Cramers regel

I lineær algebra er Cramers regel et teorem som gir uttrykk for løsningen til et lineært ligningssystem med like mange ukjente som ligninger, i tilfeller der en entydig løsning eksisterer.

Teoremet er oppkalt etter Gabriel Cramer (1704–1752), som i 1750 publiserte teoremet i verket Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (Introduksjon til analyse av algebraiske kurver). Også Colin Maclaurin beskrev metoden i avhandlingen Treatise of Algebra, utgitt i 1748.

Løsningen av ligningssystemet er uttrykt ved hjelp av determinanten til koeffisientmatrisen, samt determinanter til matriser dannet ved å erstatte en kolonne i koeffisientmatrisen med en vektor lik høyresiden i ligningssystemet.

Cramers regel er ikke praktisk for løsning av ligningssystem der antall ukjente er høyt. Teoremet blir sporadisk benyttet som er teoretisk resultat.

Et lineært ligninssystem med to ukjente kan skrives på forma

${\displaystyle {\begin{matrix}ax+by&={\color {red}e}\\cx+dy&={\color {red}f}\end{matrix}}.}$

På matriseform skrives ligninssystemet som

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}.}$

De to ukjente x og y er gitt ved Cramers regel som

${\displaystyle x={\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}}$

${\displaystyle y={\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}.}$

Tilsvarende skrives et lineært ligningssystem med tre ukjente som

${\displaystyle {\begin{matrix}ax+by+cz&={\color {red}j}\\dx+ey+fz&={\color {red}k}\\gx+hy+iz&={\color {red}l}\end{matrix}}.}$

Matriseforma er

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}$

Cramers regel sier at løsningen for de tre ukjente x og y og z er gitt ved

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}.}$

Et generelt ligningssystem med n ligninger og n ukjente kan skrives på matriseforma

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \,}$

Matrisen A er antatt å være ikke-singulær, slik at determinanten til A er ulik null og en entydig løsning til ligningssystemet eksisterer. Kolonnevektoren x = (x₁, ..., x_n)^T inneholder de ukjente i ligningssystemet.

Cramers regel sier at løsningen av ligningssystemet kan skrives på forma

${\displaystyle x_{k}={\frac {\det A_{k}}{\det A}}\qquad k=1,\ldots ,n\,}$

der A_k er matrisen dannet ved å erstatte kolonne nummer k i matrisen A med kolonnevektoren b.

• C.B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3. 

• Fr Fabricius-Bjerre (1977). Lærebog i geometri. I: Analytisk geometri, lineær algebra. Lyngby: Polyteknisk forlag. ISBN 978-8-7502-0439-8.