Zatitzaile komun handiena

Aritmetikan, Zenbaki arrunt batzuen Zatitzaile komun(etako) handiena (z.k.h.) zenbaki horien guztien zatitzailea den zenbaki positiborik handiena da. Adibidez, 42 eta 56 zenbakien zatitzaile komun handiena 14 da, hau da, 14 da zenbakirik handiena bi zenbakiak zatidura zehatzez zatitzen dituena.

a eta b bi zenbaki oso izanik, a eta b-ren zatitzaile komun handiena, zkh(a,b) bezala adieraziko dugu.

Zenbaki batzuen zatitzaile komun handiena lortzeko, lehenik, zenbakietako bakoitza zenbaki lehenetan deskonposatu behar da. hurrena, errepikatzen diren zenbakietan berretzailerik txikienekoak hartu eta elkarrekin biderkatu behar dira. Kontzeptu hau polinomioekin ere defini daiteke.

Adibidez, 48 eta 60 zenbakien z.k.h.:

${\displaystyle \operatorname {z.k.h.} (48,60)=2^{2}\cdot 3=12}$

Zenbakien multiplo komun txikiena (m.k.t.) ezaguna bada, zenbakien z.k.h. kalkulatzeko zenbakien biderkadura zati m.k.t. egin behar dugu. Beraz, formula hau da:

${\displaystyle z.k.h.(a,b)={\frac {a\cdot b}{m.k.t.(a,b)}}}$

Zatitu zenbaki handiena txikienarekin; hondarra zero bada, zatitzailea da bi zenbakien z.k.h. Zatiketaren hondarra zero ez bada, hondarra zatitzailea baino txikiagoa denez, hasierako bi zenbakien z.k.h. zatitzailearen eta hondarraren z.k.h. bera da; hortaz, zatitu zatitzailea hondarrarekin, eta errepikatu eragiketa behar beste bider, hondarra zero izan arte; z.k.h. zero ez den azken hondarraren balioa da. Formalki:

${\displaystyle \operatorname {z.k.h.} (a,0)=a}$

${\displaystyle \operatorname {z.k.h.} (a,b)=\operatorname {z.k.h.} (b,a-b\left\lfloor {a \over b}\right\rfloor ).}$

1. ${\displaystyle \ \operatorname {zkh} (a,b)=d}$ bada ${\displaystyle \ \operatorname {zkh} \left({\frac {a}{d}},{\frac {b}{d}}\right)=1}$ izango da.
2. ${\displaystyle \ m\in \mathbb {Z} }$ izanik ${\displaystyle \ \operatorname {zkh} (ma,mb)=|m|\cdot \operatorname {zkh} (a,b)}$
3. ${\displaystyle \ p}$https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f385a789c147f05d215d99fecd7ff19e8fd40b05  zenbaki lehena bada, orduan${\displaystyle \ \operatorname {zkh} (p,m)=p}$ edo ${\displaystyle \ \operatorname {zkh} (m,p)=1}$
4. ${\displaystyle d=\operatorname {zkh} (m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname {zkh} (m'',n'')=1}$ bada, orduan${\displaystyle \ d=d'}$
5. ${\displaystyle \ d'}$${\displaystyle \ m}$ eta ${\displaystyle \ n}$-ren zatitzaile komun handienahttps://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43903a19862391d0357b3e377347a32a91f05efd bada, orduan ${\displaystyle d'\mid \operatorname {zkh} (m,n)}$${\displaystyle \ d'}$
6. ${\displaystyle \ m=nq+r}$ bada, orduan ${\displaystyle \operatorname {zkh} (m,n)=\operatorname {zkh} (n,r)}$
7. ${\displaystyle \ m=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}\;\,\mathrm {y} \;\,n=p_{1}^{\beta _{1}}\cdots p_{k}^{\beta _{k}},\;\,\alpha _{i},\beta _{i}\geq 0,\;\,i=1,...,k}$ izanik, ${\displaystyle \operatorname {zkh} (m,n)=p_{1}^{\operatorname {min} (\alpha _{1},\beta _{1})}\cdots p_{k}^{\operatorname {min} (\alpha _{k},\beta _{k})}}$
8. ${\displaystyle zkh(a,b)=d}$ bada, honakoa betetzen duten ${\displaystyle x}$ eta ${\displaystyle y}$ bi zenbaki oso existitzen dira: ${\displaystyle ax+by=d}$. Propietate honi Bézouten identitatea deritzo eta Euklidesen algoritmo hedatuaren bitartez kalkula daitezke ${\displaystyle x}$ eta ${\displaystyle y}$.

Alde batetik, zkh zatikiak sinplifikatzeko erabiltzen da. Esaterako ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {48}{60}}}$ zatikia sinplifikatzeko, lehenengo zkh(60, 48) = 12 kalkulatzen da, hasieran genuen zatikiaren izendatzaile eta zenbakitzailea 12gatik zatituz eta horrela sinplifikatutako zatikia lortuz: ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {4}{5}}}$.

Zkh bi zenbakiren multiplo komun txikiena kalkulatzeko ere erabil daiteke. Bi zenbakiren biderketaren emaitza zatitzaile komun handienaren eta multiplo komun txikienaren arteko biderketaren emaitzaren berdina da eta. Hau baliatuz, adibidez, 48 eta 60 zenbakien multiplo komun txikiena kalkulatzeko, hasteko zkh kalkulatuko dugu: 12. Eta hori oinarritzat hartuta, badakigu mkt ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {48\cdot 60}{12}}=240}$ dela.

Zkh eta Euklidesen algoritmoa bi ezezaguneko ekuazio diofantiko linealen ebazpenean erabiltzen dira.

Eta horrez gain, Euklidesen algoritmoa frakzio jarraituko zenbaki arrazional baten garapenean erabiltzen da.

Aplikazio praktiko bat adibidez izan daiteke eduki ezberdinetako ur basoekin bolumen konkretu bat lortu dezakegun jakitea da eta hare gehiago nola egin dezakegun jakitea horretarako zkh a kalkultu eta hau biderkatuz zenbaki bat osatu dezakegu

Zatitzaile kontzeptua dugunez, f eta g polinomioen zatitzaile komunak kontuan har ditzakegu eta “handiena” zein den zehaztu. Zenbakiak ez bezala, polinomioak ez daude guztiz ordenatuta. Mailaren arabera hautatu behar dugu “handiena”, baina ez dago aldez aurretik bermatuta horrek zatitzaile komun bakarra emango duen edo ez. Definizioa maila kontuan hartu barik egingo dugu eta existentzia frogatu egin beharko dugu. Hona hemen adibide bat:

Izan bitez f, g ∈ K[x] polinomio ez-nuluak. Polinomio bat, d ∈ K[x], f eta g-ren zatitzaile komun handiena da propietate hauek betetzen baditu:

• f eta g-ren zatitzailea da;
• p polinomioa f eta g-ren zatitzailea bada, d-ren zatitzailea da;
• monikoa da, hau da, maila handieneko monomioaren koefizientea 1 da;

Definizio horren (ii) baldintzak ziurtatzen du f eta g-ren beste edozein zatitzaileren maila ezin dela izan d-rena baino handiagoa. Gainera, moniko izatearen baldintzak ziurtatuko du definitzen dugun zatitzaile komun handiena bakarra dela.

Ikus dezagun ezin dela baldintzak betetzen dituen polinomio bat baino gehiago egon. Eskaturikoa betetzen duten d eta h polinomioak baleude, d h-ren zatitzailea eta h d-ren zatitzailea izan beharko lirateke, eta horrek biak maila berekoak izatea eskatzen du. Baina, orduan, h = αd da, α ∈ K baterako. Biak monikoak badira, α = 1 da.

Badakigu zatitzaile komun handienaren definizioa ez duela polinomio batek baino gehiagok beteko, baina ez dakigu beteko duen polinomiorik ote dagoen. Bide bi erakutsiko ditugu: lehenak existentzia frogatuko du modu erraz samarrean, baina ez digu zatitzaile komun handiena eraikiko; bestea, Euklidesen algoritmoaren bidez egingo dugu eta Bézouten identitateak ziurtatuko du lortutako polinomioak definizioak eskatutakoa betetzen duela.

• Multiplo komun txikiena
• Zenbaki lehena
• Izendatzaile komun txikiena
• Zenbaki arruntak