Ramanujansumme

Für eine übersichtliche Darstellung wird in der Zahlentheorie abkürzend ${\displaystyle e(x)=e^{2\pi ix}}$  geschrieben und die Funktion ${\displaystyle e}$  wird als zahlentheoretische Exponentialfunktion bezeichnet.^[3]

Mit der zahlentheoretischen Exponentialfunktion lässt sich die Ramanujansumme ${\displaystyle c_{q}(n)}$  als

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{a=1 \atop (a,q)=1}^{q}e\left({\frac {a}{q}}\cdot n\right)}$  schreiben.

Für ganze Zahlen ${\displaystyle a}$  und ${\displaystyle b}$  schreibt man ${\displaystyle a\mid b}$ , gelesen „a teilt b“, falls eine ganze Zahl ${\displaystyle c}$  existiert, mit der ${\displaystyle b=a\cdot c}$  gilt. Existiert keine solche Zahl, schreibt man ${\displaystyle a\nmid b}$ , gelesen „a teilt b nicht“. Das Summationssymbol ${\displaystyle \textstyle \sum _{d\,\mid \,m}f(d)}$  bedeutet, dass der Summationsindex ${\displaystyle d}$  alle positiven Teiler von ${\displaystyle m}$  durchläuft. Für eine Primzahlpotenz ${\displaystyle p^{k},k\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 0\rbrace }$  und eine ganze Zahl ${\displaystyle b}$  schreibt man ${\displaystyle p^{k}\parallel b}$  (gelesen „${\displaystyle p^{k}}$  teilt b genau“), falls ${\displaystyle p^{k}\mid b,}$  aber ${\displaystyle p^{k+1}\nmid b}$  – mit anderen Worten, falls ${\displaystyle (p^{k+1},b)=p^{k}}$ .

Hält man eine der Variablen ${\displaystyle q}$  oder ${\displaystyle n}$  in der Ramanujansumme ${\displaystyle c_{q}(n)}$  fest, so erhält man eine zahlentheoretische Funktion in Abhängigkeit von der anderen Variablen, ${\displaystyle n}$  muss für diesen Begriff als Variable auf ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 0\rbrace }$  beschränkt werden. Bei festem ${\displaystyle q}$  ist die Funktion ${\displaystyle n\mapsto c_{q}(n)}$  ${\displaystyle q}$ -periodisch, das heißt, es gilt

${\displaystyle c_{q}(m)=c_{q}(n)}$ , falls ${\displaystyle m\equiv n{\pmod {q}},\,n,m\in \mathbb {Z} }$ .

Lässt man die Bedingung der Teilerfremdheit bei der Summation fort, erhält man

${\displaystyle \sum _{a=1}^{q}e\left({\frac {a}{q}}\cdot n\right)={\begin{cases}q\quad {\text{falls}}\;n\equiv 0{\pmod {q}}\\0\quad {\text{sonst,}}\end{cases}}}$ 

denn dann ist die linke Seite eine geometrische Summe. Sortiert man in der Summe nach dem größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle q}$  und ${\displaystyle a}$ , dann ergibt sich eine Dirichlet-Faltung der zahlentheoretischen Funktion ${\displaystyle q\mapsto c_{q}(n)}$  mit der konstanten Funktion ${\displaystyle I^{0}(q)=1}$ :

${\displaystyle \sum _{a=1}^{q}e\left({\frac {a}{q}}\cdot n\right)=\sum _{d\mid q}\sum _{a=1 \atop (a,q)=d}^{q}e\left({\frac {a}{q}}\cdot n\right)=\sum _{d\mid q}c_{q/d}(n)}$ .

Daraus folgt mit der Möbiusschen Umkehrformel:

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{{d\mid q} \atop {n\equiv 0{\pmod {d}}}}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\cdot d=\sum _{d\mid (q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\cdot d.}$ 

Daraus folgt dann:

• Die Ramanujansumme ${\displaystyle c_{q}(n)}$  nimmt stets reelle und sogar ganzzahlige Werte an,
• es gilt ${\displaystyle c_{q}(n)=c_{q}(-n)}$ , ${\displaystyle c_{q}(0)=\varphi (q)}$ ,
• sie ist bei festem ${\displaystyle n}$  eine multiplikative zahlentheoretische Funktion von ${\displaystyle q}$ , das heißt,

aus ${\displaystyle (q,r)=1}$  folgt ${\displaystyle c_{qr}(n)=c_{q}(n)\cdot c_{r}(n)}$ 

• und es gilt stets ${\displaystyle c_{q}(n)=c_{q}((q,n))}$ .
• Man kann die Ramanujansumme durch die Eulersche φ-Funktion ${\displaystyle \varphi }$  und die Möbiusfunktion ${\displaystyle \mu }$  darstellen:^[4]

${\displaystyle c_{q}(n)=\varphi (q)\cdot {\frac {\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}{\varphi ({\frac {q}{(q,n)}})}}}$  (für ${\displaystyle n=0}$  setzt man ${\displaystyle (q,0)=q}$ , allgemeiner ${\displaystyle (q,n)}$  als positiven ggT fest),

• ihre Werte sind bei festem ${\displaystyle q}$  betragsmäßig durch ${\displaystyle \varphi (q)}$  beschränkt,
• ist ${\displaystyle q/(q,n)}$  nicht quadratfrei, so ist ${\displaystyle c_{q}(n)=0}$ .

Bereits Ramanujan zeigte für einige wichtige Spezialfälle, dass man mit seinen Summen interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen kann. Dazu wird eine spezielle Art diskreter Fourier-Transformation für zahlentheoretische Funktionen des größten gemeinsamen Teilers eingeführt:^[5] Seien ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,\;q\in \mathbb {N} }$  und ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} }$  eine zahlentheoretische Funktion. Dann heißt

${\displaystyle F_{f}(n,q)=\sum _{a=1}^{q}f((a,q))\cdot e\left(-{\frac {a}{q}}\cdot n\right)}$ 

diskrete Fouriertransformierte von ${\displaystyle f((n,q))}$ . Für diese Fouriertransformierte gilt

1. ${\displaystyle F_{f}(n,q)=(f*c_{\bullet }(n))(q)=\sum _{d\mid q}f\left({\frac {q}{d}}\right)\cdot c_{d}(n)}$  und
2. ${\displaystyle f((n,q))={\frac {1}{q}}\sum _{a=1}^{q}F_{f}(a,q)e\left({\frac {a}{q}}\cdot n\right)}$  für die inverse Transformierte.^[5]

Bei diesen Transformationen müssen die bestimmenden Gleichungen durch die Bildung des größten gemeinsamen Teilers nur endlich viele Koeffizienten mit positivem Index berücksichtigen.

• Größter gemeinsamer Teiler:

${\displaystyle (n,q)=\sum _{a=1}^{q}e\left({\frac {a}{q}}\cdot n\right)\cdot \sum _{d\mid q}{\frac {c_{d}(a)}{d}}}$ 

Diese Darstellung erlaubt eine analytische Fortsetzung des größten gemeinsamen Teilers in der ersten Stelle ${\displaystyle n}$  auf ${\displaystyle n\in \mathbb {C} }$  als ganze Funktion.^[5]

• Eulersche φ-Funktion:

${\displaystyle \varphi (q)=\sum _{a=1}^{q}(a,q)\cdot e\left(-{\frac {a}{q}}\right)}$ 

Daraus folgen durch Aufteilen in Real- und Imaginärteil die trigonometrischen Relationen

${\displaystyle \sum _{a=1}^{q}(a,q)\cdot \cos \left(2\pi \cdot {\frac {a}{q}}\right)=\varphi (q)\quad }$  und ${\displaystyle \quad \sum _{a=1}^{q}(a,q)\cdot \sin \left(2\pi \cdot {\frac {a}{q}}\right)=0.}$ 

• Die Teilerfunktion ${\displaystyle \sigma _{k}}$  lässt sich für ${\displaystyle k>0}$  mittels Ramanujansummen explizit als Reihe darstellen:^[6]

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}}$ 

Die Berechnung der ersten Werte von ${\displaystyle c_{m}(n)}$  zeigt das Schwanken um den „Mittelwert“ (die durchschnittliche Größenordnung) ${\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}$ :

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}$ 

• Eine Art Orthogonalität für Ramanujansummen: Sei ${\displaystyle \eta (n)}$  die zahlentheoretische Einsfunktion, also das neutrale Element der Faltungsoperation mit

${\displaystyle \eta (n)={\begin{cases}1\quad (n=1)\\0\quad \left(n\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 1\rbrace \right).\end{cases}}}$ 

Dann folgt durch inverse Fouriertransformation für ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} \setminus \lbrace 0\rbrace ,q\in \mathbb {N} \colon }$ 

${\displaystyle \eta ((n,q))={\frac {1}{q}}\sum _{a=1}^{q}c_{q}(a)\cdot e\left({\frac {a}{q}}\cdot n\right)}$ 

Das bedeutet: Genau dann, wenn die rechtsstehende Summe nicht verschwindet, sind die Zahlen ${\displaystyle n}$  und ${\displaystyle q}$  teilerfremd. Die rechte Seite der Gleichung hat dann den Wert 1.

• Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1995, ISBN 3-540-58821-3. 
• Godfrey Harold Hardy: Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 1999, ISBN 978-0-8218-2023-0. 
• Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 5. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1980, ISBN 978-0-19-853171-5. 
• John Knopfmacher: Abstract Analytic Number Theory. Neue Auflage. Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-66344-2. 
• Srinivasa Ramanujan: On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 22, Nr. 15, 1918, S. 259–276. 
• Srinivasa Ramanujan: On Certain Arithmetical Functions. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 22, Nr. 9, 1916, S. 159–184. 
• Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 2000, ISBN 978-0-8218-2076-6. 
• Robert Charles Vaughan: The Hardy-Littlewood Method. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-57347-5. 
• Wolfgang Schramm: The Fourier Transform of functions of the Greatest Common Divisor. In: Integers: Electronical Journal of Combinatorical Number Theory. Band 8, Nr. 50, 2008 (emis.de [PDF]). 
• Ivan Matveevitch Vinogradov: The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Translated from the Russian and annotated by Klaus Friedrich Roth and Anne Ashley Davenport. New York, Dover 2004. 

1. ↑ Ramanujan (1916).
2. ↑ Vaughan (1997).
3. ↑ Brüdern (1995) S. 20.
4. ↑ Brüdern (1995) Lemma 1.3.1.
5. ↑ ^{a b c} Schramm (2008).
6. ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 130.