Brahmagupta

Brahmagupta
Persona informo
ब्रह्मगुप्तः
Naskonomo	ब्रह्मगुप्तः
Naskiĝo	30-an de novembro 597 (0597-11-30) en Bhinmal
Morto	30-an de novembro 669 (0669-11-30) (72-jaraĝa) en Ujjain
Loĝloko	Bhinmal • Ujjain vd
Ŝtataneco	vd
Familio
Patro	Jishnugupta (en) vd
Profesio
Okupo	matematikisto astronomo vd
Laborkampo	Matematiko vd
Verkado
Verkoj	teoremo de Brahmagupta ❦ Brahmagupta matrix ❦ Brahmagupta's formula ❦ Brahmagupta–Fibonacci identity ❦ Interpola formulo de Brahmagupta ❦ Brahmagupta polynomial ❦ Brahmagupta's identity ❦ Khandakhadyaka ❦ Brāhmasphuṭasiddhānta ❦ Brahmagupta's problem vd
vd	Fonto: Vikidatumoj
v • d • r

Brahmagupta (sanskrite ब्रह्मगुप्त ; naskiĝis en 590 en Bhinmal, mortis en 665) estis barata matematikisto kaj astronomo.

Li estis la aŭtoro de du elstaraj verkoj pri matematiko kaj astronomio, nome Brāhmasphuṭasiddhānta (vasta teoria verko pri Brahmao) en 628) kaj Khaṇḍakhādyaka (pli praktika teksto). Estas kialoj por supozi, ke li devenas de Bhinmal.^[1] Brāhmasphuṭasiddhānta estas la unua teksto, en kiu la matematika plena nulo estas traktita kiel skribita cifero. Antaŭe en la 6-a jarcento antaŭ Kristo la babilonanoj jam simbolis la valoron de nulo per malplena signo.

Brahmagupta estis la unua matematikisto, kiu havigis regulojn por kalkuli pere de nulo. La tekstoj de Brahmagupta estis verkitaj en elipsaj versoj en Sanskrito, kiel estis komuna praktiko en hindia matematiko. Ĉar la tekstoj ne enhavas matematikajn pruvojn, ne estas klare, kiel la rezultoj de Brahmagupta estis derivitaj.^[2]

Brahmagupta, laŭ lia propra aserto, naskiĝis en 598 a.K. Li loĝis en Bhillamala (moderna Bhinmal) dum la regado de Vjagramuĥ, reĝo el la Ĉapa dinastio. Li estis la filo de Jiŝnugupta. Li estis ŝivaismano laŭ religio.^[3] Eĉ kvankam plej fakuloj opinias ke Brahmagupta naskiĝis en Bhillamala, ne estas konkluda pruvaro por tio. Tamen, li loĝis kaj laboris tie dum granda parto de sia vivo. Prithudaka Svamin, posta komentisto, nomigis lin Bhillamalaĉarja, nome la instruisto el Bhillamala.^[4] Sociologo G. S. Ghurye kredis ke li povus esti el la regiono Multano de la areo de Monto Abu.^[5]

Bhillamala, nomita pi-lo-mo-lo fare de Xuanzang, estis la ŝajna ĉefurbo de Gurjaradeso, nome la due plej granda regno de Okcidenta Barato, enhavanta la sudan Raĝastanon kaj nordan Guĝaraton en moderna Barato. Ĝi estis ankaŭ centro de lernado por matematiko kaj astronomio. Brahmagupta iĝis astronomo de la skolo Brahmapakŝa (unu el la kvar ĉefaj lernejoj de barata astronomio dum tiu periodo). Li studis la kvin tradiciajn sidhanthojn de barata astronomio same kiel la verkojn de aliaj astronomoj kiaj Arjabhata la 1-a, Latadeva, Pradjumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijajanandin kaj Viŝnuĉandra.^[6]

En la jaro 628, je aĝo de 30, li kompilis Brāhmasphuṭasiddhānta (la plibonigitan traktaĵon de Brahma), kiu supozeble estis reviziita versio de la jam ekzistanta siddhanta de la skolo Brahmapakŝa. Fakuloj asertas, ke li igis tiun ĉi revizion diversaspekte originala, aldoninte konsiderindan kvanton de nova materialo. La libro konsistas el 24 ĉapitroj kun 1008 versoj en metriko ārya. Grandparte en ĝi temas pri astronomio, sed ĝi enhavas ankaŭ ŝlosilajn ĉapitrojn pri matematiko, kiel pri algebro, geometrio, trigonometrio kaj algoritmoj, kio ŝajne enhavas novajn rigardojn fare de Brahmagupta mem.^[7][8][9]

Poste, Brahmagupta translokiĝis al Ujjain, kiu estis ankaŭ ĉefa centro por astronomio. Je la matura aĝo de 67, li komponis sian venontan bone konatan verkon Ĥanda-ĥādjaka, kiu estas praktika mangvidlibro de barata astronomio en la karana kategorio, kio signifas ke ĝi estas uzata de studentoj.^[10]

Brahmagupta vivis ĝis post 665 n.e. Ŝajnas, ke li mortis en Ujjain.

Ĉirkaŭ Brahmagupta formiĝis abundo de kritikaro direktita kontraŭ la verkaro de rivalaj astronomiistoj, kaj en lia Brahmasphutasiddhanta troviĝas unu el la plej fruaj atestitaj skismoj inter barataj matematikistoj. La divido estis unuarange pri la aplikado de matematiko al la fizika mondo, pli ol pri matematiko mem. En la kazo de Brahmagupta, la malkonsentoj ekaperis ĉefe el la elekto de astronomiaj parametroj kaj teorioj.^[11] Kritikoj de rivalaj teorioj ŝajne tra la unuaj dek astronomiaj ĉapitroj kaj la dekunua ĉapitro estas tute dediĉita al la kritikaro de tiuj teorioj, kvankam nekiu kritikaro aperis en la 12a kaj 18a ĉapitroj.^[11]

La historiisto pri scienco George Sarton nomigis lin "unu el la plej grandaj sciencistoj de sia raso kaj la plej granda el sia tempo."^[12] La matematikaj antaŭeniroj de Brahmagupta estis portitaj al plua etendo fare de Bhaskara la 1-a, linia praulo en Ujjain, kiu priskribis Brahmagupta kiel la ganaka-ĉakra-ĉudamani (la juvelo de la cirklo de matematikistoj). Prithudaka Svamin verkis komentariojn pri ambaŭ liaj verkoj, ŝanĝante malfacilajn versojn en pli simpla lingvaĵo kaj aldonante ilustraciojn. Lalla kaj Bhattotpala en la 8a kaj 9a jarcentoj verkis komentariojn en la Ĥanda-ĥadjaka.^[13] Pliaj komentarioj estis poste verkitaj en la 12a jarcento.^[14]

Kelkajn jardekojn post la morto de Brahmagupta, Sindo venis sub Araban Kalifujon en 712 n.e. Oni sendis ekspediciojn kontraŭ Gurjaradesa. La regno de Bhillamala ŝajn estis nuligita sed Ujjain per la Batalo de Raĝastano kontraŭstaris la atakojn. La kortego de la kalifo Al-Mansur (754-775) ricevis ambasadon el Sindo, inklude astrologon nomitan Kanaka, kiu alportis (eble parkere) astronomiajn tekstojn, inter kiuj tiuj de Brahmagupta. La tekstoj de Brahmagupta estis tradukitaj en araban fare de Muhammad al-Fazari, nome astronomo en la kortego de Al-Mansur laŭ la nomoj Sindhind kaj Araĥand. Tuja rezulto estis la disvastigo de la dekuma nombrosistemo uzita en la tekstoj. La matematikisto Al-Ĥorezmi (800-850 n.e.) verkis tekston nomita al-Jam ŭal-tafriq bi hisal-al-Hind (Aldono kaj Subtraho en Hindia Aritmetiko), kiu estis tradukita en Latino en la 13a jarcento kiel Algorithmi de numero indorum. Tra tiuj tekstoj, la dekuma nombrosistemo kaj la algoritmoj de Brahmagupta por aritmetiko ekdisvastiĝis tra la tuta mondo. Al-Ĥorezmi verkis ankaŭ sian propran version de Sindhind, superante la version de Al-Fazari kaj aligante Ptolemajn elementojn. Hindia astronomia materialo cirkulis amplekse dum jarcentoj, eĉ pasante al mezepokaj latinaj tekstoj.^[15][16][17]

La plej fama malkovro de Brahmagupta estis lia tiel nomita formulo de Brahmagupta por la ciklaj kvarlateroj. Brahmagupta kreis proksimuman kaj ekzaktan formulojn por kalkuli la areon de ajna cikla kvarlatero surbaze de la longeco de ĝiaj flankoj: La proksimuma areo estas pla produkto de la duono de la sumo de la flankoj kaj vidalvidaj flankoj de triangulo kaj kvarlatero. La ekzakta areo estas la kvadratradiko de la produkto de la duono de la flankoj minus ĉiu flanko de la kvarangulo.

Se do estas donitaj la longecoj p, q, r kaj s de cilkla kvarlatero, la proksimuma areo estas ${\displaystyle ({\tfrac {p+r}{2}})({\tfrac {q+s}{2}})}$ dum, lasante ${\displaystyle t={\tfrac {p+q+r+s}{2}}}$ la ekzakta areo estas

${\displaystyle {\sqrt {(t-p)(t-q)(t-r)(t-s)}}.}$

Kvankam Brahmagupta ne klare indikas, ke la kvarlateroj estas ciklaj, el lia formulo evidentiĝas, ke temas pri ciklaj. La formulo de Herono estas speciala kazo de la formulo de Brahmagupta, kiun oni ricevas, se oni donas al unu el la flankoj la valoron 0.

Brahmagupta trovis la solvon de la ĝenerala lineara ekvacio en la dekoka ĉapitro de Brahmasphuṭasiddhānta,

La diferenco inter rupas, se invertitaj kaj dividitaj por la diferenco de [koeficientoj] de [nekonataĵoj], estas la nekonato en la ekvacio. La rupas estas [subtrahitaj el la flanko] sub tio el kio la kvadrato kaj la nekonato estas subtrakitaj.^[18]

kio estas solvo por la ekvacio bx + c = dx + e en kiu rupas referencas al la konstantoj c kaj e. La solvo donita estas ekvivalento al x = ^{e − c}⁄_{b − d}.

Li plue donis du ekvivalentajn solvojn al la ĝenerala kvadrata ekvacio

18.44. Malpliigi per la meza [nombro] la kvadratan radikon de la rupas multobligite kvar fojojn la kvadraton kaj pliigite per la kvadrato de la meza [nombro]; dividi la ceteron per dufoje la kvadrato. [La rezulto estas] la meza [nombro].
18.45. Ajna kvadrata radiko de rupas multobligita per la kvadrato [kaj] pliigita per la kvadrato de la duono de la nekonato, malpliigita per la duono de la nekonato [kaj] dividas [la ceteron] per ĝia kvadrato. [La rezulto estas] la nekonato.^[18]

Kiu estas, respektive, solvoj por la ekvacio ax² + bx = c ekvivalenta al,

${\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

kaj

${\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}}$

Li pluigis por solvi sistemojn de samtempaj nedeterminitaj ekvacioj asertante, ke la dezirita variablo devas unue esti izolata, kaj poste la ekvacio devas esti dividita per la dezirata koeficiento de la variablo. Precize, li rekomendis uzadi "la pulvigilon" por solvi ekvaciojn kun pluraj nekonatoj.

18.51. Subtrahi la kolorojn diferencaj disde la unua koloro. [La cetero] dividita per la unua [kolora koeficiento] estas la mezuro de la unua. [Terminoj] du por du [estas] konsiderataj [se reduktitaj] al similaj dividantoj, [kaj tiel plu] ripete. Se estas multaj [koloroj], la pulvigilo [estas uzenda].^[18]

Kiel ĉe la algebro de Diofanto, la algebro de Brahmagupta estas sinkopa. Aldono estis indikita metante la nombrojn vidalvide, subtraho metante punkton super la subtrahendaĵo, kaj divido metante la dividanton sub la dividendo, simile al la notacio sen la strio. Multiplikado, evoluado, kaj nekonataj kvantoj estis reprezentataj pere de mallongigoj de taŭgaj terminoj.^[19] La etendo de la greka influo sur tiu sinkopa historio de algebro, se eble, ne estas konata kaj eble kaj la greka kaj la hindia sinkopo povus deriviĝi el komuna Babilonia fonto.^[19]

La kvar fundamentaj operacioj (aldono, subtraho, multobligo, kaj divido) estis konataj de multaj kulturoj antaŭ Brahmagupta. Tiu nuna sistemo estas bazita sur la Hind–araba nombrosistemo kaj por la unua fojo aperis en la Brāhmasphuṭasiddhānta. Brahmagupta priskribis multobigon en la jena maniero:

La multobliganto estas ripetita kiel ŝnuro por gregaro, ĉar ofte estas integrantaj partoj en la multobliganto kaj estas ripete multobligita per ili kaj la produktoj estas aldonitaj kune. Ĝi estas multobligo. Aŭ la multobliganto estas ripetita tiom da fojoj kiom estas komponantaj partoj en la multobliganto.^[20]

Hindia aritmetiko estis konata en mezepoka Eŭropo kiel modus Indorum kun la signifo "metodo de hindianoj". En Brāhmasphuṭasiddhānta, oni priskribas kvar metodojn por multobligo, kiel gomūtrikā, pri kiu oni diras, ke ĝi estas proksima al la nuntempaj metodoj.^[21] En la komenco de la ĉapitro dekdua de lia Brāhmasphuṭasiddhānta, titolita "Kalkulado", li ankaŭ detaligas operaciojn pri frakcioj. Oni esperas, ke la leganto konas la bazajn aritmetikajn operaciojn eĉ kalkuli kvadratajn radikojn, kvankam li klarigas kiel trovi la kubon kaj la kuban radikon de entjero kaj poste havigas regulojn kiuj faciligas la komputadon de kvadratoj kaj de kvadrataj radikoj. Li poste havigas regulojn por trakti kvin tipojn de kombinado de frakcioj: ^a⁄_c + ^b⁄_c; ^a⁄_c × ^b⁄_d; ^a⁄₁ + ^b⁄_d; ^a⁄_c + ^b⁄_d × ^a⁄_c = ^{a(d + b)}⁄_cd; kaj ^a⁄_c − ^b⁄_d × ^a⁄_c = ^{a(d − b)}⁄_cd.^[22]

Brahmagupta tiam pluas al havigo de la sumo de kvadratoj kaj kuboj de la unuaj n entjeroj.

12.20. La sumo de la kvadratoj estas tiu [sumo] multobliginte dufoje la [nombron de] ŝtupo[j] pliigite per unu [kaj] dividite per tri. La sumo de la kuboj estas la kvadrato de tiu [sumo]. Piloj de tiuj kun identaj buloj [povas esti komputitaj].^[23]

Tie ĉi Brahmagupta trovis la rezultoj laŭ terminoj de la sumo de la unuaj n entjeroj, pli ol laŭ terminoj de n kiel en la moderna praktiko.^[24]

Li havigas la sumon de la kvadratoj de la unuaj n naturaj nombroj kiel ^{n(n + 1)(2n + 1)}⁄₆ kaj la sumon de la kuboj de la unuaj n naturaj nombroj kiel (^{n(n + 1)}⁄₂)2
.

La verko de Brahmagupta nome Brahmasphuṭasiddhānta estas la unua libro kiu havigas regulojn por aritmetika manipulado kiu aplikeblas al nulo kaj al negativaj nombroj.^[25] La Brāhmasphuṭasiddhānta estas la plej frua konata teksto kiu traktas nulon kiel nombro per si mem, anstataŭ kiel simple eja cifero kiu reprezentu alian nombron kiel faris la babilonianoj aŭ kiel simbolo por manko de kvanto kiel faris Ptolemeo kaj la romianoj. En la dekoka ĉapitro de sia Brāhmasphuṭasiddhānta, Brahmagupta priskribas operaciojn pri negativaj nombroj. Li unue priskribas aldonon kaj subtrahon,

18.30. [La sumo] de du pozitivoj estas pozitivoj, de du negativoj estas negativa; de pozitivo plus negativo [la sumo] estas ilia diferenco; se ili estas egalaj, ĝi estas nulo. La sumo de negativo kaj nulo estas negativa, [tiu] de pozitivo kaj nulo estas pozitivoj, [kaj tiu] de du nuloj estas nulo.

[...]

18.32. Negativo minus nulo estas negativo, pozitivo [minus nulo] estas pozitivo; nulo [minus nulo] estas nulo. Kiam pozitivo estas subtrakita el negativo aŭ negativo el pozitivo, tiam ĝi estu aldonita.^[18]

Li pluas al priskribo de multobligo,

18.33. La produkto de negativo kaj pozitivo estas negativo, de du negativoj estas pozitivo, kaj de pozitivoj [estas] pozitivo; la produkto de nulo kaj negativo, de nulo kaj pozitivo, aŭ de du nuloj estas nulo.^[18]

Sed lia priskribo de divido per nulo diferencas el onia moderna kompreno:

18.34. Pozitivo dividita per pozitivo aŭ negativo dividita per negativo estas pozitivo; nulo dividita per nuño estas nulo; pozitivo dividita per negativo estas negativo; [ankaŭ] negativo dividita per pozitivo estas negativo.
18.35. Negativo aŭ pozitivo dividita per nulo havas tiun [nulon] kiel sia dividanto, aŭ nulo dividita per negativo aŭ pozitivo [havas tiun negativon aŭ pozitivon kiel sia dividanto]. La kvadrato de negativo aŭ pozitivo estas pozitivo; [la kvadrato] de nulo estas nulo. Tiu el kiu [la kvadrato] estas la kvadrato estas [ĝia] kvadrata radiko.^[18]

Tie Brahmagupta asertas, ke ⁰⁄₀ = 0 kaj pri la demando ĉu ^a⁄₀ kie a ≠ 0 li ne kompromitas sin.^[26] Liaj reguloj por aritmetiko pri negativaj nombroj kaj nulo li estas tre proksima al la moderna kompreno, escepte ke en moderna matematiko divido per nulo estis lasita "nedifinita".

En la dekdua ĉapitro de sia Brāhmasphuṭasiddhānta, Brahmagupta havigas formulon utilan por generadi Pitagorajn triopojn:

12.39. La alto de monto multobligita per difnita multobligilo estas la distanco al urbo; ĝi ne estu nuligita. Kiam ĝi estas dividita per la multobligo pliigita per du ĝi estas la salto de unu el du kiuj faras la saman vojaĝon.^[27]

Aŭ alivorte se d = ^mx⁄_{x + 2}, tiam vojaĝanto kiu "saltas" vertikale supren distancon d el la montopinto de alteco m, kaj poste veturas rekte al urbo laŭ horizontala distanco mx el la bazo de la monto, li veturas samdistance kiel unu kiu descendas vertikale malsupren la monton kaj poste veturas laŭlonge de horizontalo ĝis la urbo.^[27] Asertita geometrie, tio diras, ke se ortangula triangulo havas bazon de longo a = mx kaj alteco de longo b = m + d, tiam la longo, c, de ĝia hipotenuzo estas farita de c = m(1 + x) − d. Kaj tial elementa algebra manipulado montras, ke a² + b² = c² kiam d havas la asertitan valoron. Ankaŭ, se m kaj x estas racionala, tial estas d, a, b kaj c. Pitagora triopo povas esti akirita el a, b kaj c multobligante ĉiujn el ili pere de la plej malgranda komuna oblo de iliaj denominatoroj.

Brahmagupta pluis por havigi ripetan rilaton por generadi solvojn al precizaj instancoj de Diofantaj analizoj de dua grado kiel Nx² + 1 = y² (nomita Ekvacio de Pell, nome de John Pell) uzante eŭklidan algoritmon. La Eŭklidan algoritmon li konis kiel la "pulvigilo" ĉar ĝi disrompas nombrojn en pli malgrandajn pecojn.^[28]

La naturo de kvadratoj:
18.64. [Metu] dufoje la kvadratan radikon de difinita kvadrato per multobligo kaj pliigita aŭ malpliigita per hazarda [nombro]. La produto de la unua [paro], multobligita pere de la multobligo, kun la produto de la lasta [paro], estas la lasta komputita.
18.65. La sumo de la fulmaj produtoj estas la unua. La aldono estas egala al la produto de la aldonantoj. La du kvadrataj radikoj, dividitaj per la aldonanto aŭ per la subtrahanto, estas la aldonaj rupas.^[18]

La ŝlosilo al tiu solvo estis la identeco,^[29]

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}$

kio estas ĝeneraligo de identeco kiun malkovris Diofanto,

${\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}$

Uzadi sian identecon kaj la fakto ke se (x₁, y₁) kaj (x₂, y₂) estas solvoj al la ekvacioj x² − Ny² = k₁ and x² − Ny² = k₂, respektive, tiam (x₁x₂ + Ny₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁) estas solvo al x² − Ny² = k₁k₂, li kapablis trovi integralajn solvojn al la ekvacio de Pell pere de serio de ekvacioj de la formulo x² − Ny² = k_i. Brahmagupta ne kapablis apliki sian solvon uniforme por ĉiuj eblaj valoroj de N, anstataŭ li estis la nura kapabla montri ke se x² − Ny² = k havas entjeran solvon por k = ±1, ±2, aŭ ±4, tiam x² − Ny² = 1 havas solvon. La solvo de la ĝenerala ekvacio de Pell devis atendi ĝis Baskara la 2-a ĉirkaŭ la jaro 1150 n.e.^[29]

La plej fama atingo de Brahmagupta en geometrio estas lia formulo por ciklaj kvarlateroj. Difinita la longojn de la flankoj de ajna cikla kvarlatero, Brahmagupta havigis proksimuman kaj precizan formulon por la areo de la figuro,

12.21. La proksimuma areo estas la produto de la duonoj de la sumoj de la flankoj kaj malaj flankoj de triangulo kaj kvarlatero. La akurata [areo] estas la kvadrata radiko el la produto de la duonoj de la sumoj de la flankoj malpliigitaj per [ĉiu] flanko de la kvarlatero.^[23]

Tiel difinitaj la longoj p, q, r kaj s de cikla kvarlatero, la proksimuma areo estas ^{p + r}⁄₂ · ^{q + s}⁄₂ dum, lasante t = ^{p + q + r + s}⁄₂, la preciza areo estas

(t − p)(t − q)(t − r)(t − s).

Kvankam Brahmagupta ne klare asertas, ke tiuj kvarlateroj estas ciklaj, evidentas el liaj reguloj ke tiu estas la kazo.^[30] La Formulo de Herono estas speciala kazo de tiu formulo kaj ĝi povas esti derivita fiksante unu el la flankoj kiel egala al nulo.

Brahmagupta dediĉis esencan parton de sia laboro al geometrio. Unu teoremo havigas la longojn de du segmentoj de la bazo de triangulo estas dividitajn per ĝia altitudo:

12.22. La bazo malpliigita kaj pliigita per la diferenco inter la kvadratoj de la flankoj dividita per la bazo; se dividitaj per du ili estas la veraj segmentoj. La perpendikulara [altitudo] estas la kvadrata radiko el la kvadrato de flanko malpliigita per la kvadrato de ĝia segmento.^[23]

Tiel la longoj de la du segmentoj estas ¹⁄₂(b ± ^{c2 − a2}⁄_b).

Li plue havigas teoremo pri racionalaj trianguloj. Triangulo kun racionalaj flankoj a, b, c kaj racionala areo estas tia:

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}+v\right),\ \ b={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{w}}+w\right),\ \ c={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}{w}}-w\right)}$

por kelkaj racionalaj nombroj u, v, kaj w.^[31]

Brahmagupta pluas,

12.23. La kvadrata radiko de la sumo de du produtoj de flankoj kaj malaj flankoj de ne-malegala kvarlatero estas la diagonalo. La kvadrato de la diagonalo estas malpliigita per la kvadrato de la duono de la sumo de la bazo kaj la pinto; la kvadrata radiko estas la perpendikularaj [altitudoj].^[23]

Tiel, en "ne-malegala" cikla kvarlatero (tio estas, izocela trapezo), nome la longo de ĉiu diagonalo estas √pr + qs.

Li plue havigas formulojn por la longoj kaj areoj de geometriaj figuroj, kiaj la ĉirkaŭradiusoj de izocela trapezo kaj de skalena kvarlatero, kaj la longoj de diagonaloj en skalena cikla kvarlatero. Tio kondukis al la fama teoremo de Brahmagupta,

12.30–31. Imagante du triangulojn en [cikla kvarlatero] kun malegalaj flankoj, la du diagonaloj estas la du bazoj. Iliaj du segmentoj estas aparte la supra kaj malsupra segmentoj [formitaj] ĉe la intersekco de la diagonaloj. La du [malsupraj segmentoj] de du diagonaloj estas du flankoj en triangulo; la bazo [de la kvarlatero estas la bazo de la triangulo]. Ĝia perpendikularo estas la malsupra parto de la [centra] perpendikularo; la supra parto de la [centra] perpendikularo estas la duono de la sumo de la perpendikularaj [flankoj] malpliiĝita per la malsupra [parto de la centra perpendikularo].^[23]

En la verso 40, li havigas valorojn de π,

12.40. La diametro kaj la kvadrato de la radiuso [ĉiu] multobligita per tri estas [respektive] la praktika cirklo kaj la areo [de cirklo]. La akurataj [valoroj] estas la kvadrataj radikoj el la kvadratoj de tiuj du multobligitaj per dek.^[23]

Tiel Brahmagupta uzas 3 kiel "praktika" valoro de π, kaj ${\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3.1622\ldots }$ kiel "akurata" valoro de π, kun eraro malpli ol 1%.

En kelkaj el la versoj antaŭ la verso 40, Brahmagupta havigas konstruaĵojn de variaj figuroj kun hazardaj flankoj. Li esence manipulis ortangulajn triangulojn por produkti izocelajn triangulojn, skalenajn triangulojn, ortangulojn, izocelajn trapezojn, izocelajn trapezojn kun tri egalaj flankoj, kaj skalena cikla kvarlatero.

Haviginte la valoron de pi, li traktas kun la geometrio de ebenaj figuroj kaj solidoj, kaj same trovas volumojn kaj areojn (aŭ malplenajn spacojn elfositajn el solidoj). Li trovas la volumon de ortangulaj prismoj, piramidoj, kaj la trunkon de kvadrata piramido. Li plue trovas la averaĝan profundon de serio de truoj. Por la volumo de trunko de piramido, li donas la "pragmatan" valoron tiom fojojn kiel la profundo de la kvadrato de la meza de la bordoj de la pinta kaj baza flankoj, kaj li donas la "supraĵan" volumon tiom fojojn kiel la profundo de ilia meza areo.^[32]

• Avari, Burjor (2013), Islamic Civilization in South Asia: A history of Muslim power and presence in the Indian subcontinent, Routledge, ISBN 978-0-415-58061-8
• Bose, D. M.; Sen, S. N.; Subbarayappa, B. V. (1971), A Concise History of Science in India, New Delhi: Indian National Academy of Science, pp. 95–97
• Bhattacharyya, R. K. (2011), "Brahmagupta: The Ancient Indian Mathematician", in B. S. Yadav; Man Mohan, Ancient Indian Leaps into Mathematics, Springer Science & Business Media, pp. 185–192, ISBN 978-0-8176-4695-0
• Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-54397-7
• Cooke, Roger (1997), The History of Mathematics: A Brief Course, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-18082-3
• Gupta, Radha Charan (2008), Selin, Helaine, ed., Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, pp. 162–163, ISBN 978-1-4020-4559-2, ISBN 1-4020-4425-9
• Joseph, George G. (2000), The Crest of the Peacock, Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8
• O'Leary, De Lacy (2001) [first published 1948], How Greek Science Passed to the Arabs (2nd ed.), Goodword Books, ISBN 8187570245
• Plofker, Kim (2007), "Mathematics in India", The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
• Stillwell, John (2004), Mathematics and its History (Second ed.), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 0-387-95336-1
• Hockey, Thomas, eld. (2007), "Brahmagupta", Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Science & Business Media, p. 165, ISBN 0387304002

• Seturo Ikeyama (2003). Brāhmasphuṭasiddhānta of Brahmagupta with Commentary of Pṛthūdhaka, kritike eldonita kun anglaj traduko kaj notoj. INSA.
• David Pingree. Census of the Exact Sciences in Sanskrit (CESS). American Philosophical Society. A4, p. 254.
• Shashi S. Sharma. Mathematics & Astronomers of Ancient India. Pitambar Publishing. [3] Alirita la 8an de Majo 2016.