Trigonometrija

Trigonometrija
Oris Zgodovina Uporaba Funkcije inverzne Posplošena trigonometrija
Sklici
Identitete Natančne konstante Tabele Enotski krog
Zakoni in izreki
Sinusni Kosinusni Tangensni Kotangensni Pitagorov izrek
Infinitezimalni račun
Trigonometrične substitucije Integrali inverzne funkcije Odvodi
p p u

Beseda trigonometríja izhaja iz grških besed trigonon - trikotnik + metria - merjenje. Ta veja matematike se je razvila iz preučevanja trikotnika in odnosov med njegovimi stranicami in koti. K razvoju trigonometrije sta veliko pripomogla astronomija in delitev kroga na 360°. Pri Egipčanih je razvoj trigonometrije potekal vzporedno z gradnjo piramid.

V sredini 15. stoletja je nemški astronom in matematik Regiomontan objavil vse dotedanje znanje trigonometrije, kar je vplivalo na razvoj te veje po vsej Evropi. Razvoj trigonometrije je povezan s tehničnim razvojem.

Osnova trigonometrije so kotne ali trigonometrične funkcije.

Osnovni problem trigonometrije je razreševanje trikotnika - to pomeni računanje velikosti kotov in dolžin daljic (stranic, višin, težiščnic ipd.) v trikotniku. Najpomembnejša pravila, ki jih pri tem uporabljamo v evklidski geometriji, so:

• izrek o vsoti notranjih kotov trikotnika:

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }\!\,}$

• sinusni izrek:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\!\,}$

• kosinusni izrek

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \!\,}$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \!\,}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \!\,}$

Glavni članek: Trigonometrična funkcija.

Trigonometrična razmerja so razmerja med robovi pravokotnega trikotnika. Ta razmerja so podana z naslednjimi trigonometričnimi funkcijami znanega kota A, kjer se a, b in c nanašajo na dolžine stranic na priloženi sliki:

• Sinusna funkcija (sin) je definirana kot razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo.

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {nasprotnakateta}}{\textrm {hipotenuza}}}={\frac {a}{c}}.}$

• Kosinusna funkcija (cos) je definirana kot razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {prileznakateta}}{\textrm {hipotenuza}}}={\frac {b}{c}}.}$

• Tangentna funkcija (tan) je definirana kot razmerje med kotu nasprotno kateto in kotu priležno kateto.

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {nasprotnakateta}}{\textrm {prileznakateta}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/c}{b/c}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.}$

Recipročne vrednosti teh funkcij se imenujejo kosekans (csc), sekans (sec) in kotangens (cot):

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hipotenuza}}{\textrm {nasprotnakateta}}}={\frac {c}{a}},}$

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hipotenuza}}{\textrm {prileznakateta}}}={\frac {c}{b}},}$

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {prileznakateta}}{\textrm {nasprotnakateta}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}$

Trigonometrična razmerja je mogoče predstaviti tudi z uporabo enotskega kroga, ki ima središče v izhodišču koordinatnega sistema in polmer 1.^[1] Od pozitivnega poltraka abscisne osi odmerimo premični poltrak kota A. Točko, kjer premični poltrak seka kotomerno krožnico, označimo s točko (x,y), kjer ${\displaystyle x=\cos A}$ in ${\displaystyle y=\sin A}$.^[1] Ta predstavitev omogoča izračun trigonometričnih vrednosti, kot so na primer te v spodnji tabeli ^[2]

Funkcija	0	${\displaystyle \pi /6}$	${\displaystyle \pi /4}$	${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle \pi /2}$	${\displaystyle 2\pi /3}$	${\displaystyle 3\pi /4}$	${\displaystyle 5\pi /6}$	${\displaystyle \pi }$
sinus	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 0}$
kosinus	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle -1}$
tangens	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	nedefinirano	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 0}$
sekans	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	nedefinirano	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$
kosekans	nedefinirano	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	nedefinirano
kotangens	nedefinirano	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	nedefinirano

Z uporabo enotskega kroga lahko razširimo definicije trigonometričnih razmerij na vse pozitivne in negativne argumente^[3] (glej trigonometrična funkcija).

Naslednja tabela povzema lastnosti grafov šestih glavnih trigonometričnih funkcij:^[4][5]

Funkcija	Obdobje	domena	Razpon	Graf
sinus	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
kosinus	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
tangens	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
sekans	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
kosekans	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
kotangens	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Glavni članek: Krožna funkcija.

Ker je šest glavnih trigonometričnih funkcij periodičnih, niso injektivne in zato niso inverzibilne. Z omejevanjem definicijskega območja trigonometrične funkcije, lahko postanejo inverzibilne.^{[6] :48ff}

Imena inverznih trigonometričnih funkcij, skupaj z njihovimi domenami in obsegom, najdete v naslednji tabeli:^{[7]:48ff[8]:521ff}

Wikimedijina zbirka ponuja več predstavnostnega gradiva o temi: Trigonometrija.