C*-álxebra

As C-álxebras estúdanse en análise funcional e utilízanse nalgunhas formulacións da mecánica cuántica. Unha C-álxebra é un álxebra de Banach sobre o corpo dos números complexos, xunto cunha función *: A → A chamada involución que ten as propiedades seguintes:

• ${\displaystyle (x+y)_{}^{*}=x_{}^{*}+y_{}^{*}}$ para todo x, y en A
• ${\displaystyle (\lambda x)_{}^{*}={\bar {\lambda }}x_{}^{*}}$ para cada λ en C e cada x en A; aquí, λ^* significa a conxugación complexa de λ.
• ${\displaystyle (xy)_{}^{*}=y_{}^{*}x_{}^{*}}$ para todo x, y en 'A
• ${\displaystyle (x_{}^{*})_{}^{*}=x}$ para todo x en A
• a C* identidade:

${\displaystyle \|xx_{}^{*}\|=\|x\|_{}^{2}}$ para todo x en A.

As álxebras C* son tamén * álxebras.

Se se omite a última propiedade, falamos dunha B*-álxebra.

Polo teorema de Gelfand-Naimark, as C-álxebras son (módulo un isomorfismo) exactamente aquelas álxebras de operadores limitados nos espazos de Hilbert que son pechadas na topoloxía da norma e baixo tomar adxuntos, coa función de involución dada polo tomar adxunto.

A función f: A → B entre B^*-álxebras A e B chámase un *-homomorfismo se:

• f é C-lineal
• f(xy) = f(x)f(y) para x e y en A
• f(x^*) = f(x)^* para x en A.

Tal función f é automaticamente continua. Se f é bixectiva, entón a súa inversa é tamén un *-homorfismo e f chámase un *-isomorfismo e A e B dinse *-isomorfos. Nese caso, A e B son para todos os propósitos practicamente iguais; diferéncianse soamente na notación dos seus elementos. A estrutura dunha C*-álxebra forza calquera *-homomorfismos a ser contractivos; e un homomorfismo é inxectivo se e soamente se é isométrico.

A álxebra de n-por-n matrices sobre C convértese nunha C^*-álxebra se utilizamos a norma da matriz ||.||₂ que xorde como a norma de operador da norma euclidiana en Cⁿ. A involución vén dada pola trasposta conxugada. O exemplo motivante dunha C^*-álxebra é a álxebra dos operadores lineais continuos definidos nun espazo de Hilbert complexo H; aquí x^* denota o operador adxunto do operador x: H → H. De feito, cada C^*-álxebra é *-isomorfa a unha subálxebra pechada de tal álxebra de operadores para un espazo de Hilbert H conveniente; este é o contido do teorema de Gelfand-Naimark.

Un exemplo dunha C^*-álxebra conmutativa é a álxebra C(X) de todas as funcións continuas complexo-valoradas definidas nun compacto de Hausdorff X. Aquí a norma dunha función é o supremo do seu valor absoluto, e a operación estrela é a conxugación complexa. Cada C^*-álxebra conmutativa con elemento unidade é *-isomorfa a unha tal álxebra C(X) usando a representación de Gelfand.

Se un parte dun espazo localmente compacto de Hausdorff X e considera as funcións continuas complexo-valoradas en X que se anulan no infinito (definido no artigo sobre a compacidade local), entón estas forman unha C^*-álxebra conmutativa C₀(X); se X non é compacto, entón C₀(X) non ten elemento unidade. Unha vez máis a representación de Gelfand demostra que cada C^*-álxebra conmutativa é *-isomorfa a unha álxebra da forma C₀(X).

As álxebras de von Neumann, coñecidas como W* álxebras antes dos anos 60, son unha clase especial de C* álxebras. Requíreselles ser pechadas nunha topoloxía que é máis débil que a topoloxía da norma. O seu estudo é unha rama en si mesma das matemáticas, á parte das C-álxebras.

En teoría cuántica de campos, descríbese tipicamente un conxunto físico cunha C*-álxebra A con elemento unidade; os elementos auto-adxuntos de A (elementos x con x* = x) interprétanse como observables, as cantidades medibles, do sistema. Un estado do sistema defínese como unha funcional positiva en A, unha función C-lineal φ: A → C con φ(u, u*) > 0 para todo u ∈ A, tal que φ(1) = 1. O valor esperado do observable x, se o sistema está no estado φ, é entón φ(x).

• Física local cuántica
• Álgebra
• Álxebra asociativa
• * álgebra
• B*-álxebra