Konjektur abc

Konjektur abc, atau dikenal juga sebagai konjektur Oesterlé–Masser, adalah konjektur dalam teori bilangan yang mengatakan tiga bilangan bulat positif ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ relatif prima sehingga memenuhi bahwa ${\displaystyle a+b=c}$. Konjektur ini pada awalnya mengatakan bahwa hasil kali dari faktor bilangan prima ${\displaystyle abc}$ yang berbeda tidak terlalu lebih kecil dari ${\displaystyle c}$. Konjektur abc dihasilkan dari diskusi Joseph Oesterlé dan David Masser di tahun 1985.^[1][2] Seorang matematikawan bernama Dorian Goldfeld mengatakan bahwa konjektur abc merupakan "masalah terpenting yang belum terpecahkan dalam analisis Diophantus."^[3]

Asal-usul konjektur abc berawal pada saat Oesterlé dan Masser mencoba memahami konjektur Szpiro tentang kurva eliptik,^[4] yang melibatkan lebih banyak struktur geometris dalam pernyataannya dibandingkan dengan konjektur abc. Konjektur abc menunjukkan ekuivalen dengan konjektur Szpiro yang diperbaharui.^[1]

Konjektur abc telah dibuktikan dengan berbagai cara. Akan tetapi, tidak ada satupun bukti yang diterima oleh para komunitas matematika. Hngga pada tahun 2020, knjektur tersebut masih dianggap belum terpecahkan.^[5]

Jika ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ adalah bilangan bulat positif koprima sehingga ${\displaystyle a+b=c}$, maka "biasanya" ${\displaystyle c<\operatorname {rad} (abc)}$. Konjektur abc berkenaan dengan pengecualian, atau lebih khususnya mengatakan:

Untuk setiap bilangan real positif ${\displaystyle \epsilon }$, maka hanya terdapat terhingga banyaknya rangkap tiga ${\displaystyle (a,b,c)}$ dari bilangan bulat positif koprima, dengan ${\displaystyle a+b=c}$ sehingga ${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }.}$^[6]

Disini, ${\displaystyle \operatorname {rad} }$ berarti radikal bilangan bulat. Perumusan ekuivalennya adalah: untuk setiap bilangan real positif ${\displaystyle \epsilon }$, terdapat sebuah konstan ${\displaystyle K_{\epsilon }}$ sehingga untuk semua rangkap tiga ${\displaystyle (a,b,c)}$ dari bilangan bulat positif koprima, dengan ${\displaystyle a+b=c}$, maka ${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$^[6]

• Goldfeld, Dorian (1996). "Beyond the last theorem". Math Horizons. 4 (September): 26–34. doi:10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR 25678079. 
• Oesterlé, Joseph (1988), "Nouvelles approches du "théorème" de Fermat", Astérisque, Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN 0303-1179, MR 0992208 
• Waldschmidt, Michel (2015). "Lecture on the abc Conjecture and Some of Its Consequences" (PDF). Mathematics in the 21st Century. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. 98. hlm. 211–230. doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN 978-3-0348-0858-3.