Distribuzione di Bernoulli

Una variabile aleatoria discreta ${\displaystyle X}$  ha distribuzione di Bernoulli ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$  di parametro ${\displaystyle p\in [0,1]}$  se e solo se

${\displaystyle P(X=1)=p,}$ 

${\displaystyle P(X=0)=q=1-p,}$ 

ossia

${\displaystyle P(X=i)=p^{i}(1-p)^{1-i}}$  per ${\displaystyle i=0,1.}$ 

Il valore atteso è

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=0\cdot p^{0}(1-p)^{1-0}+1\cdot p^{1}(1-p)^{1-1}=p,}$ 

e la varianza è

${\displaystyle \mathrm {Var} (X)=pq=p(1-p).}$ 

Un processo di Bernoulli è una successione di variabili aleatorie indipendenti ${\displaystyle X_{i}}$  di uguale distribuzione di Bernoulli ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$ , dette prove di Bernoulli. Da tale processo si possono definire le seguenti ulteriori leggi. La distribuzione binomiale descrive la probabilità del numero di successi in ${\displaystyle n}$  prove di Bernoulli, ovvero della variabile aleatoria

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}.}$ 

La distribuzione geometrica e più in generale la distribuzione di Pascal descrivono il tempo del primo e del ${\displaystyle k}$ -esimo successo rispettivamente, ovvero le variabili aleatorie ${\displaystyle T=T_{1}}$  e ${\displaystyle T_{k}}$  definite come

${\displaystyle T_{k}=\min\{t\colon S_{t}=k\}.}$ 

• Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Introduzione alla statistica, McGraw-Hill, 1991.
• Paolo Baldi, Calcolo delle probabilità e statistica, 2ª ed., McGraw-Hill, 1998, ISBN 9788838607370.
• Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2.

• Distribuzione binomiale
• Distribuzione geometrica
• Distribuzione di Pascal
• Variabile casuale
• Processo di Bernoulli

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• Bernoulli, distribuzione di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) standardized random variable, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione di Bernoulli, su MathWorld, Wolfram Research.