Pi (zenbakia)

«Pi» orriak hona dakar. Bestelako esanahiei buruzko orria hau da: «Pi (argipena)»

${\displaystyle \pi }$ zenbakia (pi ahoskatua) konstante matematiko bat da. Originalki zirkulu baten zirkunferentzia eta bere diametroaren arteko harreman gisa adierazten zen, baina gaur egun hainbat definizio pareko ditu, eta formula anitzetan agertzen da matematika eta fisikako esparru guztietan. Gutxi gora behera 3,14159 balio du. ${\displaystyle \pi }$ greziar letra erabili izan da XVIII. mendearen ondotik.

Zenbaki irrazional bat izanda, ${\displaystyle \pi }$ ezin da adierazi zatiki baten moduan. ${\displaystyle \pi }$ren errepresentazio dezimala ez da inoiz amaitzen eta ez du errepikatzen den patroirik. Hala ere, ${\displaystyle {22}/{7}}$ bezalako zatikiak eta beste zenbaki arrazional batzuk erabili izan dira ${\displaystyle \pi }$ zenbakira hurbildu ahal izateko. Ematen duenez, dezimaletako zenbakiak ausaz daude banatuak. Uste da ${\displaystyle \pi }$ zenbakiaren digituen sekuentziak ausazko banaketa estatistiko mota bat dela, baina gaur egun ez da honen inguruko froga zehatzik lortu. ${\displaystyle \pi }$ zenbaki transzendental bat da; hau da, ez da koefiziente arrazionalak dituen zero-ez-den polinomio baten erroan dagoen zenbaki bat. ${\displaystyle \pi }$ren transzendentzia honek esan nahi du ezinezkoa dela antzinarotik hedatu izan den zirkuluaren koadratura ebaztea erregela eta konpasa erabilita.

Antzinaroko zibilizazioek arrazoi praktikoak direla eta ${\displaystyle \pi }$ren balio nahiko zehatzak behar zituzten. Antzinako Egiptoko eta Babiloniako matematikan jada egin ziren kalkulu nahiko zehatzak. K.a. 250.urtearen inguruan Arkimedes greziar matematikariak algoritmo bat sortu zuen ${\displaystyle \pi }$ kalkulatu ahal izateko. Txinako matematikariek zazpi digituko gerturapena eskuratu zuten, metodo geometrikoak bakarrik erabilita, eta bost digituko gerturapena Indiako matematikariek V. mendean. Serie infinitutan oinarritutako ${\displaystyle \pi }$ren lehen formula historiko zehatza milurteko bat beranduago aurkitu zen, Indiako matematikariek Madhava–Leibniz seriea aurkitu zutenean^[1][2]. XX. eta XXI. mendean matematikariek eta informatikariek gerturapen berriak asmatu zituzten, eta ordenagailuen boterearen handitzearekin, ${\displaystyle \pi }$ren errepresentazio dezimala hainbat bilioi digituraino zabaldu zen^[3]. Aplikazio zientifiko ia guztiek ez dute behar ${\displaystyle \pi }$ren ehun digitu baino gehiago behar eta askok askoz gutxiago, beraz gaur egungo dezimalen bilaketa honen helburu nagusia algoritmo hobeak aurkitzea da, eta errekor berriak hausteko nahia^[4][5]. Kalkulu estentsibo horiek superordenadoreak eta algoritmoen biderketen prezisio altua frogatzeko erabiltzen dira.

Bereziki zirkuluei lotuta definitzen delako, trigonometria eta geometriako formula askotan agertzen da, bereziki zirkulu, elipse eta esferekin lotuta daudenak. Analisi matematiko modernoan, zenbaki errealen sistemaren ezaugarri espektralak erabiltzen definitzen da, periodo baten autobalio gisa, geometriari erreferentziarik egin gabe. Horregatik, matematikako eta zientzietako hainbat eremutan agertzen da, geometria eta zirkuluekin harremanik izan gabe ere; zenbakien teorian eta estatistikan eta fisikako eremu ia guztietan agertzen da ${\displaystyle \pi }$. Nonahikotasun honek ${\displaystyle \pi }$ konstante matematiko ezagunetako bat izatea dakar, komunitate zientifikoaren barruan zein kanpoan. Zenbakiari dedikatutako liburu asko argitaratu dira, Pi Eguna ospatzen da eta ${\displaystyle \pi }$ren digitu berriak kalkulatzen direnean albiste izan ohi da. ${\displaystyle \pi }$ren balioa memorizatzeko lehiaketak egiten dira, eta gaur egun errekorra 70.000 digitutan ezarria dago^[6].

«	Harrigarria da zenbait zenbaki naturan ere aurkitzea, esate baterako π eta e zenbaki irrazionalak. Desintegrazio erradioaktiboan ere agertzen dira. Pentsatzeko ematen dute. Ezin dira digituen bidez adierazi. Zenbaki horiek idazten hasi eta inoiz ez duzu amaituko, infinitura zoaz, baina aldi berean logikoak dira. Eta logika hori aurki dezakegu bai gizakion baitan eta bai antza denez gizakiongandik aparte ere badagoen errealitatean. Matematikak gizakia gainditzen duena ere ulertzeko balio izate horixe da, nolabait esateko, zientzialarion sinesmena.	»
—Jose Ramon Etxebarria[7][8]

π hizki grekoa “περιφέρεια”, zirkulu baten periferia, eta “περίμετρον”, zirkulu baten perimetroa, hitzen inizialetatik dator, William Oughtred-ek ( 1574-1660) erabilitako notazioa lehenik eta William Jones( 1675-1749) matematikariak proposatua ondoren; Leonhard Euler matematikaria ezagutarazi zuena izan arren, 1748. urtean egindako kalkulu infinitesimalaren hastapenak lanarekin. Lehen Ludolph-en konstantea (Ludolph van Ceulen matematikariaren ohorean) edo Arquimedesen konstantea bezala ezagutua izan zen (ez nahastu Arquimedesen zenbakiarekin). Jonesek zenbaki honen izena eta ikurra planteatu zituen 1706an eta Eulerrek hedatzen hasi zuen 1736an.

Zirkunferentzia baten eta bere diametroaren arteko erlazioa konstantea dela frogatu zuen lehenengo pertsona Euklides izan zen, baina, zenbait definizio existitzen dira π zenbakirako:

• Zirkunferentzia baten eta bere diametroaren arteko luzeraren arrazoia π da. (hau da arruntena)
• Zirkulu unitario baten azalera π da( 1 luzerako erradiokoa, ohiko plano geometrikoan edo plano euklidearrean)
• π da X zenbaki erreal positibo txikiena, zeinetarako sin(x)=0 den.
• Eulerren identitateak ${\displaystyle e^{ix}+1=0}$hainbat soluzio onartzen ditu, haietako txikiena π da.
• ${\displaystyle S''(x)+S(x)=0}$ ekuazioa diferentziala ${\displaystyle S(0)=0,S'(0)=1}$ mugalde-baldintzekin eta soluzio bakarrarekin, Picard-Lindelöf-ren teoremaren bidez kalkulatua, π bere erro positibo txikiena duen funtzio analitikoa da( ${\displaystyle \sin(x)}$ funtzio trigonometrikoa) .

Zenbaki irrazional bat denez, ezin da jarri bi zenbaki osoren arteko zatiketa moduan, 1761an Johann Heinrich Lambert frogatu zuen bezala. Zenbaki transzendentea da ere, hau da, ez da koefiziente osoen polinomio baten erroa. XIX. Urtean Ferdinand Lindeman matematikari alemaniarrak hori frogatu zuen, horrela zirkuluaren koadraturaren problemaren ikerketa itxita geratu zen, ebazpenik ez zuela adieraziz. π zenbakia Liouville zenbaki ez dela jakina da ere( Mahler, 1953).

Zenbaki arrazionala izan arren, oraindik hamartar kopuru handiena aurkitzeko asmoarekin aztertzen hari da. Hauek dira lehenengo berrogeita hamarrak:

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

zenbaki honen sekuentzia handiagoak ikusteko joan erreferentzietara edo ikusi  Las primeras diez mil cifras decimales.

Zientzian eta ingenierian, konstante hau gehienetan dozena bat dezimalekin erabiltzen da. Berrogei dezimalekin Esne Bidearen kurbatura deskribatu daiteke, protoi baten tamaina baino txikiagoa den errorearekin.

• r erradioko zirkunferentzia: Z = 2 π r
• r erradioko zirkuluaren azalera: A = π r²
• a eta b ardatzerdiak dituen elipse batean azalera: A = π ab,
• Zilindroaren azalera: 2πr(r+h)
• Esfera baten azalera: 4 π r²
• Konoaren azalera: π r² + π r g
• r erradioko esfera baten bolumena: V = (4/3) π r³
• r erradioko eta h altuerako zilindroaren bolumena: V = π r² heule
• r erradioko eta h altuerako konoaren bolumena: V = π r² h / 3
• Angeluetan: 180º π radian dira.

• Astroideak mugatutako azalera: (3/8) π a²
• X ardatzak eta zikloidearen arku batek mugatutako eskualdearen azalera: 3 π a²
• Kardioideak sortutako eskualdearen azalera: (3/2) π a²
• Agnesiren kurbaren ata asintotaren arteko eskualdearen azalera: πa²

• Ausaz aukeratutako bi zenbaki oso euren artean lehenak izan daitezeneko probabilitatea 6/π² da
• 1 baino txikiagoak diren bi zenbaki positibo hartuta, 1 zenbakiarekin batera hiruko kamuts bateko aldeak izan daitezeneko probabilitatea (π-2)/4 da.
• Buffonen orratza: ausaz, airera, orratz bat botatzen badugu, L luzerakoa dena eta gainazal batean erortzen badira non D distantziara dauden lerro paraleloak marraztuta dauden, orratzak lerro bat mozteko probabilitatea Lπ/2D da.

${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$ (Leibnizen Formula)

${\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$ (Wallisen produktua)

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\frac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$ (Euler)

${\displaystyle e^{\pi i}+1=0\;}$ (Eulerren identitatea, "Munduko Formularik Garrantzitsuena" moduen ezaguna)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ (Stirlingen Formula)

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (Euler)

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$Ramanujan

Gainera πk frakzio jarrai gisa hainbat formula ditu. konturatu zenbaki bakoitiak direla zatitzen agertzen direnak, eta zenbaki osoen karratuak beraien zatitzaile bezala:

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2(-1)^{k}\;3^{{\frac {1}{2}}-k}}{2k+1}}}$

(http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ helbidean beste 12 errepresentazio ezberdin daude)

(Euler)${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdot {\frac {31}{32}}\cdots \!}$

non zenbakitzaileak zenbaki lehenak baitira; eta izendatzaile bakoitza zenbakitzailetik hurbilen dagoen 4ren multiploa baita.

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdot {\frac {64}{63}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}\!}$

Vieèteko formula:

• Konstante kosmologikoa:

${\displaystyle \Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho \!}$

• Heisenbergen ziurgabetasun-printzipioa:

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}\!}$

• Erlatibitate orokorraren Einsteinen eremu-ekuazioak:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\!}$

• Indar elektrikoaren Culomb-en legea:

${\displaystyle F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\!}$

• Iragazkortasun magnetikoa hutsean:

${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N/A^{2}} \!}$

• Anplitude txikiko pendulu sinple baten periodoa:

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\!}$

• Gilborduraren formula:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\!}$ (Stirling-en hurbilketa)

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\!}$ (Eulerren identitatea)

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}\!}$ (ikus Eulerren Φ funtzioa)

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}\sim {\frac {6n}{\pi ^{2}}}\!}$ (ikus Eulerren Φ funtzioa)

${\displaystyle \Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}\!}$ (ikus Gama funtzioaren trambea)

${\displaystyle \pi ={\frac {\Gamma \left({1/4}\right)^{4/3}\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})^{2/3}}{2}}\!}$ (non agm baita aritmetika ertaina-geometrikoa)

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}(n\;{\bmod {\;}}k)=1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\!}$ (non mod baita modulu-funtzioa, n-ren eta k-ren arteko zatiketaren hondarra ematen duena)

(unitate zirkulu baten azalera ebaluatzeko Riemann-en batukaria)${\displaystyle \pi =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {4}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {n^{2}-k^{2}}}}$

${\displaystyle \pi =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{4n}}{n{2n \choose n}^{2}}}}$ (Stirling-en hurbilketaren bidez)

πren irrazionaltasuna dela eta kalkuluak gerturatzen ahalik eta zehatzenekin egin behar da, baina beti hurbilketekin. Normalki 3,14 edo 22/7 baloreak hartzen dira, benetako baloretik % 0,05 baino ez dira urruntzen. Fisikan eta ingeniaritzan 3,1416 erabili ohi da (edo 3,14159) zirkunferentzia batean zehaztasuna lortzeko.

π: 355/113 zatikia ere askotan erabiltzen da eta lehenengo zazpi zenbakietan bat egiten du.

Urtea	Matematikaria edo dokumentua	Hurbilketa	Errorea (zatiak milioika)
~1650 adC	Ahmesen papiroa (Egipto)	~ 3,1605	6016 ppm
~1600 adC	Susako taula (Babilonia)	3 1/8 = 3,125	5282 ppm
~950 adC	Biblian (Erregeak I, 7,23)	3	45070 ppm
~500 adC	Bandhayana (India)	3,09	16422 ppm
~250 adC	Arkimedes	3 10/71 eta 3 1/7 artean 211875/67441 ~ 3,14163	402 ppm 13,45 ppm
~200	Ptolomeo	377/120 = 3,141666...	23,56 ppm
260	Liu Hui (Txina)	3,1416	2,34 ppm
263	Wang Fau	157/50 = 3,14	507 ppm
~300	Chung Huing (Txina)	101/2 ~ 3,1623	6584 ppm
~500	Zu Chongzhi (Txina)	3,1415926 eta 3,1415929 artean 355/113 ~ 3,1415929 erabiliz	<0,078 ppm 0,085 ppm
~500	Aryabhata	3,1416	2,34 ppm
~600	Brahmagupta	101/2 ~ 3,1623	6584 ppm
1220	Fibonacci	3,141818	72,73 ppm

Lehen konputagailuaren diseinutik, ahalik eta zifrarik handienarekin hasi ziren, eta, beraz, programa batzuk garatzen. Horrela, 1949an ENIAC bat errekorra hausteko gai izan zen, 70 ordutan 2037 zifra hamartar lortuz. Pixkanaka, markak hausten zituzten ordenagailuak sortu ziren, eta, horrela, urte batzuk geroago (1954), 3092 zifrara iritsi zen NORAC bat. 1960ko hamarkada osoan zehar, IBMek markak hautsi zituzten, harik eta IBM 7030 bat 1966an 250 000 zifra hamartarretara iritsi zen arte (8 ordu eta 23 minututan). Garai honetan, algoritmoak dituzten ordenagailu berriak probatzen dira {\displaystyle\pi}\pi zenbaki-serieak sortzeko.

2000ko hamarkadan, ordenagailuek hamartar kopuru izugarria duten zenbakiak lortzeko gai dira. 2009an bi bilioi eta erdi pi hamartar baino gehiago aurkitu ziren T2K Tsukuba System superkonputagailu baten bidez, errendimendu handiko 640 konputagailuz osatua, elkarrekin 95 teraflops prozesatzeko abiadurak lortzen dituztenak. 73 ordu eta 36 minututan lortu zuten.^[9]

Urtea	Aurkitzailea	Erabilitako ordenagailua	Zifra dezimalen kopurua
1949	G.W. Reitwiesner eta beste batzuk[10]	ENIAC	2.037
1955		MORC	3.089
1959	Guilloud	IBM 704	16.167
1967		CDC 6600	500.000
1973	Guillord eta Bouyer[10]	CDC 7600	1.001.250
1981	Miyoshi eta Kanada[10]	FACOM M-200	2.000.036
1982	Guilloud		2.000.050
1986	Bailey	CRAY-2	29.360.111
1986	Kanada eta Tamura[10]	HITAC S-810/20	67.108.839
1987	Kanada, Tamura, Kobo eta beste batzuk	NEC SX-2	134.217.700
1988	Kanada eta Tamura	Hitachi S-820	201.326.000
1989	Chudnovsky Anaiak	CRAY-2 eta IBM-3090/VF	480.000.000
1989	Chudnovsky Anaiak	IBM 3090	1.011.196.691
1991	Chudnovsky Anaiak		2.260.000.000
1994	Chudnovsky Anaiak		4.044.000.000
1995	Kanada eta Takahashi	HITAC S-3800/480	6.442.450.000
1997	Kanada eta Takahashi	Hitachi SR2201	51.539.600.000
1999	Kanada eta Takahashi	Hitachi SR8000	68.719.470.000
1999	Kanada eta Takahashi	Hitachi SR8000	206.158.430.000
2002	Kanada i altres[10] [1] Artxibatua 2006-09-07 hemen: Wayback Machine	Hitachi SR8000/MP	1.241.100.000.000
2004		Hitachi	1.351.100.000.000
2011	Yee i Kondo [2]	Intel	10.000.000.000.000
2013	Yee i Kondo [3]	Intel	12.100.000.000.050
2019	Emma Haruka Iwao [4]	Google	31.415.926.535.897

Hauek dira pi zenbakiaren lehen mila zifra dezimalak:

3,

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

πren balorea modu geometriko batean kalkulatzea erraza da. Berez Greziarrak πren balioa kalkulatzen saiatu ziren erregela eta konpasa erabiliz, arrakastarik gabe. Greziarren arazoak, zirkuluaren koadratura edo berdina dena edozein zirkuluren azalera berdina duen karratu bat lortzeak πren balio zehatza jakitea dakar..

π erregela eta konpas batekin kalkulatzea ezinezkoa zela behin demostratuta, hainbat metodo sortu ziren nahiko zehatz kalkulatu ahal izateko. Bi soluzio horietako hoberenak Kochanskik (erregela eta konpasarekin) eta Marcheronik (konpasa baino ez) asmatu zituzten..

Frogapena (R = 1)

${\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+(3-DA)^{2}}$

${\displaystyle OF={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {DA}{EF}}={\frac {OA}{OF}}=>{\frac {DA}{1/2}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}/2}}=>DA={\frac {\sqrt {3}}{3}}}$

Lehenengo formulan aldatuz:

${\displaystyle BC^{2}=2^{2}+\left(3-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)^{2}=>BC={\sqrt {40-6{\sqrt {3}} \over 3}}=3.141533...}$

Frogapena (R = 1)

${\displaystyle AD=AC={\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle OD={\sqrt {3-1}}={\sqrt {2}}}$

${\displaystyle BE=BD={\sqrt {(OD-MB)^{2}+MO^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}}}={\sqrt {3-{\sqrt {6}}}}}$

ABEB' Kuadrillateroaren Ptolomeoren teorema dela eta:

${\displaystyle BB'\cdot AE=AB\cdot EB'+BE\cdot AB'}$

${\displaystyle 2\cdot AE={\sqrt {1+{\sqrt {6}}}}+{\sqrt {9-3\cdot {\sqrt {6}}}}=3.142399...}$

• 1998an, Darren Aronofsky zuzendariaren Pi izeneko film bat agertzen da, mundua zenbakien bidez irudikatzen dela uste duen matematikari bati buruzkoa.
• Alfred Hitchcockek bere Cortina rasgada filmean, espioitza erakunde gisa agerrarazten du.
• The Net filmean, The Mozart Ghost izeneko programa bateko kontzertu- eta musika-orrialde baten behealdeko eskuinaldean agertzen da. Itxura batean, apaingarri bat baino ez da, baina CRTL+ALT+Clic presionatzen denean, Ateko Zaindariaren datuen interfazera sartzen da, erabiltzaile bat eta pasahitz bat eskatzen zituen pretoriarren programa batera.
• The Simpsons marrazki bizidunen seriean, «Bye Bye Nerdie» atalean, Frink irakasleak «Hiru da zehazki !» oihukatzen du, ahoz aho, zientzialariz osatutako entzulego baten arreta erakartzeko. Denak hari begiratzeko jiratzen direnean, barkamena eskatzen du horrelako sakrilegioa egitera behartua izateagatik.
• Futurama seriean, hainbat erreferentzia agertzen dira: «aceite En 1» eta «compre Kea».
• Carl Saganen Kontaktua nobelak — ondoren izen bereko filma filmatu zen — unibertsoaren esentzia bera ezkutatzen duen zenbakitzat hartzen du.

• 

  Martxoaren 14an Pi eguna ospatzen dute askok, data begiratuz 3-14 baita, hau da 3,14 = Pi.^[9]
• Arkimedesen metodoa ez zen ia bi mila urtean gainditu, nahiz eta aurrerapen handiak egin zituen zenbakizko ebaluazioan.
• Posidoniok erabilitako Piren balioa (135-51 a. C.) zuzena izan behar zuen zenbait zifra hamartarretan. Lurraren zirkunferentziarako lortu zuen balioa hiru mende geroago Klaudio Ptolomeo alexandriar astronomoak hartu zuen, eta askoz geroago Kristobal Kolonek, beste askoren artean.65
• Martxoaren 14a ere (3/14 Estatu Batuetako formatuan) egun pi bezala markatzen da, non ale honetako zaleek hainbat emanaldirekin ospatzen duten. Bitxia bada ere, Albert Einsteinen urtebetetzea eta Stephen Hawkingen heriotzaren urteurrena da.
• 355/113 (~ 3.1415929) simulazio ia perfektu gisa aipatzen da batzuetan!
• Literaturako Nobel saridun Wis￮ awa Szymborskak «Pi zenbakia» (Liczba Pi) izeneko poema bat idatzi zuen, eta bertan, bere ordenan, Piren lehen 25 digituak erabiltzen ditu.
• John Squirek (The Stone Roses taldekoa) «Something Tells Me» aipatzen du bere bigarren taldearentzat idatzitako abesti batean. Abestia honela amaitzen da: «What 's the secret of life? It 's 3.14159265, yeah yeah! !».
• Donald Knuth-en TeX testu-tratamenduko programaren bertsioen zenbaketa, berriz, Knuth-en digituen arabera egiten da. 2002ko bertsioa 3.141592 etiketarekin etiketatu zen.
• Zenbaki hori lurrak bidalitako seinaleetan erabiltzen da, zibilizazio adimendun estralurtar batek identifikatzeko.
• Badira programa batzuk Interneten zure telefono zenbakia bilatzen dutenak.
• Programazio-lengoaia batzuetan, nahi adina digitu jakin daitezke, honako esamolde hauek erabiliz: RealDigits [N [Pi, 105]] «Mathematica» -n.
• 2002an, Akira Haraguchi japoniarrak munduko errekorra hautsi zuen, 13 orduz pi zenbakiaren 83 431 digitu etengabe errezitatuz, aurreko errekorra bikoiztuz, Hiroyuki Goto japoniarraren jabetzan. 2006ko urriaren 4an, goizaldeko 1: 30ean, eta 16 ordu eta erdiren ondoren, Haraguchik bere errekorra hautsi zuen berriro, pi zenbakiaren 100.000 digitu errezitatuz, airea hartzeko bi orduko 10 minutuko geldialdia eginez.
• pi hedapen hamartarrean lau digitu dituen edozein egun-hilabete-urte sekuentzia bilatzeko beharrezkoa den baleko digitu kopuru maximoa 60.872 da.
• Badago Kate Bushen «Pi» izeneko abesti bat, zenbakiaren hogei digitu hamartar baino gehiago errezitatzen dituena.
• Argentinan, tren-geltokietako eta lurpeko geltokietako larrialdietarako telefono mugikorra 31416 da.

• Jean-Paul Delahaye. Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science - ISBN 2-9029-1825-9 (en francès)
• Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon. Autour du nombre Pi, Éditions Hermann, París, 1999 - ISBN 2705614435 (en francès)
• Jörg Arndt & Christoph Haenel. À la poursuite de π, Éditions Vuibert, 2006 - ISBN 2-7117-7170-9 (en francès)

• Zerrenda:Π duten formulak
• E (zenbakia)
• Eulerren identitatea
• Konstante (matematika)
• Diametro
• Zirkulu
• Radian
• Zirkunferentzia
• Koaternioi
• Oktonioi
• Wallisen biderkadura
• Buffonen orratza
• Exhauzio-metodo
• Savant sindromea
• Akira Haraguchi
• Daniel Tammet
• Willebrord Snel van Royen
• Liu Hui
• Zu Chongzhi

• πren milioi bat zifra dituen orrialdea.
• π kalkulatzeko programak
• Pi-memory
• Nombroses informacions històriques i matemàtiques sobre PI (Frantsesez) (Ingelesez)
• Distribució estadística de les xifres decimals de π basada en 1.2 trilions de dígits Artxibatua 2010-01-09 hemen: Wayback Machine (Ingelesez)
• The Joy of Pi, by David Blatner; enllaços, curiositats, i altres materials (Ingelesez)