Feuille brownienne

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En mathématiques, une feuille brownienne est une généralisation multiparamétrique du mouvement brownien à un champ gaussien, plus précisément une généralisation du paramètre "temps" ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$ d'un mouvement brownien ${\displaystyle B_{t}}$ de temps ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}^{n}}$.

La dimension exacte ${\displaystyle n}$ de l'espace du nouveau paramètre temporel varie selon les auteurs. L'article présent suit John B. Walsh et définit la feuille (n,d)-brownienne, tandis que certains auteurs définissent la feuille brownienne spécifiquement uniquement pour ${\displaystyle n=2}$^[1].

Un processus gaussien ${\displaystyle B=(B_{t},t\in \mathbb {R} _{+}^{n})}$ de dimension ${\displaystyle d}$ est une (n,d)-feuille brownienne, si

• la moyenne est ${\displaystyle \mathbb {E} [B_{t}]=0}$ pour tous ${\displaystyle t=(t_{1},\dots t_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}$
• la fonction de covariance est^[2]

${\displaystyle \operatorname {cov} (B_{s}^{(i)},B_{t}^{(j)})={\begin{cases}\prod \limits _{l=1}^{n}s_{l}\wedge t_{l}&{\text{si }}i=j,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}}$

pour tous ${\displaystyle 1\leq i,j\leq d}$.

• ${\displaystyle B(0,t_{2},\dots ,t_{n})=B(t_{1},0,\dots ,t_{n})=\cdots =B(t_{1},t_{2},\dots ,0)=0}$ presque sûrement.

• La ${\displaystyle (1,1)}$-feuille brownienne est le mouvement brownien en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$.
• La ${\displaystyle (1,d)}$-feuille brownienne est le mouvement brownien en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.
• La ${\displaystyle (2,1)}$-feuille brownienne ${\displaystyle X_{t,s}}$ est le mouvement brownien de dimension ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ et de temps ${\displaystyle (t,s)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}}$.

• John B. Walsh, An introduction to stochastic partial differential equations, Springer Berlin Heidelberg, 1986 (ISBN 978-3-540-39781-6), p. 269
• Davar Khoshnevisan, Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields, Springer (ISBN 978-0387954592)

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