Determinanto

En lineara algebro, determinanto estas funkcio, kiu asociigas skalaron det(A) al ĉiu n×n kvadrata matrico A. La fundamenta geometria signifo de determinanto estas kiel la skala faktoro por volumeno se A estas konsiderita kiel lineara transformo.

Por ĉiu pozitiva entjero n, estas unika determinanta funkcio por la n×n matricoj super ĉiu komuta ringo R. Aparte, ĉi tiu funkcio ekzistas kiam R estas la kampo de reelaj aŭ kompleksaj nombroj.

Determinanto de A estas ankaŭ iam skribita kiel |A|, sed ĉi tiu skribmaniero estas ambigua: ĝi estas ankaŭ uzata por matricaj normoj, kaj por la kvadrata radiko de ${\displaystyle {AA}^{*}}$.

Estu ${\displaystyle A=(A_{i,j})\,}$ kvadrata matrico.

Se ${\displaystyle A}$ estas 1-per-1 matrico, tiam ${\displaystyle \det(A)=A_{1,1}}$ .

Se ${\displaystyle A}$ estas 2-per-2 matrico, tiam ${\displaystyle \det(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}}$ .

Por 3-per-3 matrico A, la formulo estas pli komplika:

${\displaystyle {\begin{matrix}\det(A)&=&A_{1,1}A_{2,2}A_{3,3}+A_{1,3}A_{2,1}A_{3,2}+A_{1,2}A_{2,3}A_{3,1}\\&&-A_{1,3}A_{2,2}A_{3,1}-A_{1,1}A_{2,3}A_{3,2}-A_{1,2}A_{2,1}A_{3,3}.\end{matrix}}\,}$

Por ĝenerala n-per-n matrico, la determinanto estis difinita per formulo de Leibniz:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{i,\sigma (i)}}$

La sumo estas komputita super ĉiuj permutoj ${\displaystyle \sigma }$ de nombroj {1,2,...,n} kaj ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ estas signumo de la permuto ${\displaystyle \sigma }$: =+1 se ${\displaystyle \sigma }$ estas para permuto kaj =−1 se ĝi estas nepara.

Ĉi tiu formulo enhavas ${\displaystyle n!\ }$ (faktorialon) da termoj, kaj pro tio uzi ĝin por kalkuli determinantojn pri granda ${\displaystyle n\ }$ maloportunas.

Determinanto povas esti komputita kun la gaŭsaj algoritmaj uzante jenajn regulojn:

• Se ${\displaystyle A}$ estas triangula matrico, kio estas ${\displaystyle A_{i,j}=0\,}$ ĉiam ${\displaystyle i>j}$, tiam ${\displaystyle \det(A)=A_{1,1}A_{2,2}\cdots A_{n,n}.\,}$
• Se ${\displaystyle B}$ rezultas de ${\displaystyle A}$ per interŝanĝo de du linioj aŭ de du kolumnoj, tiam ${\displaystyle \det(B)=-\det(A).\,}$
• Se ${\displaystyle B}$ rezultas de ${\displaystyle A}$ per multipliko de unu linio aŭ de unu kolumno kun la nombro ${\displaystyle c}$, tiam ${\displaystyle \det(B)=c\,\det(A).\,}$
• Se ${\displaystyle B}$ rezultas de ${\displaystyle A}$ per adicio al linio de unu alia linio multiplikita per iu koeficiento, aŭ adicio al kolumno de unu alia kolumno multiplikita per iu koeficiento, tiam ${\displaystyle \det(B)=\det(A).\,}$

Uzante la lastajn tri regulojn eblas konverti ĉiun matricon en triangulan matricon, tiam eblas uzi la unua regulo por komputi ĝian determinanton.

La determinanto estas multiplika mapo en la senco ke

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)\,}$ por ĉiuj n-per-n matricoj ${\displaystyle A}$ kaj ${\displaystyle B}$.

Ĉi tiu estas ĝeneraligita per la Koŝio-Binet-a formulo al produktoj de ne-kvadrataj matricoj.

Estas facile vidi ke, se ${\displaystyle I_{n}\ }$ estas la ${\displaystyle n\ }$-per-${\displaystyle n\ }$ identa matrico, ${\displaystyle \det(rI_{n})=r^{n}\ \,}$ kaj tial:

${\displaystyle \det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,}$, por ĉiuj ${\displaystyle n}$-per-${\displaystyle n}$ matricoj ${\displaystyle A}$ kaj ĉiuj skalaroj ${\displaystyle r\ }$.

Matrico super komuta ringo R estas inversigebla, se kaj nur se ĝia determinanto estas unuo en R.

Aparte, se A estas matrico super kampo K, kiel la realaj nombroj aŭ kompleksaj nombroj, tiam A estas inversigebla se kaj nur se det_(A) estas ne-nulo. En ĉi tiu okazo, ni havas

${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}\ .\,}$

Esprimita malsame: la vektoroj v₁,...,v_n en Rⁿ formas bazon, se kaj nur se det(v₁,...,v_n) estas ne-nulo.

Matrico kaj ĝia transpono havas la saman determinanton:

${\displaystyle \det(A^{\top })=\det(A).\,}$

La determinanto de kompleksa matrico kaj de ĝia konjugita transpono estas konjugita:

${\displaystyle \det(A^{*})=\det(A)^{*}.\,}$

Notu ke konjugita transpono de matrico estas identa al la transpono pri reela matrico.

Se ${\displaystyle A}$ kaj ${\displaystyle B}$ estas similaj, tio estas, se tie ekzistas inversigebla matrico ${\displaystyle X}$ , tia ke ${\displaystyle A}$ = ${\displaystyle X^{-1}BX}$ , tiam pro la multiplika propraĵo,

${\displaystyle \det(A)=\det(B)\,.}$

• Rango de matrico
• Ejgeno