Superficie alettata

Una superficie alettata (o alettatura) è una parete avente una superficie interna (lato processo) ed una superficie esterna (lato ambiente) con aree assai differenti: questo permette al fluido raffreddante, in genere aria, di scambiare più velocemente calore. L'aria ha infatti un basso coefficiente di scambio termico, e per aumentarlo è quindi necessario impiegare una superficie di scambio abbastanza estesa.

Si utilizza quindi una superficie alettata quando si voglia massimizzare il calore scambiato tra due ambienti a temperatura diversa.^[1]

Solitamente tale soluzione viene impiegata nei motori endotermici raffreddati ad aria, in cui occorre un'alettatura più abbondante attorno alla testa ed alla sommità del cilindro, perché in quei punti si produce più calore^[2], e quindi è necessario smaltirne in maniera maggiore; il passo dell'alettatura è quanto più possibile piccolo (3÷8 mm), mentre lo spessore è solitamente compreso tra 1,5 e 4 mm.

Al fine di eseguire un calcolo del calore scambiato da una aletta è necessario effettuare un bilancio energetico del calore in gioco sia per conduzione sia per convezione. Con riferimento alla figura a fianco, si ipotizza per semplicità che l'aletta sia sottile, cioè ${\displaystyle s/L\simeq 0}$, dove con s si indica lo spessore dell'aletta e con L la lunghezza della stessa. Con questa semplificazione, si assume che la temperatura sia costante su ogni sezione dell'aletta sottile, cioè che T=T(x).

Ci si pone ora in una sezione dell'aletta di lunghezza infinitesima dx, e per comodità si assume che la profondità valga 1. L'equazione di bilancio di calore per l'aletta è data da:

${\displaystyle \,Q_{1}=Q_{2}+2Q_{3}}$

dove con Q₁ si intende il calore entrante nella sezione dell'aletta (per conduzione), con Q₂ quello uscente (per conduzione) e con Q₃ il calore scambiato con l'ambiente (per convezione). In base alla legge di Fourier per una lastra piana, si ha:

${\displaystyle Q_{1}=-{\lambda {\frac {dT}{dx}}(s\cdot 1)}}$

essendo λ la conducibilità termica dell'aletta.

Analogamente:

${\displaystyle Q_{2}=Q_{1}+dQ_{1}=-{\lambda {\frac {dT}{dx}}(s\cdot 1)}-{\lambda {\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}(s\cdot 1)dx}}$

Per quanto riguarda il calore Q₃, si devono richiamare le leggi della convezione; si può dire dunque che:

${\displaystyle Q_{3}=dx\cdot h\cdot (T-T_{f})}$

dove per h si intende il coefficiente di convezione e per T_f la temperatura del fluido che circonda l'aletta.
Si ha quindi:

${\displaystyle {\lambda {\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}(s\cdot 1)dx}=2dx\cdot h\cdot (T-T_{f})}$

Tale equazione può ora essere riscritta come segue:

${\displaystyle {\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}-{2h \over \lambda s}(T-T_{f}\;)=0}$

Per risolvere la precedente equazione differenziale, conviene porre

${\displaystyle \theta =T-T_{f}}$

e

${\displaystyle m^{2}={2h \over \lambda s}}$

A questo punto l'equazione differenziale può essere scritta nel seguente modo:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}-m^{2}\theta =0}$.

Quindi è possibile risolvere l'equazione differenziale associando le seguenti condizioni al contorno:

${\displaystyle \theta (x=0)=\theta _{p}}$

${\displaystyle \left({\frac {d\theta }{dx}}\right)_{x=L}=0}$

La soluzione dell'equazione differenziale è:

${\displaystyle \theta =\theta _{p}e^{-mx}\left({\frac {e^{2mL}+e^{2mx}}{1+e^{2mL}}}\right)}$.

Dal momento che nelle alette comuni ${\displaystyle mL\to 0}$, la soluzione dell'equazione differenziale è data da:

${\displaystyle \theta =\theta _{p}e^{-mx}}$

Il calore scambiato dall'aletta è uguale a quello scambiato per convezione, ovvero:

${\displaystyle Q=2\int _{0}^{L}h(T-T_{f})dx=2h\int _{0}^{L}\theta dx=2h\theta _{p}\left(-{\frac {1}{m}}\right)\left[e^{-mx}\right]_{0}^{L}}$

nell'ipotesi che ${\displaystyle mL\to \infty }$ si ottiene che:

${\displaystyle Q=2h\theta _{p}\;{\sqrt[{}]{\frac {\lambda s}{2h}}}}$

Si definisce vantaggio dell'aletta ε, il rapporto tra Q e Q₀, dove Q è il calore scambiato dall'aletta e Q₀ il calore scambiato dalla parete se non ci fosse l'aletta. Pertanto:

${\displaystyle Q_{0}=hs(T_{p}-T_{f}\;)=hs\theta _{p}}$.

ε dunque risulta uguale a:

${\displaystyle \epsilon ={\frac {Q}{Q_{0}}}={\frac {2h\theta _{p}\;{\sqrt[{}]{\frac {\lambda s}{2h}}}}{hs\theta _{p}}}=2\;{\sqrt[{}]{\frac {\lambda }{2hs}}}}$

Si definisce efficienza dell'aletta η il rapporto tra Q e Q_MAX, dove Q è il calore scambiato e Q_MAX il calore massimo scambiabile, ovvero nelle condizioni di temperatura dell'aletta uniforme e uguale al suo valore massimo T_p. Si ha:

${\displaystyle Q_{MAX}=2Lh\theta _{p}}$.

${\displaystyle \eta ={{\frac {Q}{Q_{MAX}}}={\frac {2h\theta _{p}\;{\sqrt[{}]{\frac {\lambda s}{2h}}}}{2Lh\theta _{p}}}={\frac {1}{L}}\;{\sqrt[{}]{\frac {\lambda s}{2h}}}}}$

Valori di η per le alette più comuni sono di circa il 90÷95%.

• (EN) Warren Lee McCabe, Julian Cleveland Smith, Peter Harriott, Unit operations of chemical engineering, 6ª ed., McGraw Hill, 2001, pp. 449-455, ISBN 0-07-039366-4.
• AE Biermann, NACA The design of fins for air-cooled cylinders, su Report Nº 726, 1941. URL consultato il 15 gennaio 2012 (archiviato dall'url originale il 2 febbraio 2012).

• Dissipatore (elettronica)
• Raffreddamento ad aria

V · D · M Scambio termico
Modalità	Conduzione · Convezione · Irraggiamento
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