Formula prodotto di Eulero

Partiamo dalla funzione zeta:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$ 

se moltiplichiamo entrambi i termini per ${\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}}$  abbiamo che:

${\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\cdots }$ 

Sottraendo la seconda espressione dalla prima:

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots }$ 

In questa serie non compaiono denominatori pari.
Moltiplicando per il primo termine (dopo l'uno) rimasto si ottiene:

${\displaystyle {\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+\cdots }$ 

Sottraendo l'ultima alla penultima espressione, abbiamo che:

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\cdots }$ 

In questo procedimento abbiamo eliminato, prima tutti i multipli di due poi tutti i multipli del primo numero rimasto cioè tre, se poi lo facciamo di nuovo con cinque vedremo eliminati tutti i multipli di cinque:

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\cdots }$ 

Stiamo progressivamente eliminando tutti i multipli di ogni numero rimasto dopo l'uno (e che quindi è un numero primo visto che non è multiplo di nessun altro numero più piccolo). I numeri del prodotto prima dell'uguale quindi saranno tutti primi. Quindi ripetendo infinite volte il procedimento:

${\displaystyle \cdots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1}$ 

E in conclusione:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)}}\cdots =\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$ 

Q.E.D

si può considerare il termine

${\displaystyle {\frac {1}{1-p^{-s}}}}$ 

come il numero a cui converge la serie geometrica

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(p^{s})^{n}}}=1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{p^{3s}}}+{\frac {1}{p^{4s}}}+\cdots ={\frac {1}{1-p^{-s}}}}$ 

Quindi il prodotto di Eulero diviene:

${\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{2^{2s}}}+{\frac {1}{2^{3s}}}+\cdots \right)\left(1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{3^{2s}}}+{\frac {1}{3^{3s}}}+\cdots \right)\left(1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{5^{2s}}}+{\frac {1}{5^{3s}}}+\cdots \right)\cdots }$ 

E svolgendolo

${\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\left(1+{\frac {1}{(1\cdot 2)^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot 3)^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot 5)^{s}}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{(1\cdot {2^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot {3^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot {5^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots }$ 

${\displaystyle +\left({\frac {1}{(2\cdot 3)^{s}}}+{\frac {1}{(2\cdot 5)^{s}}}+{\frac {1}{(2\cdot 7)^{s}}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{({2^{2}}\cdot {3^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({2^{2}}\cdot {5^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({2^{2}}\cdot {7^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots }$ 

${\displaystyle +\left({\frac {1}{(3\cdot 5)^{s}}}+{\frac {1}{(3\cdot 7)^{s}}}+{\frac {1}{(3\cdot 11)^{s}}}+\cdots \right)+\left(+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {5^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {7^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {11^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots }$ 

È chiaro che nel termine a destra dell'uguale appariranno prima o poi tutte le possibili combinazioni di numeri primi possibili (e a qualsiasi potenza). Per il teorema fondamentale dell'aritmetica abbiamo che queste combinazioni forniscono tutti i numeri naturali. Possiamo dunque riordinare i termini così:

${\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$ 

Quindi:

${\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$ 

Q.E.D

Tramite questa formula Eulero diede una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi. Infatti se si inserisce nella formula il numero 1 si ha:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}}$ 

E siccome la somma nel primo membro è la serie armonica, che diverge, anche il prodotto deve farlo. Ma ciò è possibile solo se i suoi membri sono infiniti e quindi se esistono infiniti numeri primi.

Attraverso le dimostrazioni si può generalizzare questa formula per ogni funzione moltiplicativa a(x):

${\displaystyle \sum _{n}{\frac {a(n)}{n^{s}}}\ =\prod _{p}P(p,s)\ }$ 

Dove P(p,s) è la serie:

${\displaystyle 1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .}$ 

Moltissime funzioni possono essere espresse con il prodotto di Eulero. Queste funzioni danno origine a prodotti molto simili a quello sopra illustrato per la funzione zeta di Riemann. Capita dunque di trovare collegamenti tra queste serie di funzioni e la funzione zeta. Ad esempio:

Il prodotto di Eulero per la funzione di Moebius ${\displaystyle \mu (n)}$  :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-s}=\prod _{p}(1-p^{-s})={\frac {1}{\zeta (s)}}}$ .

E quello per il suo valore assoluto:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|\mu (n)|n^{-s}=\prod _{p}(1+p^{-s})={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}$ .

Il prodotto per la funzione di Liouville:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)n^{-s}=\prod _{p}(1+p^{-s})^{-1}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}}$ .

E altri che utilizzano la funzione zeta come:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{\omega (n)}n^{-s}=\prod _{p}{\Big (}{\frac {1+p^{-s}}{1-p^{-s}}}{\Big )}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}$ 

Dove ${\displaystyle \omega (n)}$  è il numero di fattori primi distinti di n

E anche

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-1)}$ 

dove ${\displaystyle \sigma (n)}$  è la somma di tutti i divisori di ${\displaystyle n}$  (${\displaystyle 1}$  e ${\displaystyle n}$  compresi).

• (EN) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
• John Derbyshire, L'ossessione dei numeri primi, Bollati Boringhieri, 2006, ISBN 88-339-1706-1

• Funzione zeta di Riemann
• Eulero

• Eulero, prodotto di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Opere riguardanti Euler products, su Open Library, Internet Archive.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Euler Product, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Euler product, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.