Stożek (topologia)

W topologii, w szczególności w topologii algebraicznej, stożkiem ${\displaystyle CX}$ nad przestrzenią topologiczną ${\displaystyle X}$ jest przestrzeń ilorazowa:

${\displaystyle CX=(X\times I)/(X\times \{0\})}$

iloczynu przestrzeni ${\displaystyle X}$ przez przedział jednostkowy ${\displaystyle I=[0,1].}$

Intuicyjnie nad przestrzenią ${\displaystyle X}$ tworzymy walec i ściągamy jeden z końców walca do punktu.

Jeśli ${\displaystyle X}$ jest podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej, to stożek nad ${\displaystyle X}$ jest homeomorficzny z sumą odcinków łączących punkty przestrzeni ${\displaystyle X}$ z pewnym punktem zewnętrznym. W tym sensie stożek topologiczny jest identyczny ze stożkiem geometrycznym. Pojęcie stożka topologicznego jest znacznie bardziej ogólne.

• Stożek nad punktem ${\displaystyle p}$ jest homeomorficzny z przedziałem ${\displaystyle I=[0;1].}$
• Stożek nad dwoma punktami ${\displaystyle 0,1}$ ma kształt litery „V”.
• Stożek nad przedziałem ${\displaystyle I=[0;1]}$ osi rzeczywistej jest trójkątem, zwanym inaczej 2-sympleksem.
• Stożek nad wielokątem ${\displaystyle P}$ jest ostrosłupem o podstawie ${\displaystyle P.}$
• Stożek nad kołem jest stożkiem w sensie geometrii klasycznej.
• Stożek nad okręgiem jest powierzchnia boczna stożka:

${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=z^{2}\land 0\leqslant z\leqslant 1\}.}$

Jest on homeomorficzny z domkniętym kołem.

• Ogólnie, stożek nad n-sferą jest homeomorficzny z domkniętą ${\displaystyle (n+1)}$-kulą.
• Stożek nad ${\displaystyle n}$-sympleksem jest ${\displaystyle (n+1)}$-sympleksem.

Wszystkie stożki są łukowo spójne, ponieważ każdy jego punkt może być połączony odcinkiem z wierzchołkiem stożka. Ponadto każdy stożek jest ściągalny do wierzchołka za pomocą homotopii

${\displaystyle h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s).}$

Stożek jest używany w topologii algebraicznej, bo zawiera przestrzeń ${\displaystyle X}$ jako podprzestrzeń przestrzeni ściągalnej.

Jeśli ${\displaystyle (X,x_{0})}$ jest przestrzenią punktowaną, to istnieje konstrukcja stożka zredukowanego:

${\displaystyle X\times [0,1]/(X\times \{0\})\cup (\left\{x_{0}\right\}\times [0,1])}$

• Stożkiem przekształcenia łańcuchowego ${\displaystyle f\colon K\to L}$ nazywamy kompleks łańcuchowy ${\displaystyle Cf,}$ w którym:

${\displaystyle (Cf)_{n}=L_{n}\oplus K_{n-1},}$

${\displaystyle \partial ^{Cf}(y,x)=(\partial ^{L}y+fx,-\partial ^{K}x),}$ gdzie ${\displaystyle (y,x)\in Cf.}$

Konstrukcji tej odpowiada następująca konstrukcja geometryczna:

w iloczynie wielościanu ${\displaystyle K}$ przez odcinek jednostkowy ${\displaystyle K\times I,}$ gdzie ${\displaystyle I=\langle 0;1\rangle }$ ściągamy do punktu podstawę iloczynu ${\displaystyle K\times \{0\},}$ a drugą podstawę ${\displaystyle K\times \{1\}}$ doklejamy do wielościanu ${\displaystyle L}$ za pomocą przekształcenia ${\displaystyle f\colon K\to L,}$ co sprowadza się do podzielenia sumy rozłącznej wielościanów ${\displaystyle (X\times I)\sqcup Y}$ przez relacje ${\displaystyle (x,0)\sim (x',0)}$ i ${\displaystyle (x,1)\sim f(x)}$ dla dowolnych ${\displaystyle x,x'\in X.}$

Stożek przekształcenia łańcuchowego identycznościowego ${\displaystyle id\colon K\to K}$ nazywa się stożkiem nad kompleksem ${\displaystyle K}$ i oznacza się go ${\displaystyle CK.}$

Ma wtedy miejsce krótki ciąg dokładny:

${\displaystyle 0\to K\ {\xrightarrow {\iota }}\ CK\ {\xrightarrow {\varkappa }}\ K^{+}\to 0}$

gdzie ${\displaystyle K^{+}}$ jest zawieszeniem kompleksu ${\displaystyle K,}$ a ${\displaystyle \iota }$ i ${\displaystyle \varkappa }$ są przekształceniami łańcuchowymi określonymi wzorami:

${\displaystyle \iota y=(y,0),\varkappa (x,y)=x.}$

Odwzorowanie ${\displaystyle X\mapsto CX}$ generuje funktor ${\displaystyle C\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Top} }$ na kategorii przestrzeni topologicznych Top.

• zawieszenie (topologia)

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X. Brak numerów stron w książce
• Dold A.: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972. Brak numerów stron w książce
• Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1980. ISBN 83-01-00415-0. Brak numerów stron w książce