Derivada parcial

Derivada parcial
conceutu matemáticu
derivada

En cálculu diferencial, una derivada parcial d'una función de diverses variables, ye la derivada al respeutive de caúna d'eses variables calteniendo les otres como constantes. Les derivaes parciales son útiles en cálculu vectorial, xeometría diferencial, funciones analítiques, física, matemática, etc.

La derivada parcial d'una función f al respeutive de la variable x representar con cualesquier de les siguientes notaciones equivalentes:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial x}}f,\ \partial _{x}f,\ f_{x}^{\prime }{\text{ ó }}f_{x}.}$

Onde ${\displaystyle \scriptstyle \partial }$ ye la lletra 'd' arrondada, conocida como la 'd de Jacobi'. Tamién puede representase como ${\displaystyle D_{1}f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$ que ye la primer derivada al respeutive de la variable ${\displaystyle x_{1}}$ y asina socesivamente.^[1]

Cuando una magnitú ${\displaystyle A}$ ye función de diverses variables (${\displaystyle x,y,z,...}$), esto ye:

${\displaystyle A=f\left(x,y,z,...\right)}$

Al realizar esta derivada llogramos la espresión que nos dexa calcular la rimada de la recta tanxente a dicha función ${\displaystyle A}$ nun puntu dau. Esta recta ye paralela al planu formáu pela exa de la incógnita al respeutive de la cual fíxose la derivada cola exa que representa los valores de la función.

Analíticamente el gradiente d'una función ye la máxima pendiente de dicha función na direición que s'escueya. Mientres vistu dende la álxebra llinial, la direición del gradiente indícanos escontra onde hai mayor variación na función.

Supongamos que ${\displaystyle \scriptstyle f}$ ye una función de más d'una variable, ye dicir una función real de variable vectorial. Pal casu,

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}\,}$

Ye difícil describir la derivada de tal función, yá que esiste un númberu infinitu de llinies tanxentes en cada puntu de la so superficie. La derivación parcial ye l'actu d'escoyer una d'eses llinies y atopar la so rimada. Xeneralmente, les llinies que más interesen son aquelles que son paraleles al planu de la exa x con z, y aquelles que son paraleles al planu de la exa y con z.

Una bona manera d'atopar los valores pa eses llinies paraleles ye la de tratar les otres variables como constantes mientres se dexa a variar namái una. Por casu, p'atopar la llinia tanxente de la función de riba en (1, 1, 3) que ye paralela al planu de la exa x con z, tratamos a la variable y como constante. El gráficu de la función y el planu y = 1 amuésense a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, nel planu y = 1. Atopando la llinia tanxente nesti gráficu, afayamos que la rimada de la llinia tanxente de ƒ en (1, 1) que ye paralela al planu de la exa x con z ye trés. Qu'escribimos:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}(1,1)=3}$

nel puntu (1, 1),

o como, tomando la variable y como constante, "La derivada parcial de ${\displaystyle f}$ con al respeutive de x ye (${\displaystyle f_{x}^{\prime }=2x+1}$), que nel puntu (x = 1) toma'l valor 3."

• Considera'l volume V d'un conu, este depende del altor h del conu y el so radiu r acordies cola fórmula

${\displaystyle V(r,h)={\frac {r^{2}h\pi }{3}}}$

Les derivaes parciales de V al respeutive de r y h son:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}(r,h)={\frac {2rh\pi }{3}},\qquad {\frac {\partial V}{\partial h}}(r,h)={\frac {r^{2}\pi }{3}}}$

• Otru exemplu, dada la función ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$ tal que:

${\displaystyle F(x,y)=3x^{3}y+2x^{2}y^{2}-7y\,}$

la derivada parcial de ${\displaystyle F}$ respectu de ${\displaystyle x}$ ye:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=9x^{2}y+4xy^{2}}$

ente que con respectu de ${\displaystyle y}$ ye:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=3x^{3}+4x^{2}y-7}$

Análogamente a les derivaes ordinaries ( función d'una variable real), les derivaes parciales tán definíes como llende . Onde O ye un subconxuntu abiertu de Rⁿ y f : O → R una función. Definimos derivada parcial de f nel puntu a = (a₁,..., a_n) ∈ O con al respeutive de la i-ésima variable x_i como:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{n}) \over h}}$

, si esiste la llende.

O vistu al respeutive de la derivada direccional:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f({\vec {x}}_{0})=D_{\vec {v}}f\left({\vec {x}}_{0}\right)={\underset {t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {f\left({\overrightarrow {x_{0}}}+t{\vec {v}}\right)-f\left({\vec {x}}_{0}\right)}{t}}}$

onde ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ye'l vector unitariu de la exa respeuto al que se deriva (${\displaystyle {x_{i}}}$).

Inclusive si toles derivaes parciales esisten nel puntu a, la función non necesariamente ye continua nesi puntu. Sicasí, si toles derivaes parciales esisten alredor de a y son continues, entós la función non yá ye continua sinón amás diferenciable cerca de a. Nesti casu, f ye una función C¹.

De la definición propuesta infierse que les regles pa calcular les derivaes parciales son les mesmes que s'usen pa topar la derivada de les funciones d'una variable, ye necesariu , solo, tener en cuenta , al respeutive de qué variable plantégase la derivada. ^[2]

Pal siguiente exemplu, f va ser una función de x y y.

• Derivaes parciales de primer orde:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f}$

Derivaes parciales (dobles) de segundu orde:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f,\qquad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f''_{yy}=\partial _{yy}f,}$

Derivaes cruciaes de segundu orde:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=f''_{yx}=\partial _{xy}f,\qquad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f''_{xy}=\partial _{yx}f,}$

En termodinámica y otres árees de la física emplega la siguiente notación:

${\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z}}$

Que significa que ${\displaystyle \exists f_{XZ}(\cdot ):\ Y=f_{XZ}(X,Z)\,}$ y entós:

${\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z}:={\frac {\partial f_{XZ}(X,Z)}{\partial X}}}$

Esta notación úsase porque frecuentemente una magnitú puede espresase como función de distintos variables polo que polo xeneral:

${\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z_{1}}\neq \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z_{2}}}$

Una y bones la forma precisa de les funciones ${\displaystyle f_{XZ_{1}}(\cdot ,\cdot )}$ y ${\displaystyle f_{XZ_{2}}(\cdot ,\cdot )}$ ye distintu, esto ye, trátase de funciones distintes.

De la mesma, la derivada parcial ${\displaystyle \partial _{x_{i}}f}$ puede trate como otra función definida en O y derivase parcialmente. Si toles sos derivaes parciales esisten y son continues, llamamos a f una función C²; nesti casu, les derivaes parciales (llamaes parciales) pueden ser intercambiaes pol teorema de Clairaut tamién conocíu como teorema de Schwarz.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}.}$

En R², si cumplir lo yá dicho, asegúrase que:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}=f_{yx}}$

• Derivada
• Derivada total
• Derivada de Lie
• Derivada covariante
• Jacobiano

• Weisstein, Eric W. «Partial Derivative» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.