Em matemática e, em especial, na teoria dos grupos , um grupo diedral é o grupo de simetrias de um polígono regular de
n
{\displaystyle n}
D
n
{\displaystyle D_{n}}
D
2
n
{\displaystyle D_{2n}}
D
n
=
⟨
x
,
y
:
x
n
=
1
,
y
2
=
1
,
(
x
y
)
2
=
1
⟩
{\displaystyle D_{n}=\langle x,y:x^{n}=1,y^{2}=1,(xy)^{2}=1\rangle }
D
∞
=
⟨
x
,
y
:
y
2
=
1
,
(
x
y
)
2
=
1
⟩
.
{\displaystyle D_{\infty }=\langle x,y:y^{2}=1,(xy)^{2}=1\rangle .}
[ 1]
Grafos de ciclos
D
1
{\displaystyle D_{1}}
D
2
{\displaystyle D_{2}}
D
3
{\displaystyle D_{3}}
D
4
{\displaystyle D_{4}}
D
5
{\displaystyle D_{5}}
D
6
{\displaystyle D_{6}}
D
7
{\displaystyle D_{7}}
As cinco simetrias não triviais do triângulo equilátero. Seja ABC um triângulo equilátero . Dentre as suas simetrias, temos:
e : o elemento neutro , ou seja, a transformação identidade que leva cada ponto do triângulo nele mesmo.
ρ
1
{\displaystyle \rho _{1}}
A em B , B em C e C em A .
ρ
2
{\displaystyle \rho _{2}}
A em C , C em B e B em A .
σ
A
{\displaystyle \sigma _{A}}
altura que passa por A .
σ
B
{\displaystyle \sigma _{B}}
altura que passa por B .
σ
C
{\displaystyle \sigma _{C}}
altura que passa por C .Não existem outras simetrias. Considerando * como a composição de funções , temos, por exemplo, que
σ
A
∗
ρ
1
{\displaystyle \sigma _{A}*\rho _{1}}
A em C , B em B e C em A , ou seja,
σ
B
=
σ
A
∗
ρ
1
.
{\displaystyle \sigma _{B}=\sigma _{A}*\rho _{1}.}
ρ
1
∗
σ
A
=
σ
C
,
{\displaystyle \rho _{1}*\sigma _{A}=\sigma _{C},}
Grupo de Simetrias do Triângulo Equilátero
⋆
{\displaystyle \star }
e
ρ
1
{\displaystyle \rho _{1}}
ρ
2
{\displaystyle \rho _{2}}
σ
A
{\displaystyle \sigma _{A}}
σ
B
{\displaystyle \sigma _{B}}
σ
C
{\displaystyle \sigma _{C}}
e
e
ρ
1
{\displaystyle \rho _{1}}
ρ
2
{\displaystyle \rho _{2}}
σ
A
{\displaystyle \sigma _{A}}
σ
B
{\displaystyle \sigma _{B}}
σ
C
{\displaystyle \sigma _{C}}
ρ
1
{\displaystyle \rho _{1}}
ρ
1
{\displaystyle \rho _{1}}
ρ
2
{\displaystyle \rho _{2}}
e
σ
C
{\displaystyle \sigma _{C}}
σ
A
{\displaystyle \sigma _{A}}
σ
B
{\displaystyle \sigma _{B}}
ρ
2
{\displaystyle \rho _{2}}
ρ
2
{\displaystyle \rho _{2}}
e
ρ
1
{\displaystyle \rho _{1}}
σ
B
{\displaystyle \sigma _{B}}
σ
C
{\displaystyle \sigma _{C}}
σ
A
{\displaystyle \sigma _{A}}
σ
A
{\displaystyle \sigma _{A}}
σ
A
{\displaystyle \sigma _{A}}
σ
B
{\displaystyle \sigma _{B}}
σ
C
{\displaystyle \sigma _{C}}
e
ρ
1
{\displaystyle \rho _{1}}
ρ
2
{\displaystyle \rho _{2}}
σ
B
{\displaystyle \sigma _{B}}
σ
B
{\displaystyle \sigma _{B}}
σ
C
{\displaystyle \sigma _{C}}
σ
A
{\displaystyle \sigma _{A}}
ρ
2
{\displaystyle \rho _{2}}
e
ρ
1
{\displaystyle \rho _{1}}
σ
C
{\displaystyle \sigma _{C}}
σ
C
{\displaystyle \sigma _{C}}
σ
A
{\displaystyle \sigma _{A}}
σ
B
{\displaystyle \sigma _{B}}
ρ
1
{\displaystyle \rho _{1}}
ρ
2
{\displaystyle \rho _{2}}
e
