Relatywistyczny efekt Dopplera

Relatywistyczny efekt Dopplera – efekt Dopplera zachodzący dla światła. Podobnie jak w mechanice klasycznej, relatywistyczny efekt Dopplera prowadzi do zmiany mierzonej przez obserwatora częstotliwości fali (w tym przypadku elektromagnetycznej) względem częstotliwości emitowanej przez źródło. Aby zgodnie z mechaniką relatywistyczną obliczyć taką zmianę, konieczne jest uwzględnienie przewidywanych przez szczególną teorię względności efektów, takich jak dylatacja czasu. Relatywistyczny efekt Dopplera jest szczególnie zauważalny przy względnej prędkości źródła i obserwatora bliskiej prędkości światła w próżni.

Niech źródło promieniowania elektromagnetycznego porusza się względem układu obserwatora ${\displaystyle O}$ z prędkością ${\displaystyle v}$ w takim kierunku, że kąt mierzony w układzie obserwatora między tym kierunkiem a kierunkiem na obserwatora wynosi ${\displaystyle \theta .}$ Jeśli źródło porusza się dokładnie w kierunku obserwatora, ${\displaystyle \theta =0.}$ Załóżmy, że źródło emituje krótkie sygnały z częstością ${\displaystyle f'=1/\Delta t'}$ mierzoną w układzie źródła ${\displaystyle O'.}$ W układzie ${\displaystyle O,}$ na skutek dylatacji czasu, częstość emitowanych sygnałów wynosi ${\displaystyle f=f'/\Gamma ,}$ gdzie ${\displaystyle \Gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ jest czynnikiem Lorentza źródła, ${\displaystyle \beta =v/c}$ jest bezwymiarową prędkością źródła i ${\displaystyle c}$ jest prędkością światła w próżni. Rozważmy jeden z sygnałów wyemitowany w kierunku obserwatora w chwili ${\displaystyle t=0.}$ Zbliża się on do obserwatora z prędkością ${\displaystyle c,}$ tymczasem prędkość zbliżania się źródła do obserwatora wynosi ${\displaystyle v\cos \theta .}$ W momencie emisji kolejnego sygnału ${\displaystyle t=1/f,}$ poprzedni sygnał znajduje się bliżej obserwatora o ${\displaystyle \Delta x=(c-v\cos \theta )/f.}$ Sygnały te zostaną zarejestrowane w odstępie czasowym ${\displaystyle \Delta t_{obs}=\Delta x/c,}$ a więc z częstością

${\displaystyle f_{obs}={\frac {1}{\Delta t_{obs}}}={\frac {f}{1-(v/c)\cos \theta }}={\frac {f'}{\Gamma (1-\beta \cos \theta )}}=Df',}$

gdzie ${\displaystyle D}$ jest czynnikiem Dopplera. W szczególnym przypadku, kiedy źródło porusza się dokładnie w kierunku obserwatora ${\displaystyle (\theta =0),}$ ${\displaystyle D={\sqrt {(1+\beta )/(1-\beta )}}>1,}$ obserwujemy zwiększoną częstość rejestrowanych sygnałów pomimo tego że dylatacja czasu prowadzi do obniżenia częstości emisji. W przypadku źródła poruszającego się w kierunku przeciwnym ${\displaystyle (\theta =180^{\circ }),}$ ${\displaystyle D={\sqrt {(1-\beta )/(1+\beta )}}<1.}$ Obserwowana częstość będzie równa częstości emitowanej ${\displaystyle (D=1)}$ dla obserwatorów spełniających warunek ${\displaystyle \sin \theta ={\sqrt {2/(1+\Gamma )}}.}$ W przybliżeniu nierelatywistycznym ${\displaystyle (\beta \ll 1),\ D=1+\beta \cos \theta .}$

Ruch źródła promieniowania elektromagnetycznego wpływa nie tylko na obserwowaną częstość sygnałów z niego pochodzących, ale także na jego obserwowaną jasność. Aby się o tym przekonać, rozważmy detektor o powierzchni ${\displaystyle \Delta S_{obs},}$ który obserwator skierował prostopadle do kierunku na źródło. Strumień obserwowanego promieniowania jest ilością energii ${\displaystyle \Delta E_{obs}}$ fotonów padających na detektor w czasie ${\displaystyle \Delta t_{obs}.}$ Gęstość strumienia promieniowania wyraża się przez:

${\displaystyle F_{obs}={\frac {\Delta E_{obs}}{\Delta t_{obs}~\Delta S_{obs}}}.}$

Załóżmy, że obserwowane są fotony o jednakowej energii ${\displaystyle E_{obs},}$ zatem ${\displaystyle \Delta E_{obs}=E_{obs}\Delta N_{obs},}$ gdzie ${\displaystyle \Delta N_{obs}}$ jest ilością zaobserwowanych fotonów. Częstość zaobserwowanych fotonów wynosi ${\displaystyle f_{obs}=\Delta N_{obs}/\Delta t_{obs}.}$ Niech ${\displaystyle d}$ będzie odległością do źródła, wówczas powierzchnię detektora można wyrazić przez ${\displaystyle \Delta S_{obs}=d^{2}\Delta \Omega _{obs},}$ gdzie ${\displaystyle \Delta \Omega _{obs}}$ jest kątem bryłowym zajmowanym przez detektor z punktu widzenia źródła w układzie ${\displaystyle O.}$ Gęstość strumienia promieniowania wiąże się z jasnością izotropową, która jest ilością energii wyemitowanej przez źródło w jednostce czasu we wszystkich kierunkach:

${\displaystyle L_{obs}=4\pi d^{2}F_{obs}=f_{obs}E_{obs}{\frac {4\pi }{\Delta \Omega _{obs}}}.}$

Na skutek relatywisticznego efektu Dopplera, ${\displaystyle f_{obs}=Df'}$ oraz ${\displaystyle E_{obs}=DE'.}$ Natomiast w wyniku aberracji promieniowania elektromagnetycznego, ${\displaystyle \Delta \Omega _{obs}=\Delta \Omega '/D^{2}.}$ W efekcie otrzymujemy relatywistyczną transformację jasności poruszającego się źródła:

${\displaystyle L_{obs}=D^{4}f'E'{\frac {4\pi }{\Delta \Omega '}}=D^{4}L'.}$

Nawet jeśli źródło w swoim układzie spoczywającym emituje izotropowo, jego promieniowanie w układzie obserwatora staje się silnie nieizotropowe dla prędkości relatywistycznych. Przykładowo, źródło o prędkości ${\displaystyle \beta =0{,}99}$ ${\displaystyle (\Gamma =7.1)}$ będzie wzmocnione prawie 40 tysięcy razy dla obserwatora, do którego źródło się zbliża, oraz o taki sam czynnik osłabione dla obserwatora, od którego się oddala. Tym właśnie efektem tłumaczy się olbrzymie obserwowane jasności astrofizycznych obiektów wyposażonych w relatywistyczne dżety skierowane w stronę obserwatora, w szczególności blazarów ${\displaystyle (\Gamma =10-40)}$ oraz błysków gamma ${\displaystyle (\Gamma =100-400).}$

Relatywistyczny efekt Dopplera, zwany także efektem Dopplera drugiego rzędu, uwzględnia się na przykład w analizie zjawisk zachodzących w cezowym wzorcu atomowym. Definicja sekundy opiera się na promieniowaniu w nieruchomym atomie cezu. W rzeczywistości promieniujące atomy cezu są w ruchu względem detektora promieniowania, co powoduje relatywistyczne przesunięcie częstotliwości, którego wartość względna jest rzędu – 10⁻¹³.

Wykrycie jakiegokolwiek zjawiska jest możliwe wtedy, gdy do obserwatora dociera sygnał niosący stosowną informację. Sygnałem niosącym informację o efektach relatywistycznych jest sygnał elektromagnetyczny. Jeśli za pomocą tego sygnału obserwator (odbiornik) nieruchomy w R′ obserwuje częstotliwość zegara nieruchomego w R (nadajnik), lecz w układzie R′ poruszającego się względem odbiornika z prędkością v, to dla pełnego opisu zjawiska konieczne staje się także uwzględnienie klasycznego efektu Dopplera.

Zgodnie z ogólną teorią względności, w pobliżu obiektów posiadających masę czas płynie wolniej, niż z dala od nich. Atomy emitujące światło na powierzchni Słońca wysyłają fale, które odbierane na Ziemi mają mniejszą częstotliwość, niż ma to miejsce w przypadku takich samych atomów badanych w laboratorium.

Czynnik Lorentza w odległości ${\displaystyle r}$ od środka masy ${\displaystyle m}$ wynosi w tym przypadku

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {r_{Sch}}{r}}}}},}$

gdzie:

${\displaystyle r_{S}}$ – promień Schwarzschilda ${\displaystyle r_{Sch}={\frac {2Gm}{c^{2}}},}$

${\displaystyle G}$ – stała grawitacji Newtona (6,67×10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²),

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni (3×10⁸ m s⁻¹).

W efekcie częstotliwość fali emitowanej w pobliżu dużej masy i obserwowana z dala od niej i innych mas staje się mniejsza, i wynosi:

${\displaystyle f'=f{\sqrt {1-{\frac {r_{Sch}}{r}}}}.}$

Szczególny przypadek dotyczy sytuacji, gdy promień obiektu o masie ${\displaystyle m}$ zmaleje na tyle, że równy jest promieniowi Schwarzschilda. Tak dzieje się w pobliżu czarnej dziury. Częstotliwość światła wytwarzanego przez źródło wpadające do czarnej dziury stale maleje dążąc do zera. W efekcie otoczenie czarnej dziury staje się niewidoczne dla oddalonego od niej obserwatora. Zjawiska towarzyszące spadaniu materii z ogromną prędkością prowadzą do takiego nagrzewania się otaczającego gwiazdę gazu, że wysyła on promieniowanie świetlne lub rentgenowskie. Jednak najbliższe otoczenie czarnej dziury jest niewidoczne.

 Osobny artykuł: Prawo Hubble’a.

Zgodnie z prawem Hubble’a galaktyki oddalają się od siebie z prędkością proporcjonalną do wzajemnej odległości. W przypadku obserwatora na Ziemi, zależność tę można wyrazić wzorem:

${\displaystyle v=H_{0}\,r,}$

gdzie ${\displaystyle H_{0}}$ ≈ 71 km/s/Mpc to stała Hubble’a.

Zgodnie z kosmologicznym modelem Wielkiego Wybuchu tego typu zależność, prawdziwa dla dostatecznie bliskich obiektów, wynika z faktu rozszerzania się czasoprzestrzeni (por. metryka FLRW). W związku z tym również i fale elektromagnetyczne „rozciągają” się razem z przestrzenią. Kiedy więc np. w odległej galaktyce wybucha supernowa, wysłane przez nią światło może potrzebować wielu miliardów lat, aby dotrzeć do detektorów umieszczonych w teleskopach. W tym czasie przestrzeń, którą przemierzają fale, ulega ekspansji, co zwiększa ich długość. Im dalej jest supernowa, tym większa jest różnica pomiędzy długością fali zarejestrowaną na Ziemi a tą wysłaną przez źródło. Miarą tej zmiany jest przesunięcie ku czerwieni ${\displaystyle z,}$ dane wzorem:

${\displaystyle z={\frac {\lambda _{o}-\lambda _{e}}{\lambda _{e}}},}$

gdzie ${\displaystyle \lambda _{o}}$ to długość fali odebranej, zaś ${\displaystyle \lambda _{e}}$ – wysyłanej.

Dla obiektu oddalającego się od nas z prędkością ${\displaystyle v,}$ powyższe długości fal są powiązane wzorem

${\displaystyle \lambda _{e}\ ={\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}\,\lambda _{o}.}$

• Kinematyka relatywistyczna