Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 14

Die Glattheit bedeutet im Fall eines Polynoms nach der Definition einfach, dass die partiellen Ableitungen im Punkt ${\displaystyle {}P}$ insgesamt eine surjektive Abbildung

${\displaystyle \left((\partial _{1}F)(P),\,\ldots ,\,(\partial _{1}F)(P)\right)\colon K^{n}\longrightarrow K}$

definieren. Dies ist genau dann der Fall, wenn mindestens ein Eintrag ${\displaystyle {}\neq 0}$ ist. Im lokalen Ring ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}}$ bedeutet dies, dass nicht alle partiellen Ableitungen im maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}}$ enthalten sind, was genau dann der Fall ist, wenn sie das Einheitsideal erzeugen.

Wir haben ein kommutatives Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {m}}&\\\downarrow &&\downarrow &\\R/I&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {m}}/IR_{\mathfrak {m}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

von ${\displaystyle {}R}$- Algebrahomomorphismen. Ein Element

${\displaystyle {}f\notin {\mathfrak {m}}\,}$

ist ein Einheit in ${\displaystyle {}R/I}$. Es gibt nämlich oberhalb von ${\displaystyle {}I+(f)}$ kein maximales Ideal, da es oberhalb von ${\displaystyle {}I}$ nur ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ gibt, und somit ist ${\displaystyle {}I+(f)=R}$. Daher gibt es ${\displaystyle {}a\in I}$ und ${\displaystyle {}b\in R}$ mit ${\displaystyle {}a+bf=1}$, was wiederum ${\displaystyle {}bf=1}$ in ${\displaystyle {}R/I}$ bedeutet. Somit gibt es nach Lemma Anhang 1.5 auch einen natürlichen ${\displaystyle {}R}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/I.}$

Daraus ergibt sich auch ein Algebrahomomorphismus

${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}/IR_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/I.}$

Die Hintereinanderschaltungen müssen dabei Isomorphismen sein.

Nach Voraussetzung ist

${\displaystyle {}J_{F}:={\left(\partial _{1}F,\ldots ,\partial _{n}F\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,}$

mit einem einzigen maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}}$ zu einem Punkt ${\displaystyle {}P\in K^{n}}$. Nach Lemma 14.4 gilt

${\displaystyle {}R/J_{F}=R_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}\,}$

und somit stimmt auch die ${\displaystyle {}K}$- Dimension überein.

Wir können direkt annehmen, dass ${\displaystyle {}P}$ ein singulärer Punkt der Hyperfläche ist. Dann ist

${\displaystyle {}J_{F}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,}$

im lokalen Ring ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}}$. Wenn ${\displaystyle {}P}$ eine isolierte Singularität, so gibt es ein ${\displaystyle {}g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)}$, ${\displaystyle {}g\notin {\mathfrak {m}}_{P}}$, in diesem Hyperflächenring derart, dass ${\displaystyle {}P}$ der einzige singuläre Punkt in ${\displaystyle {}D(g)}$. ist. Dies bedeutet nach Lemma 14.2, dass das Jacobiideal ${\displaystyle {}J_{F}}$ im Ring ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}}$ nur in dem einzigen maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}}$ enthalten ist. Dies bedeutet nach dem Hilbertschen Nullstellensatz, dass das Radikal des Jacobiideals gleich ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}}$ ist. Somit gibt es ein ${\displaystyle {}r\in \mathbb {N} }$ mit

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\subseteq J_{f}\,}$

in ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}}$. Dann gibt es einen surjektiven Algebrahomomorphismus

${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}/{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}/J_{F}}$

und die Endlichkeit links impliziert die Endlichkeit rechts.

Es sei umgekehrt

${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}}$

endlich als ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum. Dann hat ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}}$ die Krulldimension ${\displaystyle {}0}$ und in diesem lokalen Ring haben ${\displaystyle {}J_{F}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}}$ das gleiche Radikal, d.h. es gilt

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\subseteq J_{F}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,}$

mit einem gewissen ${\displaystyle {}r}$. Diese Beziehung kann man durch endlich viele Gleichungen ausdrücken, und damit gelten sie auch in ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}}$ für ein geeignetes ${\displaystyle {}g}$, das eine offene Umgebung von ${\displaystyle {}P}$ beschreibt. Dies bedeutet wiederum, dass auf ${\displaystyle {}D(g)}$ der Punkt ${\displaystyle {}P}$ der einzige singuläre Punkt ist.

Die Kettenregel, angewendet auf

${\displaystyle K^{n}{\stackrel {L}{\longrightarrow }}K^{m}{\stackrel {F}{\longrightarrow }}K,}$

liefert

${\displaystyle {}\left({\frac {\partial {\left(F\circ L\right)}}{\partial X_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial {\left(F\circ L\right)}}{\partial X_{n}}}\right)=\left({\frac {\partial F}{\partial Y_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial F}{\partial Y_{m}}}\right)\circ L\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\frac {\partial {\left(F\circ L\right)}}{\partial X_{i}}}\in {\left({\frac {\partial F}{\partial Y_{1}}}\circ L,\ldots ,{\frac {\partial F}{\partial Y_{m}}}\circ L\right)}=L(J_{F})\,}$

und

${\displaystyle {}J_{F\circ L}\subseteq L(J_{F})\,.}$

Wir setzen ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}$ in ${\displaystyle {}R}$. Die Abbildung

${\displaystyle R\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},\,g\longmapsto (g-g(0))}$

entspricht über die Identifizierung (siehe Lemma 13.5)

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}\cong K^{n}\,}$

der Ableitung, die wiederum in den Komponenten wegen Lemma 12.5 den partiellen Ableitungen von ${\displaystyle {}g}$ entsprechen. Somit ist die von

${\displaystyle \varphi \colon R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}},\,e_{j}\longmapsto g_{j},}$

induzierte Abbildung

${\displaystyle R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\cong K^{n}}$

durch ${\displaystyle {}e_{j}\mapsto \left({\frac {\partial g_{j}}{\partial X_{1}}}(0),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial X_{1}}}(0)\right)}$ gegeben.

Wenn die Determinante der Matrix ungleich ${\displaystyle {}0}$ ist, so ist diese Abbildung surjektiv. Wegen dem Lemma von Nakayama ist dann bereits ${\displaystyle {}\varphi }$ surjektiv. Wenn die Determinante gleich ${\displaystyle {}0}$ ist, so ist die Gesamtabbildung nicht surjektiv und dann ist auch die vordere Abbildung nicht surjektiv.

Wende Lemma 14.13 auf

${\displaystyle {}g_{j}:={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,}$

an.