Незалежнасць (тэорыя імавернасцей)

Тэорыя імавернасцей
Імавернасць Аксіёмы Выпадковасць[en]
Імавернасная прастора Геаметрычная імавернасць Прастора элементарных падзей Выпрабаванне Выпадковая падзея Поўная група падзей
Выпадковая велічыня Матэматычнае спадзяванне Дысперсія Размеркаванне імавернасцей Бернулі Біномнае Нармальнае Імавернасная мера[en]
Умоўная імавернасць Незалежнасць Тэарэма множання імавернасцей Формула поўнай імавернасці Тэарэма Баеса
Закон вялікіх лікаў Цэнтральная лімітавая тэарэма
Г Р П

Незалежнасць  — фундаментальнае паняцце тэорыі імавернасцей і статыстыкі. Дзве падзеі завуцца незалежнымі, калі здзяйсненне адной падзеі ніяк не ўплывае на імавернасць здзяйснення іншай.

Дзве падзеі ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ завуцца незалежнымі, калі справядліва роўнасць^[1]:41 $${\displaystyle P(AB)=P(A)P(B).}$$

Калі гэтая роўнасць не выконваецца, то адпаведныя падзеі будзем называць залежнымі.

З такога азначэння вынікае роўнасць умоўнай імавернасці ${\displaystyle P(A|B)}$ і імавернасці ${\displaystyle P(A)}$, калі ўмоўная імавернасць існуе (${\displaystyle P(B)>0}$)^[1]:42. Інтуітыўна гэта тлумачыць, чаму выкананне вышэйпрыведзенай роўнасці азначае незалежнасць: $${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(AB)}{P(B)}}={\frac {P(A)P(B)}{P(B)}}=P(A).}$$

Падзеі ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ называюцца незалежнымі, калі для любога падмноства падзей ${\displaystyle \{A_{i_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{k}}\}}$, дзе ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{k}\leq n}$, ${\displaystyle 2\leq k\leq n}$, праўдзіцца роўнасць

$${\displaystyle P(A_{i_{1}}A_{i_{2}}\dots A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}})P(A_{i_{2}})\dots P(A_{i_{k}}).}$$

У процілеглым выпадку падзеі ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ называюцца залежнымі^[1]:43-44.

У выпадку незалежнасці падзей ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$, для кожных двух дыз’юнктных падмностваў^[en] ${\displaystyle \{A_{i_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{k}}\}}$ і ${\displaystyle \{A_{j_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{s}}\}}$ выконваецца роўнасць умоўнай імавернасці і звычайнай, як і ў выпадку дзвюх падзей:

$${\displaystyle P(A_{i_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{k}}|A_{j_{1}},A_{j_{2}},\dots ,A_{j_{s}})=P(A_{i_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{k}}).}$$

Незалежнасць канечнай колькасці падзей завецца яшчэ незалежнасцю ў сукупнасці. Як вынікае з азначэння, кожнае падмноства мноства незалежных падзей — у сваю чаргу мноства незалежных падзей. У прыватнасці ўсе пары такіх падзей незалежныя. Такім чынам, з незалежнасці ў сукупнасці вынікае незалежнасць парамі. Аднак адваротнае сцверджанне не мае месца, бо існуюць выпадкі, калі незалежныя парамі падзеі залежныя ў сукупнасці^[1]:44.

Разгледзім дзве імавернасныя прасторы. У абодвух выпадках, ${\displaystyle \mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (B)=1/2}$ and ${\displaystyle \mathrm {P} (C)=1/4}$. Падзеі з першай прасторы незалежныя парамі, бо ${\displaystyle \mathrm {P} (A|B)=\mathrm {P} (A|C)=1/2=\mathrm {P} (A)}$, ${\displaystyle \mathrm {P} (B|A)=\mathrm {P} (B|C)=1/2=\mathrm {P} (B)}$ і ${\displaystyle \mathrm {P} (C|A)=\mathrm {P} (C|B)=1/4=\mathrm {P} (C)}$; але гэтыя ж тры падзеі залежныя ў сукупнасці. Падзеі ў другой прасторы незалежныя як парамі, так і ў сукупнасці. Каб праілюстраваць розніцу, знойдзем умоўныя імавернасці калі выконваюцца дзве падзеі. У першым выпадку, хоць кожная падзея і незалежная ад кожнай іншай асобна, яна не незалежная ад іх здабытку:

${\displaystyle \mathrm {P} (A|BC)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {1}{40}}}}={\tfrac {4}{5}}\neq \mathrm {P} (A)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (B|AC)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {1}{40}}}}={\tfrac {4}{5}}\neq \mathrm {P} (B)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (C|AB)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {6}{40}}}}={\tfrac {2}{5}}\neq \mathrm {P} (C)}$

У другім выпадку захоўваецца незалежнасць у сукупнасці:

${\displaystyle \mathrm {P} (A|BC)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}}}={\tfrac {1}{2}}=\mathrm {P} (A)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (B|AC)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}}}={\tfrac {1}{2}}=\mathrm {P} (B)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (C|AB)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {3}{16}}}}={\tfrac {1}{4}}=\mathrm {P} (C)}$