Ekstrapolacja (matematyka)

Ekstrapolacja – prognozowanie wartości pewnej zmiennej lub funkcji poza zakresem, dla którego są dostępne dane^[1], przez dopasowanie do istniejących danych pewnej funkcji, następnie wyliczenie jej wartości w szukanym punkcie^[2][3].

Pokrewną metodą jest interpolacja, gdzie po dopasowaniu funkcji wylicza się jej wartość pomiędzy znanymi jej punktami.

Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z parametrem ${\displaystyle h.}$ Wynikiem jej działania jest ${\displaystyle F(h).}$ Z wartością dokładną ma się do czynienia tylko, jeśli ${\displaystyle h=0}$^[4]. Trudności obliczeniowe rosną gdy ${\displaystyle h}$ maleje^[4]. Metoda ta była jedną z idei kluczowych algorytmu Bulirscha-Stoera^[4].

Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia ${\displaystyle (p_{1}<p_{2}<p_{3}<\ldots )}$

${\displaystyle F(h)=a_{0}+a_{1}h^{p_{1}}+a_{2}h^{p_{2}}+a_{3}h^{p_{3}}\dots }$

F(0) ekstrapolujemy na podstawie kilku obliczonych wartości

${\displaystyle F(h_{0}),F(q^{-1}h_{0}),F(q^{-2}h_{0}),F(q^{-3}h_{0})\dots q>1}$

Ekstrapolacja iterowana Richardsona pozwala na utworzenie ciągu funkcji, którego n-ty wyraz ma rozwinięcie:

${\displaystyle F_{n}(h)=a_{0}+a_{n,n}h^{p_{n}}+a_{n,n+1}h^{p_{n+1}}+a_{n,n+2}h^{p_{n+2}}\dots }$

Sposób obliczeń: dana wartość początkowa ${\displaystyle h_{0}}$ i liczba ${\displaystyle q>1,}$ stosuje się wzór rekurencyjny:

${\displaystyle A_{m,0}=F(q^{-m}h_{0})}$ dla ${\displaystyle m=0,1,2\dots }$

${\displaystyle A_{m,k}=A_{m,k-1}+{\frac {A_{m,k-1}-A_{m-1,k-1}}{q^{p_{k}}-1}}}$ dla ${\displaystyle k=1,2,3\dots }$

${\displaystyle F_{n}(h_{0})=A_{n-1,n-1}}$ dla ${\displaystyle n=2,3,4\dots }$

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+hf'(x_{0})+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+\ldots }$

Różnica progresywna

${\displaystyle D_{p}(h)={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=f'(x_{0})+{\frac {h}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{2}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+\ldots }$

${\displaystyle p_{1}=1,p_{2}=2,p_{3}=3,\dots }$

• ekstrapolacja trendów