Limes (matematika)

Limes je jedan od osnovnih pojmova u matematičkoj analizi.

Neka je ${\displaystyle (a_{n})}$ niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz ${\displaystyle (a_{n})}$ konvergira broju L (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi ${\displaystyle (\forall \epsilon >0(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(n\in \mathbb {N} ,n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-L|<\epsilon )}$. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju L. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz ${\displaystyle (z_{n})}$ možemo pisati kao ${\displaystyle z_{n}=a_{n}+ib_{n}}$, gdje su ${\displaystyle a_{n}}$ i ${\displaystyle b_{n}}$ realni nizovi. Ako niz ${\displaystyle z_{n}}$ konvergira k ${\displaystyle z=a+ib}$, onda vrijedi da je ${\displaystyle \lim _{n}a_{n}=a}$ i isto za niz ${\displaystyle b_{n}}$ (što je lagano za pokazati).

Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.

Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})\subseteq \mathbb {R} }$ takve da ${\displaystyle \lim _{n}a_{n}=A,\lim _{n}b_{n}=B}$ i ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ vrijedi:

${\displaystyle \lim _{n}(a_{n}+b_{n})=A+B}$

${\displaystyle \lim _{n}(c\cdot a_{n})=c\cdot A}$

${\displaystyle \lim _{n}(a_{n}\cdot b_{n})=A\cdot B}$

${\displaystyle B\neq 0\Rightarrow \lim _{n}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {A}{B}}}$

${\displaystyle |\lim _{n}a_{n}|=\lim _{n}|a_{n}|}$

Neka je ${\displaystyle \emptyset \neq I\subseteq \mathbb {R} }$, ${\displaystyle c\in \langle a,b\rangle }$,${\displaystyle \langle a,b\rangle \setminus \{c\}\subseteq I}$ i ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$ funkcija. Kažemo da ƒ ima limes ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ u točki c ili da ƒ konvergira prema L kada x teži prema c ako vrijedi ${\displaystyle ((a_{n})\subseteq \langle a,b\rangle \setminus \{c\},\lim _{n}a_{n}=c\Rightarrow \lim _{n}f(a_{n})=L}$ što pišemo ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=L}$. To možemo izreći na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini c i teži k c, a nije baš c (jer mi ne znamo jeli c u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema L.

Postoji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} ,I\subseteq \mathbb {R} }$. Kažemo da ƒ ima limes ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ u ${\displaystyle c\in I}$ ako vrijedi ${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(x\in I,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon )}$