Balio absolutu

Matematikan, ${\displaystyle x}$ zenbaki erreal baten balio absolutua edo modulua^[1], ${\displaystyle |x|}$ gisan adierazten dena, zeinua kontuan hartu gabe -positiboa nahiz negatiboa^[2] izan- zenbaki horrek duen balio ez-negatiboa da. Adibidez, ${\displaystyle 3}$-ren balio absolutua ${\displaystyle 3}$ da eta ${\displaystyle -3}$-ren balio absolutua ${\displaystyle 3}$ da.

Balio absolutua magnitudearen, distantziaren eta normaren ideiekin lotuta dago testuinguru matematiko eta fisiko desberdinetan. Zenbaki erreal baten balio absolutuaren kontzeptua matematikako beste objektu askotara orokor daiteke, hala nola, koaternioietara, eraztun ordenatuetara, gorputz edo espazio bektorialetara.

1806an, Jean-Robert Argand-ek modulu terminoa sartu zuen, frantsesez neurri-unitatea esan nahi duena, bereziki balio absolutu konplexurako^[3][4], eta 1866an ingelesean barneratu zuten latinezko modulu baliokide gisa^[3]. Balio absolutu terminoa, gutxienez, 1806tik erabili da frantsesez^[5] eta 1857tik ingelesez^[6]. Alde bakoitzeko barra bertikal |x| notazioa Karl Weierstrass-ek sartu zuen 1841ean^[7]. Balio absoluturako beste termino batzuk zenbakizko balioa^[3] eta magnitudea izan daitezke^[3]. Programazio-hizkuntzetan eta software konputazionaleko paketeetan, x-ren balio absolutua abs(x) edo antzeko adierazpen baten bidez adierazten da.

Barra bertikaletako idazkera beste zenbait testuinguru matematikotan ere agertzen da: adibidez, multzo bati aplikatzean, bere kardinala adierazten du; matrize bati aplikatzen zaionean, bere determinantea adierazten du. Barra bertikalek balio absolutua adierazten dute balio absolutua definituta dagoen objektu aljebraikoetarako soilik, bereziki zatiketa normatu aljebraikoaren elementu baterako, adibidez, zenbaki erreal baterako, zenbaki konplexu baterako edo kuaternioi baterako. Barra bertikalen erabilera ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-ko bektore baten norma euklidear ^[8]eta goi normarako^[9], oso erlazionatuta dagoen baina desberdina den notazioa da, nahiz eta azpiindizedun barra bertikal bikoitzak ( ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ eta ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$, hurrenez hurren) notazio arruntagoak eta ez hain anbiguoak diren.

Edozein ${\displaystyle x}$ zenbaki errealen balio absolutua edo modulua, honela adierazten da: ${\displaystyle |x|}$ eta modu honetan definitzen da:^[10]

${\displaystyle |x|=\left\{{\begin{array}{rcl}x,&{\mbox{baldin eta}}&x\geq 0\\-x,&{\mbox{baldin eta}}&x<0\end{array}}\right.}$

${\displaystyle x}$-ren balio absolutua beti da zenbaki positiboa edo zero, baina inoiz ez negatiboa: ${\displaystyle x}$ zenbaki negatiboa denean ${\displaystyle (x<0)}$, haren balio absolutua nahitaez positiboa da ${\displaystyle (|x|=-x>0)}$.

Ikuspuntu geometrikotik, zenbaki erreal baten balio absolutua zenbaki horren eta zeroaren artean dagoen distantzia bezala ikus daiteke. Oro har, bi zenbakiren arteko aldearen balio absolutua haien arteko distantzia da.

Balio absolutuak funtsezko lau propietate hauek ditu, ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ izanik:

${\displaystyle {\begin{aligned}&|a|\geq 0&{\text{Ez-negatibotasuna}}\\&|a|=0\iff a=0&{\text{Positiboki definitua}}\\&|ab|=|a||b|&{\text{Propietate biderkakorra}}\\&|a+b|\leq |a|+|b|&{\text{Desberdintza triangeluarra}}\end{aligned}}}$

Beste propietate erabilgarri batzuk ondoko hauek dira:

${\displaystyle {\begin{aligned}&||a||=|a|\\&|-a|=|a|\\&|a-b|=0\iff a=b\\&|a-b|\leq |a-c|+|c-b|\\&\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\quad {\text{baldin }}b\neq 0\\&|a-b|\geq ||a|-|b||\end{aligned}}}$

horiek definizioaren edo lehenengo lau propietateen ondoriok dira.

Desberdintasunak erabiltzen dituzten beste bi propietate, ondokoak dira:

${\displaystyle {\begin{aligned}&|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b\\&|a|\geq b\iff a\leq -b\quad {\mbox{ edo }}\quad a\geq b\end{aligned}}}$

Erlazio horiek balio absolutua duten desberdintasunak ebazteko erabil daitezke, adibidez:

${\displaystyle {\begin{aligned}|x-3|\leq 9&\iff -9\leq x-3\leq 9\\&\iff -6\leq x\leq 12\end{aligned}}}$

Zenbaki konplexuak ez daudenez ordenatuta, zenbaki errealentzat emandako balio absolutuaren definizioa ezin zaie zuzenean aplikatu. Hala ere, zenbaki erreal baten balio absolutuaren interpretazio geometrikoa 0tik bere distantziara orokor daiteke. Eta beraz, zenbaki konplexu baten balio absolutua plano konplexuan dagokion puntutik jatorriraino dagoen distantzia euklidearrak definitzen du. Hau Pitagorasen teorema erabiliz kalkula daiteke: edozein zenbaki konplexutarako.

${\displaystyle z=x+iy}$

non ${\displaystyle x}$ eta ${\displaystyle y}$ zenbaki errealak diren, ${\displaystyle z}$ -ren balio absolutua edo modulua ${\displaystyle |z|}$ ikurraren bidez adierazten da eta honela definitzen da^[11]:

${\displaystyle |z|={\sqrt {|Re(z)|^{2}+|Im(z)|^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$,

non ${\displaystyle Re(z)=x}$ eta ${\displaystyle Im(z)=y}$ ${\displaystyle z}$-ren zati erreala eta irudikaria diren, hurrenez hurren. ${\displaystyle y}$ zati irudikaria 0 denean, hau bat dator ${\displaystyle x}$ zenbaki errealaren balio absolutuaren definizioarekin.

${\displaystyle z}$ zenbaki konplexua bere forma polarrean honela adierazten da:

${\displaystyle z=re^{i\theta }}$,

non ${\displaystyle r={\sqrt {|Re(z)|^{2}+|Im(z)|^{2}}}\geq 0}$ (eta ${\displaystyle \theta \in arg(z)}$ ${\displaystyle z}$-ren argumentua (edo fasea)), bere balio absolutua honakoa da:

${\displaystyle |z|=r}$.

Edozein ${\displaystyle z}$ zenbaki konplexuren eta balio absolutu bera duen bere konjugatu konplexuaren ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ arteko produktua, (${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$) zenbaki erreal ez-negatiboa da beti. Gainera, ${\displaystyle z}$ zenbaki konplexu baten balio absolutua ${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}}$ produktuaren erro karratua da, horregatik, ${\displaystyle z}$ karratu absolutua edo karratu modulua deritzo:

${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\bar {z}}}}}$.

Honek zenbaki errealentzako definizio alternatiboa orokortzen du: ${\displaystyle |x|={\sqrt {x\cdot {x}}}}$

Zenbaki konplexuentzako balio absolutuak, goian zenbaki errealen balio absolutuarentzat emandako oinarrizko lau propietateak partekatzen ditu.

Talde-teoriaren hizkuntzan, biderkatze propietatea hurrengo moduan berridatz daiteke: balio absolutua da zenbaki konplexuen biderkatze-taldetik zenbaki erreal positiboen biderkatze-taldera doan homomorfismo-talde bat^[12].

Azpigehigarritasunaren propietatea ("desberdintza triangeluar konplexua") ${\displaystyle n}$ zenbaki konplexu dituen ${\textstyle (z_{k})_{k=1}^{n}}$ edozein bilduma finitura honela hedatzen da:

${\displaystyle \left\vert \sum _{k=1}^{n}z_{k}\right\vert \leq \sum _{k=1}^{n}|z_{k}|.}$ (*)

Desberdintasun hau familia infinituetan ere aplikatzen da, baldin eta ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }z_{k}}$ serie infinitua erabat konbergentea bada. Lebesgueren integrazioa batuketaren analogia jarraitutzat hartzen bada, ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ funtzio neurgarriak ${\displaystyle E}$ azpimultzo batean integratuta daudenean, desberdintasun hau balio konplexuaren bidez analogikoki betetzen da. Ideia hau honela adieraz daiteke:

${\displaystyle \left\vert \int _{E}^{}fdx\right\vert \leq \int _{E}^{}\left\vert f\right\vert dx}$ (**)

(Honek Riemann-en funtzio integragarriak ${\displaystyle [a,b]}$ tarte mugatu baten barnean sartzen ditu, kasu berezi gisa).

Desberdintza triangeluarra, (*) -k emanda, zenbaki konplexuen hiru propietate aplikatuta froga daiteke. Hots, ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ zenbaki konplexu bakoitzerako:

1. Existitzen da ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ zeinetarako ${\displaystyle |c|=1}$ eta ${\displaystyle |z|=c\cdot z}$;
2. ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\leq |z|}$

Gainera, ${\displaystyle (w_{k})_{k=1}^{n}}$, zenbaki konplexuen edozein familiarentzat ${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\operatorname {Re} (w_{k})+i\sum _{k}\operatorname {Im} (w_{k})}$ betetzen da. Zehazki,

3. ${\textstyle \sum _{k}w_{k}\in \mathbb {R} }$ bada, orduan ${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\operatorname {Re} (w_{k})}$.

(*)-ren froga: aukeratu ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ zeinetarako |c|=1 eta ${\textstyle \left|\sum _{k}z_{k}\right|=c\left(\sum _{k}z_{k}\right)}$ betetzen diren. Ondorengo kalkuluak bilatzen ari garen desberdintza ematen digu: ${\displaystyle \left|\sum _{k}z_{k}\right|\;{\overset {(1)}{=}}\;c\left(\sum _{k}z_{k}\right)=\sum _{k}cz_{k}\;{\overset {(3)}{=}}\;\sum _{k}\operatorname {Re} (cz_{k})\;{\overset {(2)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}\left|c\right|\left|z_{k}\right|=\sum _{k}\left|z_{k}\right|.}$

Froga honi esker, argi dago (*) berdintasuna betetzen dela, baldin eta ${\displaystyle cz_{k}}$ zenbaki erreal ez-negatiboak badira, eta, aldi berean, zeroren ezberdinak diren ${\displaystyle z_{k}}$ guztiek argumentu bera badute. Hau da, ${\displaystyle z_{k}=a_{k}\zeta }$ da, ${\displaystyle \zeta }$ konstante konplexu baterako eta ${\displaystyle a_{k}\geq 0}$ konstante erreal baterako, non ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$. den.

${\displaystyle f}$ neurgarria izateak ${\displaystyle |f|}$ neurgarria izatea inplikatzen duenez, (**) desberdintzaren froga teknika bera erabiliz burutzen da, ${\textstyle \sum _{k}(\cdot )}$ adierazpena ${\textstyle \int _{E}(\cdot )\,dx}$ -rekin eta ${\displaystyle z_{k}}$ adierazpena ${\displaystyle f(x)}$-rekin ordezkatuz^[13].

${\displaystyle x}$ zenbaki erreala bada, haren balio absolutua zenbaki erreal ez-negatibo bat da, honela definitua dagoena:

1. ${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$
2. ${\displaystyle |x|}$, ${\displaystyle \{-x,x\}}$^[14] hauen arteko maximoaren berdina da.

Zenbaki errealen balio absolutu funtzioa zenbaki erreal guztien multzoaren gainean definitzen da, zenbaki erreal bakoitzari bere balio absolutua emanez.

Formalki, ${\displaystyle x\,}$ zenbaki erreal guztien balio absolutua honela definitzen da:^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}|\quad |:\mathbb {R} &\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\\x&\mapsto |x|\end{aligned}}}$

eta honela adierazten da:

${\displaystyle {\text{abs}}(x)=|x|=\left\{{\begin{array}{rcl}x,&{\mbox{baldin}}&x\geq 0\\-x,&{\mbox{baldin}}&x<0\end{array}}\right.}$

Definizioz, ${\displaystyle x\,}$-ren balio absolutua beti zero edo zero baino handiagoa izango da, eta inoiz ez negatiboa.

• Balio absolutu funtzioa funtzio jarraitu bat da zuzen erreal osoan; bere deribatuak etena du (0;0) puntuan, balio konstanteko bi adar baitaude. Hau da, funtzio hori diferentziagarria da R osoan, x=0 puntuan izan ezik.
• ${\displaystyle y=x\left\vert x\right\vert }$ funtzioa, balio absolutua erabiliz, funtzio gorakorra eta jarraitua da; bere grafikoa parabolaren grafikotik lortzen da ${\displaystyle y=x^{2}}$, ezkerreko adarra ${\displaystyle Ox}$ ardatzarekiko islatuz.

Errealen multzoa balio absolutuak definitutako arauarekin, Banach espazio bat da${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$.

Zenbaki errealen balio absolutu funtzioak bere balioa itzultzen du zeinua kontuan hartu gabe; zeinu funtzioak, berriz, zenbaki baten zeinua itzultzen du, haren balioa kontuan hartu gabe. Ekuazio hauek bi funtzio horien arteko erlazioa erakusten dute:

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn} (x)}$, ${\displaystyle x=0}$ den kasurako

edo

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn} (x)=x}$

eta ${\displaystyle x\neq 0}$ kasuan,

${\displaystyle \operatorname {sgn} (x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}}$

Balio absolutu funtzioak deribatu bat du ${\displaystyle x\neq 0}$ bakoitzerako, baina ez da diferentziagarria ${\displaystyle x=0}$ kasuan. ${\displaystyle x\neq 0}$ kasuan, aldiz, deribatua honako funtzio honek ematen du^[16][17]:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}|x|={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0\end{cases}}}$

Zenbaki errealen balio absolutu funtzioaren integral mugagabea hurrengoa da:

${\displaystyle \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C}$

non ${\displaystyle C}$ integrazio arbitrario konstantea den.

Balio absolutuak lotura estua du distantziaren ideiarekin. Lehen esan bezala, zenbaki erreal edo konplexu baten balio absolutua, zenbaki horrek jatorrira duen distantzia da; zenbaki errealetarako, zenbaki errealen zuzenean zehar, eta zenbaki konplexuetarako, plano konplexuan. Eskuarki, bi zenbaki errealen edo konplexuren arteko diferentziaren balio absolutua, bi zenbaki errealen edo konplexuen arteko distantzia da.

Bi ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ eta ${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$ punturen arteko distantzia euklidear estandarra n -espazio euklidearrean honela definitzen da:

${\displaystyle {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Hau orokortze gisa ikus daiteke; izan ere ${\displaystyle a_{1}}$ eta ${\displaystyle b_{1}}$ errealentzat , hau da, dimentsio baten, balio absolutuaren definizio alternatiboaren arabera, honako adierazpena dugu:

${\displaystyle |a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},}$

eta ${\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}}$ eta ${\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}}$ zenbaki konplexuentzat , hau da, bi dimentsiotan, honako hau:

${\displaystyle |a-b|}$	${\displaystyle =|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|}$
	${\displaystyle =|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|}$
	${\displaystyle ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Aurrekoak erakusten du "balio absolutu"-distantzia, bat datorrela distantzia euklidear estandarrarekin, zenbaki errealentzat eta konplexuentzat. Zeintzuk oinordetzan hartzen dituzten, dimentsio bakarreko eta bi dimentsioko espazio euklidear gisa hartzearen ondorioz, hurrenez hurren.

Bi zenbaki erreal edo konplexuren diferentziaren balio absolutuaren propietateek: ez-negatibotasunak, bereizezinen identitateak, simetriak eta goian adierazitako desberdintza triangeluarrak, distantzia-funtzioaren ideia orokorragoa bultzatzen dutela ikus daiteke:

X × X multzoko d funtzio erreal bati X-ko metrika (edo distantzia funtzioa ) deitzen zaio lau axioma hauek betetzen baditu:

${\displaystyle d(a,b)\geq 0}$	${\displaystyle {\text{Ez-negatibotasuna}}}$
${\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b}$	${\displaystyle {\text{Bereiztezinen identitatea}}}$
${\displaystyle d(a,b)=d(b,a)}$	${\displaystyle {\text{Simetria}}}$
${\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}$	${\displaystyle {\text{Desberdintza triangeluarra}}}$

Zenbaki konplexuetan ez ezik, balio absolutuaren funtzioa zenbaki hiperkonplexuetara ere orokor daiteke, hala nola, kuaternioietara edo oktonioietara. Zenbaki errealen gaineko aljebran, h zenbaki baten balio absolutua honela definitzen da:

${\displaystyle \left\vert h\right\vert ={\sqrt {h{\bar {h}}}}}$

Non ${\displaystyle {\bar {h}}}$ ${\displaystyle h}$-ren hiperkonjugazioa den.

Goian aipatutako zenbaki errealetarako emandako balio absolutuaren definizioa edozein eraztun ordenatutara heda daiteke. Hau da, a ${\displaystyle \in \mathbb {R} }$ eraztun ordenatuaren elementu bat baldin bada, a-ren balio absolutua, |a| bidez adierazten dena, honela definitzen da^[18]:

${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{baldin }}a\geq 0\\-a,&{\text{baldin }}a<0.\end{array}}\right.}$

non −a, a-ren alderantzizko gehigarria den, 0 identitate gehigarria den, eta < eta ≥ ikurrek eraztuneko ordenamenduari dagokion ohiko esanahia duten.

Zenbaki errealen balio absolutuaren oinarrizko propietateak, espazio bektorial arbitrario batera orokortzeko erabil daitezke, aldaketa txiki bat eginez.

F eremu baten gaineko V espazio bektorial batean, balio errealeko funtzioari balio absolutua deritzo,  || · || gisa adierazten dena. Baina, honako axioma hauek betetzen baditu, norma deitzen zaio:

F-ko a guztietarako eta V-ko u,v guztietarako,

${\displaystyle ||{\textbf {v}}||\geq 0}$	${\displaystyle {\text{Ez-negatibotasuna}}}$
${\displaystyle ||{\textbf {v}}||=0\Longleftrightarrow {\textbf {v}}=0}$	${\displaystyle {\text{Positiboki definitua}}}$
${\displaystyle ||a{\textbf {v}}||=|a|||{\textbf {v}}||}$	${\displaystyle {\text{Homogeneotasun positiboa edo eskalagarritasun positiboa}}}$
${\displaystyle ||{\textbf {v}}+{\textbf {u}}||\leq ||{\textbf {v}}||+||{\textbf {u}}||}$	${\displaystyle {\text{Azpigehigarritasuna edo desberdintza triangeluarra}}}$

Bektore baten norma, magnitude edo luzera izenarekin ere ezaguna da.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$espazio euklidearraren kasuan, honela definitutako funtzioari

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

norma euklidearra deritzo. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zenbaki errealak dimentsio bakarreko ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ espazio bektorialtzat hartzen direnean, balio absolutua p-norma da, (ikusi L^p espazioa) edozein p-rentzat. Izan ere, balio absolutua norma "bakarra" da, zentzu honetan, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$-eko ${\displaystyle ||\cdot ||}$ norma guztietarako, ${\displaystyle ||x||=||1||\cdot |x|}$ betetzen da.

Balio absolutu konplexua,  barne produktu-espazio bateko normaren kasu berezi bat da.  Balio absolutu hau, norma euklidearraren berdina da plano konplexua ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$-ko plano euklidear gisa identifikatzen denean.

A konposaketa aljebraiko orok bere konjugazio izena hartzen duen x → x* inboluzioa du. A-n, x elementu baten eta x* elementu horren konjokatuaren arteko produktuari, x elementuaren norma deritzo eta era honetan adierazten da: N(x) = x x*.

${\displaystyle \mathbb {R} }$ zenbaki errealak, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ zenbaki konplexuak eta ${\displaystyle \mathbb {H} }$ kuaternioiak forma koadratiko zehatzek emandako normak dituzten konposaketa aljebraikoak dira. Zatiketa-aljebra horietan, balio absolutua, aljebraren normaren konposizioaren erro karratuak ematen du.

Orokorrean, konposaketa aljebraikoaren norma definitu gabeko forma koadratikoa izan daiteke eta bektore nuluak ditu. Hala ere, zatiketa-aljebren kasuan bezala, x elementu batek zero ez den norma duenean, orduan x-k x*/N (x) -k emandako alderantzizko biderkadura du.

Zenbaki errealen balio absolutuaren oinarrizko lau propietateak, balio absolutuaren ideia eremu arbitrario batera orokortzeko erabil daitezke, era honetan:

${\displaystyle v}$ balio errealeko funtzio bati ${\displaystyle F}$ eremu batean balio absolutu deritzo (modulua, magnitudea, balioa edo balorazioa ere) lau axioma hauek betetzen baditu:

${\displaystyle v(a)\geq 0}$	${\displaystyle {\text{Ez-negatibotasuna}}}$
${\displaystyle v(a)=0\Longleftrightarrow a=0}$	${\displaystyle {\text{Positiboki definitua}}}$
${\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)}$	${\displaystyle {\text{Propietate biderkakorra}}}$
${\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)}$	${\displaystyle {\text{Desberdintza triangeluarra}}}$

Non 0-k ${\displaystyle F}$-ren identitate gehigarria adierazten duen. Definizio positibotik eta biderkagarritasunetik ${\displaystyle v(1)=1}$ dela ondorioztatzen da , non 1 ${\displaystyle F}$- ren identitate biderkatzailea adierazten duen. Eremu arbitrario baterako, goian definitutako balio absolutu errealak eta konplexuak balio absolutuen adibideak dira.

${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F}$-n balio absolutua bada, orduan ${\displaystyle d(a,b)=v(a-b)}$ gisa definitutako ${\displaystyle F\times F}$ -n dagoen d funtzioa, metrika bat da eta honako hauek baliokideak dira:

• ${\displaystyle d}$-k desberdintasun ultrametrikoa betetzen du ${\displaystyle d(x,y)\leq max(d(x,z),d(y,z))}$ non ${\displaystyle x,y,z\in F}$
• ${\displaystyle \{v(\textstyle \sum _{k=1}^{n}1\displaystyle ):n\in \mathbb {N} \}}$ R barruan mugatuta dago .
• ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ bakoitzarentzat ${\displaystyle v(\textstyle \sum _{k=1}^{n}1\displaystyle )\leq 1}$ .
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1}$ ${\displaystyle a\in F}$ guztientzat .
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}}$ ${\displaystyle a,b\in F}$ guztientzat.

Balio absolutua goiko edozein baldintza edo baldintza guztiak asetzen baditu ez-Arkimedianoa dela esaten da; bestela Arkimedianoa^[19] dela esaten da.

Programazio arloan, balio absolutua kalkulatzeko gehien erabiltzen den funtzio matematikoa abs() da. Funtzio hau, zenbaki osoak, errealak eta konplexuak onartzen dituzten Fortran, Matlab eta GNU Octave programazio lengoaietan erabiltzen da. C programazio lengoaian ere erabiltzen da, non:

labs(), llabs(), fabs() ,fabsf() eta fabsl() funtzioak ere baliozkoak diren.

Zenbaki osoen balio absolutu funtzioaren kodeketa hurrengoa da:

int abs (int i)
{
  if (i < 0)
    return -i;
  else
    return i;
}

Hala ere, koma mugikorrekin lan egiterako orduan, kodeaketa zailtzen da. Izan ere, infinitu eta NaN balioekin nahastu egiten da kodeketa.  [erreferentzia behar] Mihiztadura-lengoaiarekin zenbaki baten balio absolutua kalkulatzea posible da hiru argibide erabiliz. Adibidez, x86 arkitekturan, 32 biteko erregistro baterako, hurrengo Intel sintaxia dugu:

cdq
xor eax, edx
sub eax, edx

cdq komandoak, eax komandoaren zeinuaren bit-a edx-en hedatzen du.eaxnegatiboa ez bada, orduan edxzero bihurtzen da eta azken bi argibideek ez dute eraginik, eaxaldatu gabe utziz. eaxnegatiboa bada, berriz, edx0xFFFFFFFF edo -1 bihurtzen da. Hurrengo bi argibideak bi osagarrien inbertsio bihurtzen dira, balio negatiboaren balio absolutua eax-en utziz.