Galoistheorie

Algebraische Teildisziplin

Die Galoistheorie ist ein Teilgebiet der Algebra. In klassischer Sicht beschäftigt sich die Galoistheorie mit den Symmetrien der Nullstellen von Polynomen. Diese Symmetrien können grundsätzlich durch Gruppen von Permutationen, also Untergruppen der symmetrischen Gruppe, beschrieben werden. Évariste Galois entdeckte, dass diese Symmetrien Aussagen über die Lösbarkeit der Gleichung erlauben. In moderner Sicht werden Körpererweiterungen mit Hilfe ihrer Galoisgruppe untersucht.

Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei klassischen Problemen, wie etwa „Welche regelmäßigen Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren?“, „Warum kann ein Winkel nicht dreigeteilt werden?“ (wieder nur mit Zirkel und Lineal), „Warum kann zu einem Würfel nicht die Seite eines Würfels mit doppeltem Volumen konstruiert werden?“ und „Warum gibt es keine geschlossene Formel zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen fünften oder höheren Grades, die nur mit den vier Grundrechenarten und Wurzelziehen auskommt?“ (Der Satz von Abel-Ruffini).

Klassischer Ansatz

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Eine „Symmetrie der Nullstellen von Polynomen“ ist eine Permutation der Nullstellen, so dass jede algebraische Gleichung über diesen Nullstellen auch dann noch gültig ist, nachdem man die Nullstellen mittels der Permutation vertauscht hat. Diese Permutationen bilden eine Gruppe. Abhängig von den Koeffizienten, die in den algebraischen Gleichungen erlaubt sind, ergeben sich unterschiedliche Permutationen. Durch Untersuchen dieser algebraischen Gleichungen und Permutationen lässt sich die Galoisgruppe eines Polynoms bestimmen.

Galois selbst beschrieb eine Methode, mit der eine einzelne von den Nullstellen erfüllte Gleichung konstruiert werden kann (die sog. Galois-Resolvente), so dass die Galois-Gruppe aus den Symmetrien dieser einen Gleichung besteht.

Bestimmung der Galoisgruppe über alle Permutationen im Ausschlussverfahren

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Die Galoisgruppe des Polynoms    soll über dem Körper der rationalen Zahlen bestimmt werden. Durch zweifaches Wurzelziehen ergeben sich, zusammen mit der Beziehung  , die Nullstellen:

  ,
  ,
  ,
  .

Es gibt   Möglichkeiten, diese vier Nullstellen zu permutieren (zu vertauschen):

 
Nr. Permutation Nr. Permutation Nr. Permutation Nr. Permutation
01   07   13   19  
02   08   14   20  
03   09   15   21  
04   10   16   22  
05   11   17   23  
06   12   18   24  

Aber nicht alle diese Permutationen gehören auch zur Galoisgruppe. Dies liegt daran, dass alle algebraischen Gleichungen mit ausschließlich rationalen Koeffizienten, die die Variablen  ,  ,   und   enthalten, auch unter den Permutationen der Galoisgruppe ihre Gültigkeit bewahren müssen. Betrachtet man beispielsweise

 ,

so ist diese Gleichung nicht für alle Vertauschungen der Nullstellen erfüllt. Unter der Permutation, die   und   gleich lässt und   und   vertauscht, entsteht bei der Gleichung eine falsche Aussage, denn   ist ungleich  . Deshalb gehört diese Permutation (Nr. 2) nicht zur Galois-Gruppe. Entsprechendes gilt für die Permutationen Nr. 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23 in der Tabelle, denn als Summe von zwei der vier Nullstellen sind lediglich die Gleichungen   und   richtig.

Eine weitere algebraische Gleichung mit rationalen Koeffizienten, die die Nullstellen erfüllen, ist

 .

Deshalb können zusätzlich die Permutationen Nr. 3, 11, 14 und 22 ausgeschlossen werden, denn es ist  ,  ,   und  .

Übrig bleiben vier Permutationen: Nr. 1, 8, 17 und 24. Da es sich bei dem Polynom   um ein über   irreduzibles Polynom 4. Grades handelt, besteht die Galoisgruppe aus mindestens vier Elementen. Also bilden diese vier Permutationen die Galoisgruppe des Polynoms  :

 
 
 
 

oder in Zyklenschreibweise:

  (Identität),  ,   und  .

Diese Gruppe ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe.

Bestimmung der Galoisgruppe mit Hilfe eines primitiven Elementes

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Alternativ kann die Galoisgruppe auch mit Hilfe eines primitiven Elementes bestimmt werden. Hier liegt ein Spezialfall vor, denn die Nullstelle   ist – ebenso wie die Nullstelle   oder   – bereits solch ein primitives Element. Mit

 ,   und  

erhält man die Gleichungen:

  und  .

Damit lassen sich   und   als Polynom mit der Variablen   ersetzen:

  und  .

Somit ergeben sich auch die vier Nullstellen als Polynome   mit der Variablen  :

 ,
 ,
 ,
 .

Im allgemeinen Fall müssen zu dem primitiven Element das zugehörige Minimalpolynom sowie dessen weitere Nullstellen bestimmt werden. Bei diesem Beispiel ist jedoch das Minimalpolynom von   das Ausgangspolynom mit den bereits bekannten weiteren Nullstellen   und  . (Zum allgemeinen Vorgehen: siehe Beispiel zum Satz vom primitiven Element.) Ersetzt man nun in den Polynomen   die Variable   durch   oder  , so ergeben sich wiederum die Nullstellen   des Ausgangspolynoms, allerdings in einer anderen Reihenfolge. Diese Permutationen der Nullstellen bilden die Galoisgruppe.[1] Einsetzen von   liefert die Identität, die übrigen Beziehungen ergeben sich durch Nachrechnen:

 ,
 ,
 ,
 .

{ } ist damit die Galoisgruppe des Polynoms  .

Berechnung der Galoisgruppe mit Hilfe der Galois-Resolvente

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Die Galoisgruppe eines Polynoms ist in der Regel nicht leicht zu bestimmen. Insbesondere im Standardfall eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten können allerdings genügend genaue numerische Näherungen der Nullstellen dazu verwendet werden, die Galoisgruppe zu berechnen.

Moderner Ansatz

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Der moderne Ansatz, der auf Richard Dedekind zurückgeht, formuliert die Galoistheorie in der Sprache der algebraischen Strukturen: Ausgehend von einer Körpererweiterung   definiert man die Galoisgruppe   als die Gruppe aller Körperautomorphismen von  , welche die Elemente von   einzeln festhalten.

Dabei ist   ein Zerfällungskörper des gegebenen Polynoms, also ein kleinster Erweiterungskörper von  , in dem das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Er heißt normaler oder Galoisscher Erweiterungskörper von  . Die Galoisgruppe, bestehend aus denjenigen Automorphismen von  , die den Unterkörper   elementweise fest lassen, lässt damit notwendig auch jeden Term fest, dessen Wert ein Element aus   ist.

Der Bezug zum klassischen Vorgehen von Galois ergibt sich, wenn man einen Automorphismus   der Galoisgruppe auf eine Nullstelle   des entsprechenden Polynoms   anwendet:

 .
 .

Weil   ein Körperhomomorphismus ist und außerdem die Koeffizienten des Polynoms als Elemente des Körpers   fest lässt, ergibt sich:

 .

Also ist   ebenfalls eine Nullstelle des Polynoms  . Dies bedeutet, dass der Automorphismus   die Nullstellen vertauscht. Die Galoisgruppe operiert somit auf der Menge der Nullstellen des Polynoms und wirkt dort als Permutationsgruppe.

Die Kenntnisse über auflösbare Gruppen in der Gruppentheorie erlaubt uns, herauszufinden, ob ein Polynom durch Radikale auflösbar ist, und zwar abhängig davon, ob dessen Galoisgruppe auflösbar ist oder nicht. Jede Körpererweiterung   gehört zu einer Faktorgruppe der Hauptreihe der Galoisgruppe. Falls eine Faktorgruppe der Hauptreihe zyklisch von der Ordnung   ist, ist die zugehörige Körpererweiterung eine radikale Erweiterung, und die Elemente von   können als die  -ten Wurzeln eines Elements aus   aufgefasst werden.

Wenn alle Faktorgruppen der Hauptreihe zyklisch sind, wird die Galoisgruppe als auflösbar bezeichnet, und alle Elemente des zugehörigen Körpers können durch sukzessives Wurzelziehen, Produktbilden und Summieren aus den Elementen des Grundkörpers (normalerweise  ) erhalten werden.

Einer der größten Triumphe der Galoistheorie war der Beweis, dass für jedes   ein Polynom mit Grad   existiert, welches nicht durch Radikale auflösbar ist. Dies beruht auf der Tatsache, dass für   die symmetrische Gruppe   einen einfachen nichtzyklischen Normalteiler enthält.

Hauptsatz der Galoistheorie

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Wenn   eine endliche Galoiserweiterung des Körpers   ist, und   die zugehörige Galoisgruppe, dann ist   galoissch über jedem Zwischenkörper  , und es existiert eine inklusionsumkehrende Bijektion

 

Ihre Umkehrabbildung ist gegeben durch  , wobei   den Fixkörper von   unter   bezeichnet.

Normale Körpererweiterungen   entsprechen unter dieser Bijektion Normalteilern von  .

Außerdem gilt:

  •  
  •  

Eine etwas allgemeinere Formulierung wird im Artikel Galoisgruppe erläutert.

Bestimmung der Galoisgruppe als Automorphismengruppe

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Für das oben angegebene Beispiel sollen die Elemente der Galoisgruppe nun als Körperautomorphismen bestimmt werden. Die Nullstellen des Polynoms   sind

  ,
  ,
  ,
  .

Der Zerfällungskörper ist somit  . Eine Basis für   als Vektorraum über   ist  , d. h. jedes Element aus   ist von der Form   mit   aus  . Es handelt sich somit bei   um eine algebraische Körpererweiterung vom Grad 4 über  . Die Ordnung der Galoisgruppe stimmt mit dem Grad der Körpererweiterung überein, ihre Elemente permutieren – wie oben gezeigt – die Nullstellen des Polynoms folgendermaßen:

 
 
 
 

  (als Permutation) bleibt die Identität, wird nun allerdings zu einem Körperautomorphismus   von  :

 .

Man sieht, dass unter   bei der Permutation der vier Nullstellen stets   und   vertauscht werden. Der zugehörige Körperautomorphismus   lautet somit:

 .

Dabei bleibt der Körper   elementweise fest. Entsprechendes gilt bei   für   und  . Unter   ändert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen. Die entsprechenden Körperautomorphismen sind:

   mit dem Fixkörper    und
   mit dem Fixkörper   .

 ,   und   sind zu sich selbst invers, bilden also zusammen mit der Identität jeweils eine Untergruppe der Galoisgruppe. Mehr echte Untergruppen gibt es nicht, denn die Hinzunahme eines weiteren Elementes würde bereits die ganze Galoisgruppe erzeugen. Die Hintereinanderausführung von   und   ergibt  , damit ist die Galoisgruppe isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und insbesondere kommutativ. Deshalb sind alle Untergruppen der Galoisgruppe auch Normalteiler. Also sind nach dem Hauptsatz der Galoistheorie  ,   und   die einzigen Zwischenkörper der Körpererweiterung  . Die Zwischenkörper selbst sind Körpererweiterungen vom Grad 2 über  .

Bestimmung der Galoisgruppe durch Matrizenrechnung

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Im Falle eines Polynoms, das zu einem normalen oder Galoisschen Körper gehört, ist die Bestimmung der Galoisgruppe auch mit Hilfe der Matrizenrechnung möglich.

Ist ein Polynom   vom Grade   irreduzibel über   und die Gleichung   normal[2] über  , so gilt für jede Nullstelle    : Die Elemente   bilden eine linear unabhängige Basis des Erweiterungskörpers, der aus   durch Adjunktion dieser Nullstelle entsteht[3]. Sind die Nullstellen   bekannt, so kann man auch ihre Potenzen   ermitteln. Stellt man diese in Matrixform bezüglich einer gemeinsamen Basis dar, so lässt sich damit die Automorphismengruppe direkt berechnen.

Für das oben angegebene, über   irreduzible und normale Polynom   mit den Nullstellen   erhält man

 ,  
 ,  
 ,  
 ,  

Alle Potenzen sind Linearkombinationen von  ,  ,   und  . Diese sind linear unabhängig, daher wählt man   als gemeinsame Basis. Mit ihrer Hilfe erzeugt man nun Matrizen  , deren Zeilenvektoren der Reihe nach die Elemente   jeweils in Abhängigkeit von den Elementen der gemeinsamen Basis darstellen.

    (die Zeilen stellen  ,  ,   und   in Abhängigkeit von  ,  ,   und   dar)
    (die Zeilen stellen  ,  ,   und   in Abhängigkeit von  ,  ,   und   dar)
    (die Zeilen stellen  ,  ,   und   in Abhängigkeit von  ,  ,   und   dar)
    (die Zeilen stellen  ,  ,   und   in Abhängigkeit von  ,  ,   und   dar)

Die Matrizen   haben wegen der linearen Unabhängigkeit ihrer Zeilen vollen Rang und sind daher invertierbar. Jede Transformation   einer Matrix   in eine andere Matrix   stellt einen Automorphismus des Erweiterungskörpers dar. Die   sind Lösungen der Gleichungen  , wegen der Invertierbarkeit der   gilt  . Um die Automorphismengruppe zu ermitteln, genügt es, eine der Matrizen   zu invertieren und diese Inverse mit den anderen Matrizen zu multiplizieren. Denn für ein festes   sind diese Matrizenprodukte alle verschieden und ihre Anzahl stimmt mit der Anzahl der Automorphismen des Erweiterungskörpers überein.

Wegen   ,   und   ist

    (die Zeilen stellen  ,  ,   und   in Abhängigkeit von  ,  ,   und   dar).

Damit ergeben sich:

    (Einheitsmatrix, entspricht der identischen Abbildung)
    (die Zeilen stellen jeweils das Bild von  ,  ,   und   in Abhängigkeit von  ,  ,   und   dar)

Durch diesen Automorphismus geht   in   und   in   über. Invariant bleibt  , somit ist   der zugehörige Fixkörper. Wegen   gehört zu ihm die Untergruppe  .

    (die Zeilen stellen jeweils das Bild von  ,  ,   und   in Abhängigkeit von  ,  ,   und   dar)

Durch diesen Automorphismus geht   in   und   in   über. Invariant bleibt  , somit ist   der zugehörige Fixkörper. Wegen   gehört zu ihm die Untergruppe  .

    (die Zeilen stellen jeweils das Bild von  ,  ,   und   in Abhängigkeit von  ,  ,   und   dar)

Durch diesen Automorphismus geht   in   und   in   über. Invariant bleibt  , somit ist   der zugehörige Fixkörper. Wegen   gehört zu ihm die Untergruppe  .

Wegen   ist auch die Isomorphie der Automorphismengruppe zur Kleinschen Vierergruppe unmittelbar ersichtlich. Ansonsten kann man die Gruppenstruktur anhand der Verknüpfungstafel ermitteln.

Das dargestellte Verfahren bietet die Möglichkeit, die erforderlichen Berechnungen von Potenzen und Matrizen mit Hilfe von Computerprogrammen durchzuführen. Zudem sind, wie man am obigen Beispiel sieht, Invarianten der Automorphismen und damit Fixkörper einfach zu bestimmen.

Kroneckerscher Satz

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Der Kroneckersche Satz zu Galoiserweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen   ist einer der klassischen Sätze des Mathematikers Leopold Kronecker und gilt als einer der schönsten Sätze der algebraischen Zahlentheorie. Der Satz besagt:[4][5]

Jede Galoiserweiterung   mit abelscher Galoisgruppe   ist in einem der Kreisteilungskörper   enthalten.

Verallgemeinerungen

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Im Fall einer unendlichen Erweiterung   kann man die Automorphismengruppe   mit der so genannten Krulltopologie (nach W. Krull) versehen. Ist   separabel und normal (also eine Galoiserweiterung), gibt es dann eine natürliche Bijektion zwischen Teilerweiterungen   und abgeschlossenen Untergruppen von  .

Ist   eine nicht notwendigerweise algebraische unendliche Erweiterung, so gibt es keine derartige allgemeine Theorie mehr: Ist beispielsweise   ein vollkommener Körper der Charakteristik  , so ist durch

 

ein Körperautomorphismus definiert, der so genannte Frobeniushomomorphismus. Die von   erzeugte Untergruppe   von   ist im Allgemeinen »viel« kleiner als die Gruppe der Automorphismen von  , aber es gilt  . Ist   ein algebraischer Abschluss von  , so liegt allerdings die vom Frobeniusautomorphismus erzeugte Untergruppe dicht in  , das heißt ihr Abschluss ist gleich der Galoisgruppe.

Ist jedoch   eine Körpererweiterung mit   (das impliziert nicht, dass L/K algebraisch und damit insbesondere nicht galoissch ist), so gilt trotzdem noch:   und   sind zueinander inverse, inklusionsumkehrende Bijektionen zwischen der Menge der kompakten Untergruppen von   und der Menge der Zwischenkörper  , bei denen   galoissch über   ist.

Es gibt auch eine Verallgemeinerung der Galoistheorie für Ringerweiterungen statt Körpererweiterungen.

Das Umkehrproblem der Galoistheorie

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Es ist einfach, Körpererweiterungen mit einer beliebigen vorgegebenen endlichen Gruppe als Galoisgruppe zu konstruieren, wenn man den Grundkörper nicht festlegt. Alle endlichen Gruppen treten daher als Galoisgruppen auf.

Dazu wählt man einen Körper   und eine endliche Gruppe  . Nach dem Satz von Cayley ist   isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf den Elementen von  . Wählt man Variablen   für jedes Element   von   und adjungiert sie zu  , so erhält man  . In   enthalten ist der Körper   der symmetrischen rationalen Funktionen in den  . Dann ist  , und der Fixkörper   von   unter   hat Galoisgruppe   nach dem Hauptsatz der Galoistheorie.

Das skizzierte Vorgehen stellt die Strategie von Emmy Noether (1918)[6] für die Lösung des inversen Galoisproblems dar[7], wobei sie als Grundkörper   die rationalen Zahlen betrachtete. Ist der Fixkörper   ein rationaler Funktionenkörper über den rationalen Zahlen, kann man nach Noether mit dem Irreduzibilitätssatz von Hilbert eine Galoissche Körpererweiterung von   konstruieren mit Galoisgruppe  . Ein Gegenbeispiel für ihre Strategie wurde allerdings 1969 von Richard Swan gefunden. Es ist ein im Allgemeinen ungelöstes Problem, wie und ob man eine solche Konstruktion für einen festen Grundkörper, etwa  , ausführen kann.

Das allgemeine Umkehrproblem der Galoistheorie fragt für einen gegebenen Körper   und speziell   (die rationalen Zahlen) danach, ob jede endliche Gruppe als Galoisgruppe einer Körpererweiterung von   realisiert werden kann. Falls   ein endlicher Körper ist, ist dies nicht der Fall, da in diesem Fall die Galoisgruppe zyklisch ist. Das Umkehrproblem ist aber für jede endliche Gruppe für den Fall des Funktionenkörpers in einer Variablen über den komplexen Zahlen oder allgemeiner über algebraisch abgeschlossenen Körpern mit Charakteristik 0 lösbar. Schon für den Fall des Körpers der rationalen Zahlen   gibt es nur Teilresultate. Für endliche abelsche Gruppen über   wurde das Umkehrproblem bereits im 19. Jahrhundert gelöst (Leopold Kronecker, Heinrich Weber), und es ist auch für endliche auflösbare Gruppen (Igor Schafarewitsch) und für die sporadischen Gruppen über   mit Ausnahme der Mathieugruppe M23 gelöst (für die Mathieugruppen Heinrich Matzat, für die Monstergruppe John Griggs Thompson, womit gleichzeitig auch die meisten Fälle der sporadischen Gruppen erledigt waren).

Literatur

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  • Fields and Galois Theory – eine Einführung in die Galoistheorie von J. S. Milne. (englisch, PDF, 971 KiB)
  • Galois Theory – kurze Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse der Galoistheorie (englisch)
  • The Evariste Galois Archive – mehrsprachiges Projekt mit Originaldokumenten von Evariste Galois, einer Kurzbiographie über Galois, einer Liste von Monographien über Galois sowie etlichen Weblinks
  • Die Ideen der Galois-Theorie – relativ elementare Einführung in die Galoistheorie von Jörg Bewersdorff

Einzelnachweise

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  1. Nieper-Wißkirchen, Universität Augsburg: "Galoissche Theorie", S. 126, Proposition 4.8 und Beispiel, online (Memento vom 15. Juli 2019 im Internet Archive)
  2. B. L. van der Waerden, Algebra I, 8. Auflage 1971, § 41, Ende. Normal bedeutet hier, dass der durch Adjunktion einer Nullstelle des Polynoms   entstehende Körper schon normal ist, d. h. dass in ihm   völlig in Linearfaktoren zerfällt. Ein Beispiel für ein Polynom, das nicht normal ist, findet man im Artikel Galoisgruppe, Abschnitt Galoisgruppe eines kubischen Polynoms.
  3. B. L. van der Waerden, Algebra I, 8. Auflage 1971, § 40, Beispiel, in Verbindung mit § 46, Folgerung („Jede separable endliche Erweiterung ist einfach“). Siehe auch einfache Körpererweiterung.
  4. Michael Artin: Algebra. 1998, S. 652.
  5. Der kroneckersche Satz wird auch mit dem Namen von Heinrich Weber verbunden und als Satz von Kronecker-Weber bezeichnet. Er wird gelegentlich auch als „Jugendtraum von Kronecker“ bezeichnet.
  6. Emmy Noether, Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe, Mathematische Annalen, Band 78, 1918, S. 221–229, SUB Göttingen
  7. Meredith Blue, Galois theory and Noether’s problem, Proc. Thirty-Fourth Annual Meeting Florida Section MAA, 2001, pdf