Théorème de Jacobi (géométrie)
En géométrie, le théorème de Jacobi, ou théorème de Fermat-Toricelli généralisé ou théorème isogonal désigne un résultat de géométrie du triangle[1]. Un point de Jacobi est un point du plan euclidien déterminé par un triangle ABC et un triplet d'angles α, β et γ. Cette information est suffisante pour déterminer trois points X, Y et Z tels que , et . Puis, par un théorème de Karl Friedrich Andreas Jacobi (de), les droites (AX), (BY) et (CZ) sont concourantes[2],[3],[4] en un point N qu'on appelle point de Jacobi[4].
Le point de Jacobi est une généralisation du point de Fermat, qui s'obtient en prenant α = β = γ = 60° et le triangle ABC sans angle étant supérieur ou égal à 120°.
Si les trois angles ci-dessus sont égaux, alors N se trouve sur l'hyperbole équilatère donnée en coordonnées barycentriques par
qui est donc l'hyperbole de Kiepert. Chaque choix de trois angles égaux détermine un centre du triangle.
Applications
[modifier | modifier le code]Les théorèmes de Lemoine, sur l'existence du point de Lemoine, et de Kariya peuvent se démontrer avec le théorème de Jacobi.
- Théorème de Kariya
Dans un triangle ABC de centre de gravité I, soit XYZ son triangle de Gergonne, avec X sur [BC], Y sur [CA], Z sur [AB]. On considère, pour un nombre réel t, le triangle XtYtZt, image de XYZ par homothétie de centre I et de rapport t. Alors pour tout t, les droites (AXt), (BYt), (CZt) sont concourantes en un point Pt. De plus, quand t varie, Pt parcourt l'hyperbole de Feuerbach.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacobi's theorem (geometry) » (voir la liste des auteurs).
- Jean-Louis Aymé, « Le théorème de Jacobi - Une nouvelle approche synthétique » [archive] [PDF]
- (en) Michael de Villiers, Some Adventures in Euclidean Geometry, Dynamic Mathematics Learning, , 138–140 p. (ISBN 9780557102952)
- (en) Glenn T. Vickers, « Reciprocal Jacobi Triangles and the McCay Cubic », Forum Geometricorum, vol. 15, , p. 179–183 (lire en ligne)
- (en) Glenn T. Vickers, « The 19 Congruent Jacobi Triangles », Forum Geometricorum, vol. 16, , p. 339–344 (lire en ligne)
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Liens externes
[modifier | modifier le code]- (en) une preuve simple du théorème de Jacobi de Kostas Vittas