Vektora rapido

Fizika grando
Nomo	Rapido
Formula simbolo	v
Derivita de	longo, tempo
Unuo-sistemo Unuo Dimensio SI m·s−1 longo/tempo CGS cm·s−1 longo/tempo Planck c c Usone-angle mejlo/horo
Vidu ankaŭ: Angula rapido
v • d • r

Vektora rapido aŭ vektorrapido estas baza eco de fiziko. Ĝi estas la ŝanĝo de pozicio tra tempo (derivaĵo de pozicio). Skalara aŭ ordinara rapido estas speciala okazo de vektora rapido, kiam nur unu dimensio estas konsiderata.

En la ĉiutaga lingvo oni ofte konsideras nur la dimension, laŭ kiu (iumomente) moviĝas iu objekto, kaj indikas nur skalaran rapidon. Ekzemple oni diras, ke trajno (je certa momento) veturas per 100 km/h (= 27,78 m/s).

Aldone al ĉi tiu rapido skalara, direkto estas bezonataj por esprimi vektoran rapidon; ĝi estas vektora kvanto. En la Sistemo Internacia de Unuoj, oni mezuras la normon aŭ la komponantojn de la rapido per metroj sekunde: (m/s) aŭ ms⁻¹. La averaĝa vektorrapido tra tempa intervalo Δt estas kalkulebla per ĉi tiu formulo:

${\displaystyle {\bar {\mathbf {v} }}={\frac {\Delta \mathbf {x} }{\Delta t}}}$

La vektora rapido en certa punkto rezultas el diferenciala kvociento:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} \,t}}=\mathbf {x} ^{.}}$

Ŝanĝo de vektora rapido tra tempo (la dua derivaĵo de pozicio) estas konata kiel akcelo. Ankaŭ ĝi estas vektora:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} \,t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {x} }{\mathrm {d} \,t^{2}}}=\mathbf {x} ^{..}}$

En n-dimensia spaco eblas disigi vektoran rapidon al n komponantoj, laŭ iu sistemo de n koordinatoj. Ekzemple en ebenaĵo eblas disigi la vektoren rapidon de aŭto al komponanto eost-uesta kaj komponanto sud-norda. Aŭto, kiu veturas eost-nord-eosten (ENE, angulo 67,5°) per rapido de 10 m/s, veturas samtempe per proksimume 9,24 m/s eosten kaj per 3,83 m/s norden.

Tia disigo ofte faciligas la kalkuladon de rapidoj. Ekzemple la gravita akcelo efikas nur al la vertikala rapido kaj tute ne influas horizontalan; tial oni emas konsideri la vertikalan rapidon de korpoj aparte.

Jam la greka filozofo Aristotelo studis la fenomenon de moviĝo kaj la rapidon. Kontraŭe al la moderna scio li supozis, ke la fala rapido de objektoj estas proporcia al ilia pezo, kaj ke moviĝo (kínēsis) ĉiam emas ĉesi, escepte ĉe vivaĵoj.

Zenono el Elajo jam atentigis, ke rapido estas io alia ol variaj pozicioj; alie moviĝo ne eblus. Por ilustri tion li elpensis diversajn paradoksojn, ekzemple tiun de fluganta sago, kiu en ĉiu momento havas tute difinitan pozicion, do ne povas moviĝi.

Nur en la renesanco komenciĝis provoj distingi moviĝon disde efikantaj fortoj (froto, gravito). Galilejo difinis moviĝon surbaze de distanco kaj tempo^[1] kaj per eksperimento pruvis, ke malsame pezaj objektoj falas same rapide, se ilia pezo sufiĉas por neglekti la aeran froton. Isaac Newton trovis la leĝon, ke rapido restas konstanta, se ne efikas ekstera forto, kaj tiel liberigis la nocion de rapido disde la Tero kiel referenc-sistemo. La astronomo Ole Rømer mezuris la rapidon de la lumo kaj tiel pruvis, ke ĝi estas finia. La evoluigo de la diferenciala kalkulo de Newton kaj Gottfried Leibniz ebligis matematike priskribi la koncepton de rapido kaj tiel solvi la paradoksojn de Zenono.

James Clerk Maxwell sukcesis matematike priskribi la efikon de moviĝo al elektromagnetaj kampoj. Albert Einstein en sia speciala teorio de relativeco plu esploris la sekvojn de la relativeco de rapido kaj trovis limojn al ĝia traktado en la klasika fiziko. El lia teorio sekvas ankaŭ, ke neniu korpo povas transiri la rapidon de la lumo.

En la 19-a jarcento la fiziko sukcesis redukti la fenomenon de temperaturo al rapido, nome la rapido de la moviĝoj de molekuloj. En la 20-a jarcento la kvantuma mekaniko tamen montris, ke nek la klasika nek la relativeca priskribo de rapido (aŭ de la pozicio de partiklo) taŭgas por tre malgrandaj distancoj, ekzemple ene de atomo. Anstataŭe servas ondfunkcioj, kiujn regas la ekvacio de Schrödinger. Sed ankaŭ en tiu kvantum-fizika modelo la konceptoj de spaco kaj tempo, do ankaŭ de rapido, restas esence validaj.

Rapido ne estas absoluta grando; ĝi estas mezurebla nur inter du objektoj aŭ sistemoj. Pli precize, ĉiu mezurado de rapido devas rilati al iu referenca sistemo. En la ĉiutaga vivo tiu sistemo ordinare estas iu firma punkto sur la tera surfaco; oni do mezuras rapidon relativan al la tersurfaco.

Ĉar rapido estas vektora, ankaŭ la referenca sistemo devas indiki ne nur punkton, sed ankaŭ referencan koordinatan sistemon por distingi diversajn direktojn de moviĝo.

Por la klasika mekaniko ne gravas, relative al kiu el du punktoj oni mezuras rapidon, kondiĉe ke la du punktoj havu inter si konstantan rapidon (do ne havu akcelon inter si). En tiu okazo la relativaj rapidoj adiciiĝas. Supozu, ke ni mezuras la rapidon de iu objekto C relative al ĉiu el du punktoj A kaj B; tiam validas:

${\displaystyle \mathbf {v} _{CA}=\mathbf {v} _{CB}+\mathbf {v} _{BA}}$

Tiu simpla adicieco ne estas ekzakte vera laŭ la speciala relativeco; por la moviĝoj en homa ĉirkaŭaĵo ĝi tamen estas sufiĉe preciza, ĉar tie la relativaj rapidoj estas multe malsuperaj al la lumrapido. Sed ekzemple en astronomio estas grava diferenco inter la klasika kaj la relativeca efikoj de Doppler, kiu ŝanĝas la ondolongojn (= la koloron) de la lumo de rapide moviĝantaj kosmaj objektoj^[2].

La dua plej simpla situacio pri moviĝanta korpo, post tiu de konstanta rapido, estas tiu de konstanta akcelo. Ĝi estas sufiĉe grava, ĉar al ĉiuj objektoj surteraj efikas (pli-malpli) konstanta akcelo, efikata de la tera gravito. Ĝi havas valoron de proksimume 9,81 m/s⁻², do efikas samkiel akcela forto de 9,81 N.

Tia konstanta akcelo a (mal-)altigas la rapidon de korpo en ĉiu egala tempounuo je la sama valoro; se do komence de certa tempo Δt la korpo havas komencan rapidon v_k, tiam la fina rapido v_f post tiu tempo estas

${\displaystyle v_{f}=v_{k}+a\cdot \Delta t}$

En tiu tempo la objekto iras jenan distancon d, same kvazaŭ ĝi konstante havus la mezan rapidon:

${\displaystyle d={\frac {v_{k}+v_{f}}{2}}\cdot \Delta t=v_{k}\cdot \Delta t+{\frac {a}{2}}(\Delta t)^{2}}$

Se la tempo de la akcelado ne estas konata, sed la irata distanco d, la fina rapido v_f kaj a akcela daŭro estas jene kalkuleblaj el la komenca:

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{k}^{2}+2\cdot a\cdot d}$

${\displaystyle \Rightarrow ~v_{f}={\sqrt {v_{k}^{2}+2\cdot a\cdot d}}}$

${\displaystyle \Delta t={\frac {v_{f}-v_{k}}{a}}}$

Se eblas elekti la referenc-sistemon tiel, ke la komenca rapido v_k estas nula, la formuloj simpliĝas konsiderinde. Ekzemple la referenc-sistemon de ŝtono ĵetita aeren eblas meti tiel, ke la tempo estas mezurata ekde kiam ĝi atingas la plej altan punkton (do havas vertikalan rapidon de 0), kaj la nulon de la spacaj koordinatoj eblas meti en tiun punkton. Tiel facile rezultas, ke la ŝtono sekvas (senkonsidere de la aera froto) parabolon^[3].

La gravita akcelo de planedo aŭ alia astro ne estas konstanta, kiam objekto konsiderinde malproksimiĝas de ĝi; la gravita forto tiam malkreskas laŭ la inverso de la kvadrato de la distanco (gravita leĝo de Neŭtono). Tio ebligas al objekto atingi tian rapidon, ke ĝi orbitas ĉirkaŭ la astro aŭ tute eskapas el ĝia gravita kampo. Rilate al la Tero oni nomas tiujn rapidojn la unua resp. dua kosma rapido; ili havas proksimume jenajn valorojn:

• Por orbiti ĉirkaŭ Tero korpo devas havi rapidon de ĉ. 7906 m/s; tio estas teoria valoro por la tera surfaco. Tie la atmosfero estas tro densa por longdaŭra orbitado; necesas distanco (alto) de almenaŭ 150 km, kaj tie la orbita rapido estas nur 7815 m. Sed unue necesas atingi tiun alton. La Internacia Kosmostacio orbitas je rapido de ĉirkaŭ 7700 m/s.
• Por eskapi el la gravita kampo de Tero korpo devas havi rapidon de ĉ. 11 200 m/s.

La Suno havas multe pli altajn orbitan kaj eskapan rapidojn, sed kutime homoj interesiĝas nur pri la rapido necesa, por ke sondilo povu foriri ekde la tera orbito ĉirkaŭ la Suno. Tiu rapido estas malpli alta, kaj krome eblas utiligi la orbitan rapidon de la Tero mem kiel bazon. Se konsideri ĉion minimume necesas rapido de 16 500 m/s por ekde Tero eliri el la suna sistemo.

Ĉar rapido estas relativa inter du sistemoj (aŭ objektoj), ankaŭ la energio (kineta energio) de moviĝanta (ne rotacianta) objekto dependas de la referenca sistemo. Ĝi dependas de du faktoroj^[4]:

• La kineta energio de moviĝanta objekto estas proporcia al ties maso; ju pli masa (peza) la objekto estas, des pli granda la energio. Tiu kontribuo estas sendependa de la referenca sistemo.
• La kineta energio de moviĝanta objekto estas proporcia al la kvadrato de ries rapido; tio signifas ekzemple, ke objekto duoble rapida havas kvaroble grandan energion. Ĉar la rapido dependas de la referenca sistemo, ankaŭ la energio dependas de ĝi.

Por la ĉiutaga vivo tio ekzemple signifas, ke aŭto moviĝanta je 150 km/h havas 2,25-oble la energion de aŭto moviĝanta je 100 km/h; tiu energio devas esti nuligita (normale tio signifas: transformita al varmo) dum haltiga bremsado, ankaŭ dum akcidento. Hibridaj veturiloj povas dum bremsado regajni parton de la energio kiel elektron.