Rymano integralas

Šį puslapį ar jo dalį reikia sutvarkyti pagal Vikipedijos standartus – neenciklopedinis stilius Jei galite, sutvarkykite.

Rymano integralas (angl. Riemann integral) – matematinės analizės sąvoka, kuria apibendrinama funkcijos, grafiku ribojamos srities geometrinėje plokštumoje, ploto samprata.^[1] Vienas iš apibrėžtinio integralo apibrėžimų, pasiūlytas vokiečių matematiko Georgo Rymano. Kaip ir kiti apibrėžtinio integralo variantai, Rymano integralas naudojamas skaičiuoti plotui, tūriui, masei ir kitiems adityviems dydžiams.

Pirmiausia sudaroma funkcija, vadinama Rymano integralinė suma. Ji apibrėžiama labai panašiai kaip ir Darbu sumos.

Tegul funkcija ${\displaystyle f(x)}$ apibrėžta intervale ${\displaystyle [a;b]}$. Intervalas suskaidomas tokiu būdu:

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b}$

Gautų intervalų ilgiai žymimi ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$. Jų iš viso yra ${\displaystyle n}$. Ilgiausio gabaliuko ilgį pažymėkime ${\displaystyle \Delta }$, t. y. ${\displaystyle \Delta =max(\Delta x_{i})}$ . Toks intervalo skaidinys vadinamas ${\displaystyle T}$.

Kiekviename skaidinio gabaliuke bet kur parenkami taškai:

${\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i-1};x_{i}]}$.

Toks taškų parinkimą simboliškai žymimas ${\displaystyle \xi }$. Sudaroma suma:

${\displaystyle I(x_{i},\xi _{i})=f(\xi _{1})\Delta x_{1}+f(\xi _{2})\Delta x_{2}+...+f(\xi _{n})\Delta x_{n}=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}}$.

Geometriškai, ši suma reiškia stačiakampių, besikertančių (besiliečiančių) su kreivine trapecija, plotų sumą. Šių stačiakampių kraštinės yra ${\displaystyle f(\xi _{i})}$ ir ${\displaystyle \Delta x_{i}}$. Priešingai, nei Darbu sumos, ši suma priklauso ne tik nuo to, kaip skaidomas intervalas, bet ir nuo taškų parinkimo, t. y. ${\displaystyle S}$ yra ${\displaystyle T}$ ir ${\displaystyle \xi }$ funkcija.

Integralinė suma pasižymi tokiomis savybėmis:

• ${\displaystyle \forall T}$ ir ${\displaystyle \forall \xi }$ galioja nelygybė:

${\displaystyle s(T)\leq S(T,\xi )\leq S(T)}$.

Čia ${\displaystyle s(T)}$ ir ${\displaystyle S(T)}$ yra Darbu sumos.

• Galioja sąryšiai:

${\displaystyle \forall T:s(T)=\inf _{\xi }S(T,\xi )}$

${\displaystyle \forall T:S(T)=\sup _{\xi }S(T,\xi )}$

t. y. minimali integralinės sumos vertė keičiant taškų parinkimą yra apatinė Darbu suma, maksimali vertė – viršutinė Darbu suma.

Geometriškai šios savybės akivaizdžios, nes pagal apibrėžimą, ${\displaystyle s(T)}$ ir ${\displaystyle S(T)}$ yra atitinkamai mažiausia ir didžiausia įmanoma integralinės sumos vertės.

Sudaroma funkcijos ${\displaystyle f(x)}$ integralinė suma. Jeigu riba, kai intervalo gabaliukų didžiausias ilgis ${\displaystyle \Delta }$ artėja į nulį, turi baigtinę vertę ir nepriklauso nei nuo taškų parinkimo, nei nuo intervalo skaidymo būdo, sakoma, kad funkcija ${\displaystyle f(x)}$ yra integruojama intervale ${\displaystyle [a;b]}$ Rymano prasme ir žymima:

${\displaystyle \lim _{\Delta \rightarrow 0}I(x_{i},\xi _{i})=I=\int \limits _{a}^{b}f(x)\;{\mathsf {d}}x=\Phi (b)-\Phi (a)}$

Dydžiai ${\displaystyle a}$ ir ${\displaystyle b}$ vadinami integravimo rėžiai.

Geometriškai Rymano integralas reiškia plotą, po kreivine trapecija, kuri apribota tiesėmis ${\displaystyle x=a,\;x=b}$, x ašimi ir funkcija ${\displaystyle f(x)}$ (apie kitus taikymus žr. taikymų skyrelyje).

Iš integralinės sumos apibrėžimo aišku, kad, jeigu ${\displaystyle f(x)}$ intervale ${\displaystyle [a;b]}$ yra neaprėžta, tai kažkuriame skaidinio gabaliuke galime imti tašką ${\displaystyle \xi _{i}}$, su kuriuo dydis ${\displaystyle f(\xi _{i})}$ bus kiek norima didelis. Taigi ir integralinės sumos riba bus neapibrėžta, t. y. augs į begalybę. Geometriškai tai reiškia, kad funkcija, kuri bent viename intervalo taške artėja į begalybę, neriboja baigtinio ploto – plotas po ja yra begalinis.

Jeigu funkcija intervale ${\displaystyle [a;b]}$ yra aprėžta, t. y. tenkina būtiną integruojamumo sąlygą, tai dar nereiškia, kad ji yra integruojama Rymano prasme. Kaip pavyzdį galime pateikti funkciją ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\mbox{ kai }}x\neq 0\\0,&{\mbox{ kai }}x=0\end{cases}}}$, kuri yra apibrėžta, bet nėra integruojama intervale [-1; 1].

Kad funkcija būtų integruojama, ji turi tenkinti tokią sąlygą:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists T:S(T)-s(T)<\varepsilon }$

Čia ${\displaystyle S(T)}$ ir ${\displaystyle s(T)}$ yra Darbu sumos. Jei tenkinama ši sąlyga, tai funkcija yra integruojama Rymano prasme ir atvirkščiai: jeigu funkcija yra integruojama Rymano prasme – teisinga ši sąlyga.

Ši sąlyga reiškia, kad intervalo skaidinio gabaliukams be galo mažėjant, apatinė ir viršutinė Darbu sumos tampa lygios kreivinės trapecijos plotui.

Tačiau dažniausiai literatūroje minima būtina ir pakankama funkcijos tam tikrame intervale integruojamumo sąlyga yra ta, kad funkcija turi būti tame intervale dalimis tolydi.

Rymano integralas pasižymi tokiomis savybėmis, kurias gana lengva suprasti, laikant integralą plotu.

• ${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x){\mathsf {d}}x=0.}$ Stačiakampio, kurio viena kraštinė lygi 0, plotas lygus 0.

• Jei ${\displaystyle b<a}$, tai ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\mathsf {d}}x=-\int _{b}^{a}f(x){\mathsf {d}}x}$. T. y. integruojant iš dešinės į kairę, plotas laikomas neigiamu. Taip yra todėl, kad dydžiai ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ integralinėje sumoje yra neigiami.

• Jei ${\displaystyle c\in [a;b]}$, tai ${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x){\mathsf {d}}x+\int _{c}^{b}f(x){\mathsf {d}}x=\int _{a}^{b}f(x){\mathsf {d}}x}$. Plotus galima sudėti, jei jie nesikerta. Dėl praeitos savybės, taip sudėti galima net ir tada, kai ${\displaystyle c}$ yra už intervalo galų, jei tik ten funkcija yra integruojama.

• Jei ${\displaystyle f(x)}$ ir ${\displaystyle g(x)}$ yra integruojamos kažkokiame intervale, tai integruojama ir šių funkcijų sandauga ${\displaystyle f(x)g(x)}$. Atvirkščias teiginys yra neteisingas.

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)+g(x)){\mathsf {d}}x=\int _{a}^{b}f(x){\mathsf {d}}x+\int _{a}^{b}g(x){\mathsf {d}}x.}$

Skaičiuoti Rymano integralą naudojantis apibrėžimu ne visada įmanoma, be to, tai yra labai sudėtinga. Dažniausiai praktikoje naudojama Niutono-Leibnico formulė, kuri sieja neapibrėžtinį integralą su apibrėžtiniu, nors iš esmės tai yra visiškai skirtingi dalykai:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\mathsf {d}}x=F(x)\vert _{a}^{b}=F(b)-F(a).}$

Čia ${\displaystyle F(x)}$ yra viena iš ${\displaystyle f(x)}$ pirmykščių funkcijų. Pavyzdžiui, rasime integralą ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}{\mathsf {d}}x}$, t. y. plotą po parabolės šaka, apribota tiesėmis ${\displaystyle a=0,\;b=1}$:

Iš pradžių surandame:

${\displaystyle \int x^{2}{\mathsf {d}}x={\frac {x^{2+1}}{2+1}}+C={\frac {x^{3}}{3}}+C.}$

Tada į šitą formulę įstatome a ir b reikšmes:

${\displaystyle F(b)={\frac {1^{3}}{3}}+C={\frac {1}{3}}+C.}$

${\displaystyle F(a)={\frac {0^{3}}{3}}+C=C.}$

Tada atimame F(a) iš F(b):

${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{0}^{1}x^{2}{\mathsf {d}}x={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {0^{3}}{3}}={\frac {1}{3}}.}$

Radome plotą esantį po dešine parabolės šaka, kuris apribotas, šiuo atveju, tik viena iš dešinės pusės statmena x ašiai tiese (kurios ilgis yra ${\displaystyle 1^{2}}$).

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}{e^{x}dx \over 4e^{2x}+12e^{x}+34}=\int _{1}^{e}{dt \over 4t^{2}+12t+34}=\int _{1}^{e}{dt \over (2t+3)^{2}+25}={1 \over 2}\int _{5}^{2e+3}{du \over u^{2}+25}=}$

${\displaystyle ={1 \over 10}\arctan {u \over 5}\vert _{5}^{2e+3}={\frac {1}{10}}\arctan {2e+3 \over 5}-{\pi \over 40},}$ kur ${\displaystyle t=e^{x};}$ ${\displaystyle dt=e^{x}dx;}$ ${\displaystyle a=e^{0}=1;}$ ${\displaystyle b=e^{1}=e;}$ ${\displaystyle u=2t+3;}$ ${\displaystyle du=2dt.}$ Apibrėžtinio integralo integravimas dalimis: ${\displaystyle \int _{a}^{b}u\;dv=uv\vert _{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\;du.}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{\pi \over 2}x\sin x\;dx=-x\cos x\vert _{0}^{\pi \over 2}+\int _{0}^{\pi \over 2}\cos x\;dx=\sin x\vert _{0}^{\pi \over 2}=1,}$ kur ${\displaystyle x=u;}$ ${\displaystyle \sin xdx=dv;}$ ${\displaystyle dx=du;}$ ${\displaystyle -\cos x=v.}$

• Apskaičiuosime 100 cm ilgio strypo masę, kai jo ilginis tankis ${\displaystyle \gamma (x)=2+0.001x^{2}}$ ${\displaystyle (g/cm).}$

${\displaystyle m=\int _{0}^{100}(2+0.001x^{2})dx=(2x+{0.001 \over 3}x^{3})|_{0}^{100}=200+{1000 \over 3}=533{1 \over 3}\;(g).}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx.}$ Keičiame ${\displaystyle x=\sin t,}$ ${\displaystyle dx=\cos tdt.}$ Kadangi ${\displaystyle \sin t=0}$, kai ${\displaystyle t=0}$ ir ${\displaystyle \sin t=1,}$ kai ${\displaystyle t={\pi \over 2},}$ tai

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx=\int _{0}^{\pi \over 2}{\sqrt {1-\sin ^{2}t}}\cos tdt=\int _{0}^{\pi \over 2}\cos ^{2}dt=\int _{0}^{\pi \over 2}{1+\cos(2t) \over 2}dt={\pi \over 4}+{1 \over 4}\sin(2t)|_{0}^{\pi \over 2}={\pi \over 4}.}$

• Apskaičiuosime figūros, apribotos kreivių ${\displaystyle y=x^{2}}$ ir ${\displaystyle y=x^{1/2}}$ plotą.

Pirmiausia turime rasti tų kreivių susikirtimo taškų abscises. Tuo tikslu sprendžiame lygtį ${\displaystyle x^{2}=x^{1/2}}$ iš čia ${\displaystyle x_{1}=0,}$ ${\displaystyle x_{2}=1.}$ Tuomet

${\displaystyle S=\int _{0}^{1}({\sqrt {x}}-x^{2})dx={2 \over 3}x^{3 \over 2}|_{0}^{1}-{x^{3} \over 3}|_{0}^{1}={2 \over 3}-{1 \over 3}={1 \over 3}.}$

• Apskaičiuokime figūros, apribotos elipse ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1}$ plotą.

Apskaičiuokime plotą tos figūros dalies, kuri yra pirmajame ketvirtyje, po to gautą rezultatą padauginsime iš 4. Elipsės kanonine lygtį pakeičiame parametrinėmis lygtimis ${\displaystyle x=a\cos t,}$ ${\displaystyle y=\sin t.}$ Piramjame ketvirtyje x kinta nuo 0 iki a, todėl t kinta nuo ${\displaystyle {\pi \over 2}}$ iki 0 (tokias t reikšmes gavome, įrašę į lygtį ${\displaystyle x=a\cos t}$ vietoje x jo reikšmes 0 ir a). Į formulę ${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ydx}$ vietoje y įrašykime ${\displaystyle y=b\sin t,}$ o vietoje ${\displaystyle dx}$ įrašykime ${\displaystyle d(a\cos t)=-a\sin tdt,}$ kadangi ${\displaystyle x=a\cos t.}$ Tuomet

${\displaystyle S=-4\int _{\pi /2}^{0}b\sin ta\sin tdt=4ab\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}tdt=2ab\int _{0}^{\pi /2}(1-\cos(2t))dt=}$ ${\displaystyle =2ab[{\pi \over 2}-\int _{0}^{\pi /2}{\cos(2t) \over 2}d(2t)]=2ab[{\pi \over 2}-{\sin(2t) \over 2}|_{0}^{\pi /2}]=\pi ab.}$

• Apskaičiuosime kūno, apriboto paraboloido ${\displaystyle z=x^{2}+{3 \over 2}y^{2}}$ ir plokštumos ${\displaystyle z=4}$, tūrį.

Jei paraboloidą kirstume plokštuma ${\displaystyle z=const,}$ tai jo pjūvyje gautume elipsę

${\displaystyle x^{2}+{3 \over 2}y^{2}=z,}$ kurios kanoninė lygtis ${\displaystyle {x^{2} \over z}+{y^{2} \over {2 \over 3}z}=1.}$ Tos elipsės pusašės lygios ${\displaystyle a={\sqrt {z}},\;b={\sqrt {2z \over 3}}.}$ Kadangi ${\displaystyle Q(z)=\pi ab}$ (iš ankstesnio pavyzdžio), tai ${\displaystyle Q(z)=\pi {\sqrt {z}}\cdot {\sqrt {2z \over 3}}=\pi z{\sqrt {2 \over 3}}.}$ Tuomet ${\displaystyle V=\int _{0}^{4}\pi {\sqrt {2 \over 3}}zdz=\pi {\sqrt {2 \over 3}}\cdot {z^{2} \over 2}|_{0}^{4}={8\pi {\sqrt {6}} \over 3}.}$

• Apskaičiuosime plotą figūros, apribotos grafikais funkcijų ${\displaystyle y=f_{1}(x)=x}$ ir ${\displaystyle y=f_{2}(x)=2-x^{2}.}$

Rasime abscises taškų susikirtimo tiesės ${\displaystyle y=x}$ su prabole ${\displaystyle y=2-x^{2}.}$ Išsprendę lygtį

${\displaystyle x=2-x^{2},}$ ${\displaystyle -x^{2}-x+2=0,}$ ${\displaystyle D=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4(-1)2=9,}$ ${\displaystyle x_{1,2}={-b\pm {\sqrt {D}} \over 2a}={1\pm 3 \over -2}=-2;1,}$ gauname ${\displaystyle x_{1}=-2,}$ ${\displaystyle x_{2}=1.}$ Tai ir yra integravimo ribos. Ieškomas figūros plotas pagal formulę toks: ${\displaystyle s=\int _{-2}^{1}[f_{2}(x)-f_{1}(x)]dx=\int _{-2}^{1}[(2-x^{2})-x]dx=(2x-{x^{3} \over 3}-{x^{2} \over 2})|_{-2}^{1}=}$ ${\displaystyle =(2-{1 \over 3}-{1 \over 2})-(-4+{8 \over 3}-2)=8-3-{1 \over 2}={9 \over 2}.}$

• Tą patį plotą apribota parabole ${\displaystyle y=2-x^{2}}$ ir tiese ${\displaystyle y=x}$ apskaičiuosime paprastu budu. Surandame su x ašimi susikirtimo tašką parabolės ${\displaystyle 2-x^{2}=0,}$ ${\displaystyle 2=x^{2},}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {2}}.}$ Surandame plotą po parabole kai ${\displaystyle -{\sqrt {2}}\leq x\leq 1:}$

${\displaystyle S_{1}=\int _{-{\sqrt {2}}}^{1}(2-x^{2})dx=(2x-{x^{3} \over 3})|_{-{\sqrt {2}}}^{1}=2-{1 \over 3}-(-2{\sqrt {2}}+{2{\sqrt {2}} \over 3})={5 \over 3}+{4{\sqrt {2}} \over 3};}$

Dabar surandame plotą po parabole nuo ${\displaystyle x=-2}$ iki ${\displaystyle x=-2^{1/2}:}$

${\displaystyle |S_{2}|=|\int _{-2}^{-{\sqrt {2}}}(2-x^{2})dx|=|(2x-{x^{3} \over 3})|_{-2}^{-{\sqrt {2}}}|=|-2{\sqrt {2}}+{2{\sqrt {2}} \over 3}-(-4+{8 \over 3})|=|-{4{\sqrt {2}} \over 3}+{4 \over 3}|={4{\sqrt {2}} \over 3}-{4 \over 3};}$

Dabar iš pirmo ploto po parabole atimame trikampio plotą:

${\displaystyle S_{V}=S_{1}-S_{\Delta _{1}}={5 \over 3}+{4{\sqrt {2}} \over 3}-{1 \over 2}={7 \over 6}+{4{\sqrt {2}} \over 3};}$

Apatinį (ieškomą) plotą trečiajame ketvirtyje gauname atėmę ${\displaystyle |S_{2}|}$ iš trikampio ploto:

${\displaystyle S_{A}=S_{\Delta _{2}}-|S_{2}|={2^{2} \over 2}-({4{\sqrt {2}} \over 3}-{4 \over 3})={10 \over 3}-{4{\sqrt {2}} \over 3};}$

Susumavę viršutinį (virš ašies Ox) ieškomą plotą ${\displaystyle S_{V}}$ ir apatinį (po ašimi Ox) ieškomą plotą ${\displaystyle S_{A}}$ gauname visą ieškomą plotą apribotą parabolės ir tiesės:

${\displaystyle S=S_{V}+S_{A}=({7 \over 6}+{4{\sqrt {2}} \over 3})+({10 \over 3}-{4{\sqrt {2}} \over 3})={81 \over 18}={9 \over 2}.}$

Integralai labai plačiai naudojami praktikoje, ypač tiksliuosiuose moksluose, kaip fizika. Visų apibrėžtinių integralų prasmė yra kažkokia masė, pvz.: plotas, tūris, mechaninis darbas ir t. t.

Tarkime, kad turime kažkokį pastovų dydį ${\displaystyle Q}$, kuris susietas su kažkokiu intervalu ${\displaystyle [a;b]}$ taip, kad skaidant intervalą, skaidosi dydis ${\displaystyle Q}$: ${\displaystyle Q([a;b])=Q([a;c])+Q([c;b])}$. Pvz., jei ${\displaystyle Q}$ laikysime plotu po kreivine trapecija, tai šią savybę aiškiname taip: du nesikertančius plotus galime sudėti ir gausime bendrą plotą. T. y. dydis ${\displaystyle Q}$ yra adityvus. Taip pat tarkime, kad paėmę gana mažą intervalo gabaliuką ${\displaystyle [x;x+\Delta x]\in [a;b]}$ galime užrašyti apytikslę lygybę:

${\displaystyle Q([x;x+\Delta x])\approx q(x)\Delta x.\quad }$

Pavyzdyje su plotu, ${\displaystyle q(x)=f(x)}$, t. y. jeigu paimsime ganėtinai mažą intervalą, tai plotą po kreive jame galime užrašyti kaip stačiakampio plotą. Dydžio nuokrypis neturėtų būti didesnis, nei pirmos eilės nykstamas dydis, t. y.:

${\displaystyle Q([x;x+\Delta x])=q(x)\Delta x+o(\Delta x).\quad }$

Pavyzdyje su plotu taip ir yra – nedarome klaidos didesnės už ${\displaystyle \Delta x}$.

Kadangi dydis ${\displaystyle Q}$ yra adityvus, visą jo vertę gausime sumuodami:

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}Q(\Delta x_{i})=\sum _{i=1}^{n}q(x)\Delta x_{i}+\sum _{i=1}^{n}o(\Delta x_{i}),}$

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}q(x)\Delta x_{i}+o\left(\sum _{i=1}^{n}\Delta x_{i}\right)=}$

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}q(x)\Delta x_{i}+o(b-a)=\sum _{i=1}^{n}q(x)\Delta x_{i}+o(1).}$

Perėje prie ribos, kai didžiausias skaidymo gabaliuko ilgis ${\displaystyle \Delta }$ nyksta, gauname:

${\displaystyle Q=\lim _{\Delta \rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}q(x)\Delta x_{i}+0.}$

Kairėje pusėje ribos galime ir nerašyti, nes ${\displaystyle Q}$ yra pastovus dydis.

Dydis ${\displaystyle \lim _{\Delta \rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}q(x)\Delta x_{i}}$ pagal apibrėžimą yra Rymano integralas.

Taigi gavome universalią formulę adityviems dydžiams skaičiuoti:

${\displaystyle Q=\int _{a}^{b}q(x){\mathsf {d}}x.}$

Toliau pateikiama keletas tokių adityvių dydžių pavyzdžių.

Plotas po kreivine trapecija yra adityvus dydis, o mažas jo gabaliukas apytikriai užrašomas formule:

${\displaystyle \Delta S\approx f(x)\Delta x}$,

taigi:

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}f(x){\mathsf {d}}x.}$

Tarkime turime kažkokį kūną erdvėje. Pjaustome jį plokštumomis statmenomis ${\displaystyle x}$ ašiai. Gauto pjūvio plotą galime užrašyti kaip koordinatės ${\displaystyle x}$ funkciją ${\displaystyle S(x)}$. Tada, pjaustant kūną gana plonais sluoksniais, galime apytikriai užrašyti tokio sluoksnio tūrį:

${\displaystyle \Delta V\approx S(x)\Delta x}$

Taigi visas tūris:

${\displaystyle V=\int _{a}^{b}S(x){\mathsf {d}}x.}$

Kūną nebūtina pjaustyti statmenai ${\displaystyle x}$ ašiai – tinka bet kuri. S(x) ne visada būna konkreti analiziniu būdu užrašoma funkcija (pavyzdžiui, ${\displaystyle S(x)=x^{3}}$). Kartais tai būna nereguliari kreivė (kaip parodytas kaulas paveiksliuke - tokio kitimo analiziškai neįmanoma suintegruoti, tačiau visada galima suintegruoti skaitmeniškai).

Jei kūnas juda išilgai ${\displaystyle x}$ ašies veikiant jėgai ${\displaystyle F(x)}$, tai jėgos atliktą darbą gana mažame intervale galime užrašyti lygybe:

${\displaystyle \Delta A\approx F(x)\Delta x}$

Tada visas darbas:

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}F(x){\mathsf {d}}x.}$

Kai jėga yra pastovi, gauname klasikinę formulę ${\displaystyle A=F\Delta x}$. Jeigu kūnas juda ne tiese, o kažkokia žinoma kreive, reikia naudoti kreivinį integralą.

Integralas taikomas labai plačiai, juo dar galima suskaičiuoti: masę, inercijos momentus, statinius momentus, kūnų paviršiaus plotus ir t. t. Taikant integralą, svarbiausia nepadaryti klaidos, didesnės nei pirmos eilės nykstamas dydis.

• Niutono-Leibnico formulė
• Pagrindinė matematinės analizės teorema
• Neapibrėžtinis integralas