau Courbe plane Courbe gauche Courbe tracée sur une surface Courbe algébrique Courbe elliptique Courbe de Bézier
Éléments remarquables	Tangente Longueur d'un arc Abscisse curviligne Courbure Cercle osculateur Rayon de courbure Centre de courbure Torsion Repère de Frenet Repère de Darboux Sinuosité Asymptote Point d'inflexion Point de rebroussement Bitangente
Traçage	Compas Compas parfait Ellipsographe Mécanisme de Watt Pantographe Spirographe Théorème d'universalité de Kempe
Transformées	Développée Développante Podaire Caustique Tractoire
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