Ugrás a tartalomhoz

Szimplex

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A 2 dimenziós szimplex egy szabályos háromszög

A szimplex a matematikában a háromszög illetve a tetraéder általánosítása végesdimenziós vektortérre. n dimenziós vektortérben n+1 affin független (azaz nem egy hipersíkba eső) pont konvex burkaként fogalmazható meg.

Jellemzése

[szerkesztés]
  • egy n dimenziós szimplexnek létezik (n-1) dimenziós, (n-2) dimenziós,…, i dimenziós, …, 2 dimenziós, 1 dimenziós, 0 dimenziós lapja;
  • egy ilyen k dimenziós lap pontosan egy k dimenziós szimplexnek felel meg
  • 0 dimenziós lapok a csúcsokat jelentik, ebből n dimenziós szimplex esetén n+1 darab van
  • 1 dimenziós lapok az éleket jelentik, ebből n·(n + 1)/2 darab van
  • az i dimenziós lapok számát pedig binomiális együttható adja meg.

Példák

[szerkesztés]
  • A 0 dimenziós szimplex: azon x1 nemnegatív (pozitív vagy 0) koordinátájú pontok halmaza az 1 dimenziós euklideszi térben (számegyenesen), amelyekre x1 = 1. Ez egy pont.
  • Az 1 dimenziós szimplex: azon (x1, x2) nemnegatív koordinátájú pontok halmaza a 2 dimenziós euklideszi térben (számsíkon), amelyekre x1 + x2 = 1. Ez egy szakasz.
  • A 2 dimenziós szimplex: azon (x1, x2, x3) nemnegatív koordinátájú pontok halmaza a 3 dimenziós euklideszi térben, amelyekre x1 + x2 + x3 = 1. Ez egy oldalú szabályos háromszög.
  • 1 dimenziós szimplex egy A1A2 szakasz
    • csúcsainak száma: 1+1=2
  • 2 dimenziós szimplex a szabályos háromszög
    • csúcsainak száma: 2+1=3
    • éleinek száma: , ez az él pedig pontosan a 2-1 dimenziós szimplex
  • 3 dimenziós szimplex a szabályos tetraéder
    • csúcsainak száma: 3+1=4
    • éleinek száma:
    • lapjainak száma pedig , ezek a lapok szabályos háromszögek, vagyis a 2 dimenziós szimplexek
  • 4 dimenziós szimplexet származtathatjuk a következőképpen:
    • a szabályos tetraéder belsejében, melynek csúcsait jelöljük A, B, C, D-vel, a 4. dimenzió mentén vegyünk fel egy E pontot, melyre teljesül, hogy az EA = EB = EC = ED = AB (azaz bármely két pont távolsága egyenlő).
    • Az E pontot összekötve A-val, B-val, C-vel és D-vel egy 5 csúcsú, 10 élű, 10 lapú, és 5 tetraéder, mint 3 dimenziós lapot tartalmazó poliédert kapunk

További tulajdonságok

[szerkesztés]
  • Tekintsük esetén az n dimenziós teret. Ha ebben A0, A1, …Ai,…An n+1 darab pont, és az ezekbe mutató helyvektorokból képzett , , …, vektorok lineárisan függetlenek, akkor az Ai pontok konvex burka egy n dimenziós szimplex.
  • A szimplexeket egyszerűen ábrázolhatjuk gráfok segítségével: egy n dimenziós szimplexnek egy n+1 csúcsú teljes gráf felel ekkor meg.
Az első néhány szimplex gráfja
Név Pont Szakasz Háromszög Tetraéder
Dimenzió 0 1 2 3 4 5 6 7
Csúcsok száma 1 2 3 4 5 6 7 8
Gráf

Az információelméletben

[szerkesztés]

Lásd még

[szerkesztés]

Források

[szerkesztés]