Kubische Gleichung

Kennt man eine Lösung ${\displaystyle x_{1}}$ , so kann man das kubische Polynom mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Schemas durch ${\displaystyle (x-x_{1})}$  dividieren und erhält so ein quadratisches Polynom. Die mit diesem Polynom gebildete quadratische Gleichung kann man mit Hilfe einer Lösungsformel lösen und erhält so die restlichen Lösungen ${\displaystyle x_{2},x_{3}}$  der kubischen Gleichung. Dieses Verfahren ist aber nur für eine rationale Lösung ${\displaystyle x_{1}}$  praktikabel. Bereits bei der irreduziblen Gleichung ${\displaystyle x^{3}-6x-6=0}$  ist das Verfahren mit der noch relativ einfachen Lösung ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}$  nicht mehr praktikabel, da die Koeffizienten der verbleibenden quadratischen Gleichung sehr kompliziert werden. In diesen Fällen lassen sich die Lösungen mit der unten genannten Cardanischen Formel leichter bestimmen.

Sind alle Koeffizienten der kubischen Gleichung ganzzahlig, so kann man versuchen, eine rationale Lösung zu raten, das heißt, durch Probieren zu finden. Ist der führende Koeffizient ${\displaystyle A}$  vom Betrag gleich 1, so kann man die ganzzahligen Teiler des letzten Koeffizienten ${\displaystyle D}$  durchprobieren (auch negative Werte!). Ist ${\displaystyle A}$  von eins verschieden, so müssen alle Brüche, deren Zähler ein Teiler von ${\displaystyle D}$  und deren Nenner ein Teiler von ${\displaystyle A}$  ist, durchprobiert werden. Der Satz über rationale Nullstellen garantiert, dass man mit diesem endlichen Aufwand eine rationale Nullstelle findet, falls eine solche existiert. Sind die Koeffizienten rational, so kann man ganzzahlige Koeffizienten erreichen, indem man die Gleichung mit dem Hauptnenner aller Koeffizienten multipliziert.

Als rationale Lösungen der kubischen Gleichung

${\displaystyle 3x^{3}-8x^{2}-11x+10=0}$ 

kommen nur die ganzzahligen Teiler ${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 5,\pm 10}$  des letzten Koeffizienten sowie ${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}},\pm {\tfrac {2}{3}},\pm {\tfrac {5}{3}},\pm {\tfrac {10}{3}}}$  in Frage. In der Tat ist ${\displaystyle x_{1}={\tfrac {2}{3}}}$  eine Lösung, wovon man sich durch Einsetzen überzeugt. Polynomdivision liefert

${\displaystyle (3x^{3}-8x^{2}-11x+10):(x-{\tfrac {2}{3}})=3x^{2}-6x-15}$ 

und mit der quadratischen Lösungsformel ergeben sich als weitere Lösungen ${\displaystyle x_{2,3}=1\pm {\sqrt {6}}}$ .

Im Folgenden wird angenommen, dass der Koeffizientenring ${\displaystyle R}$  wenigstens ein Integritätsbereich ist, zu dem ein Quotientenkörper gebildet werden kann. In den besonders wichtigen Fällen ist ${\displaystyle R}$  der angeordnete Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$  der reellen Zahlen mit der Ordnungsrelation ${\displaystyle <}$ .

Hat der Koeffizientenring ${\displaystyle R}$  die Charakteristik ${\displaystyle \chi =2}$  oder ${\displaystyle 3~,}$  dann lassen sich die nachfolgenden Formeln, insbesondere die Cardanische, wegen der Divisionen durch ${\displaystyle \chi }$  nicht anwenden – im Fall ${\displaystyle \chi =3}$  lässt sich die Gleichung nicht einmal auf die reduzierte Form bringen.

Ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung der Nullstellen ist die formale Ableitung ${\displaystyle y'}$ , die, wenn sie nicht konstant ist, eine einzige Wurzel hat, denn sie ist im Fall ${\displaystyle \chi =3}$  linear und im Fall ${\displaystyle \chi =2}$  vom Grad 2 mit einer zweifachen Nullstelle. Durch Bilden des größten gemeinsamen Teilers ${\displaystyle \operatorname {ggT} (y,y')}$  kann festgestellt werden, ob ${\displaystyle y}$  mehrfache Nullstellen hat.

Es gibt eine Reihe äquivalenter Umformungen der kubischen Gleichung durch Lineartransformation des Arguments, die es erlauben, diese für das nachfolgende Lösungsverfahren zu vereinfachen (Tschirnhaus-Transformation). Durch Division durch ${\displaystyle A\neq 0}$  kann das Polynom zunächst normiert werden.

${\displaystyle x^{3}+a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0\quad {\text{mit}}\quad a={\frac {B}{A}},\;b={\frac {C}{A}}\;{\text{und}}\;c={\frac {D}{A}}}$ 

Durch Lineartransformation des Arguments mit Hilfe der Substitution ${\displaystyle x=\alpha \cdot z+\beta }$  ergibt sich folgender Term:

${\displaystyle z^{3}+{\frac {3\beta +a}{\alpha }}\cdot z^{2}+{\frac {3\beta ^{2}+2a\beta +b}{\alpha ^{2}}}\cdot z+{\frac {\beta ^{3}+a\beta ^{2}+b\beta +c}{\alpha ^{3}}}=0}$ 

Ist die Charakteristik ${\displaystyle \chi }$  des Koeffizientenrings ${\displaystyle R}$  von 3 verschieden, dann lässt sich das quadratische Glied durch die Wahl von ${\displaystyle \beta =-{\tfrac {a}{3}}}$  beseitigen und man erhält die reduzierte Form der kubischen Gleichung:

${\displaystyle z^{3}+{\frac {p}{\alpha ^{2}}}\cdot z+{\frac {q}{\alpha ^{3}}}=0\quad {\text{mit}}\quad p=b-{\frac {a^{2}}{3}}\quad {\text{und}}\quad q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c}$ 

Die reduzierte Form mit ${\displaystyle \alpha =1}$  kann nun mit Hilfe der Cardanischen Formeln aufgelöst und durch anschließende Rücksubstitution können die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden. Hierdurch ist die Gesamtheit der reellen und komplexen Lösungen zugänglich.

Im Fall, dass das ursprüngliche Polynom nur reelle Koeffizienten hat, kann mithilfe der Diskriminante ${\displaystyle \Delta }$  überprüft werden, ob ausschließlich reelle Lösungen vorliegen:

${\displaystyle \Delta :=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}$ 

Ist ${\displaystyle \Delta \leq 0}$ , so sind alle Lösungen reell. Andernfalls gibt es genau eine reelle Lösung, die andern beiden sind komplex nicht-reell und konjugiert zueinander.

Fall 1:   ${\displaystyle p=0}$ 

Hier wählt man ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{a^{3}-27c}}}$  und erhält ${\displaystyle z^{3}=1}$ . Nach Rücksubstitution ergibt sich eine einzige reelle Lösung zu ${\displaystyle x={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{a^{3}-27c}}-a\right)}$ .

Unterfall 1a:   ${\displaystyle p=0}$  und ${\displaystyle q=0}$ 

Die einzige reelle Lösung ${\displaystyle z=0}$  und ${\displaystyle x=-{\tfrac {a}{3}}}$  hat die Vielfachheit 3.

Eine Lösungsstrategie für die verbleibenden Lösungen, die ohne die Verwendung komplexer Zahlen auskommt, ist die folgende:
Die reduzierte Form wird durch Substitution mit Hilfe einer geeigneten trigonometrischen oder hyperbolischen Funktion so umgeformt, dass sie auf bekannte Additionstheoreme zurückgeführt werden kann.

Geeignete Funktionen sind:

Die aufgeführten Additionstheoreme sind so parametrisiert, dass sie sich in dieselbe kubische Gleichung überführen lassen, die sich mit der reduzierten Form der gegebenen Gleichung

${\displaystyle f(\eta )^{3}+{\frac {p}{\alpha ^{2}}}\cdot f(\eta )+{\frac {q}{\alpha ^{3}}}=0}$ 

zur Deckung bringen lässt. Mithilfe der Setzung ${\displaystyle \sigma :=\operatorname {sgn}(p)}$  erhält man durch Koeffizientenvergleich sofort

${\displaystyle {\frac {3}{4}}\sigma ={\frac {p}{\alpha ^{2}}}\;\Longleftrightarrow \;\alpha =2{\sqrt {\frac {|p|}{3}}}}$      und     ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}f(3\eta )={\frac {q}{\alpha ^{3}}}=q{\frac {3\sigma }{4p}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{|p|}}}={\frac {q}{8}}{\sqrt {\frac {27}{|p^{3}|}}}}$ .

Somit lässt sich ${\displaystyle \eta }$  durch die ursprünglichen Koeffizienten ${\displaystyle p}$  und ${\displaystyle q}$  ausdrücken:

${\displaystyle f(3\eta )=\Gamma \;\Longleftrightarrow \;\eta ={\frac {1}{3}}f^{\langle -1\rangle }\left(\Gamma \right)}$ ,

wobei ${\displaystyle \Gamma :=-{\tfrac {q}{2}}{\sqrt {\tfrac {27}{|p^{3}|}}}=-\operatorname {sgn}(q){\sqrt {\left|{\tfrac {27\Delta }{p^{3}}}-1\right|}}}$  gesetzt ist und ${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$  eine zugehörige Arkus- oder Areafunktion bezeichnet. Durch Rücksubstitution kann dann die endgültige Lösung der kubischen Gleichung ermittelt werden. Aus ${\displaystyle \alpha =2{\sqrt {\tfrac {|p|}{3}}}={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {|a^{2}-3b|}}}$ , ${\displaystyle \beta =-{\tfrac {a}{3}}}$  und ${\displaystyle z=f(\eta )}$  erhält man somit

${\displaystyle x=\alpha z+\beta ={\tfrac {1}{3}}\left(2{\sqrt {|a^{2}-3b|}}\cdot f(\eta )-a\right)}$ .

Als erstes bestimmt das Vorzeichen von ${\displaystyle p}$  die Wahl der Substitutionsfunktion ${\displaystyle f}$ , in zweiter Linie ${\displaystyle \Gamma }$ , das im reellen Wertebereich von ${\displaystyle f}$  liegen muss.

Fall 2:   ${\displaystyle \Delta \leq 0}$    (woraus   ${\displaystyle p<0}$    und   ${\displaystyle \left|\Gamma \right|\leq 1}$    folgt):

Substitution mit ${\displaystyle z:=\cos {\eta }}$ , entspricht ${\displaystyle \cos {3\eta }=\Gamma .}$ 

Es ergeben sich drei mögliche Lösungen zu

${\displaystyle x_{k}={\tfrac {1}{3}}\left(2{\sqrt {a^{2}-3b}}\cdot \cos {\eta _{k}}-a\right)}$  mit ${\displaystyle \eta _{k}={\tfrac {1}{3}}\left(\arccos {\left(\Gamma \right)}+2k\pi \right)}$  und ${\displaystyle k\in \{0;1;2\}}$ 

Unterfall 2a:   ${\displaystyle \Delta =0}$    (woraus   ${\displaystyle \left|\Gamma \right|=1}$    folgt):

Es gibt nur zwei Lösungen. Die reduzierte Form vereinfacht sich zu ${\displaystyle 0=z^{3}-{\tfrac {3}{4}}z\mp {\tfrac {1}{4}}=(z\mp 1)\left(z\pm {\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}$ . Aus den Linearfaktoren lassen sich nun direkt die zwei Lösungen ${\displaystyle z_{1}=\pm 1}$  und ${\displaystyle z_{2}=\mp {\tfrac {1}{2}}}$  ablesen. Zum selben Ergebnis führt ${\displaystyle 3\eta =\pm \operatorname {arccos} (\pm 1)\in \{0,\pi \}}$ , also ${\displaystyle \eta \in \left\{0,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}\right\}}$  bzw. ${\displaystyle \eta \in \left\{\pi ,\pm {\tfrac {\pi }{3}}\right\}}$ . Entsprechend ist ${\displaystyle x_{1}={\tfrac {1}{3}}\left(2{\sqrt {a^{2}-3b}}-a\right)}$  und ${\displaystyle x_{2}=-{\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt {a^{2}-3b}}+a\right)}$ . Die letztere Lösung hat die Vielfachheit 2.

Fall 3:   ${\displaystyle \Delta >0}$    und   ${\displaystyle p<0}$    (woraus   ${\displaystyle |\Gamma |>1}$    und   ${\displaystyle q\neq 0}$    folgt):

Substitution mit ${\displaystyle z:=\left(-\operatorname {sgn}(q)\cosh \right)(\eta )}$ , entspricht ${\displaystyle \left(-\operatorname {sgn}(q)\cosh \right)(3\eta )=\Gamma =-{\tfrac {q}{2}}{\sqrt {\tfrac {27}{|p^{3}|}}}}$ , also ${\displaystyle \cosh(3\eta )=|\Gamma |.}$ 

Zunächst hat man zwei Lösungen ${\displaystyle 3\eta =\pm \operatorname {arcosh} \left(|\Gamma |\right)}$ , die wegen ${\displaystyle \cosh(\pm \eta )=\cosh \eta }$  wieder in eins geworfen werden. Also: ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{3}}\left(2{\sqrt {a^{2}-3b}}\cdot \operatorname {sgn}(q)\cosh {\eta }+a\right)}$  mit ${\displaystyle \eta ={\tfrac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left(\left|\Gamma \right|\right)}$ .

Grenzfall 3a:   ${\displaystyle \Delta =0}$    und   ${\displaystyle p<0}$    (woraus   ${\displaystyle \Gamma =\pm 1}$    folgt):

${\displaystyle 3\eta =\pm \operatorname {arcosh} (1)=0}$ , also ${\displaystyle \eta =0}$  und ${\displaystyle x_{1}={\tfrac {1}{3}}\left(2{\sqrt {a^{2}-3b}}-a\right)}$ .
Bemerkung:
Die zwei anderen (rein-imaginären) Lösungen ${\displaystyle 3\eta =\pm 2\pi \mathrm {i} }$  von ${\displaystyle \cosh(3\eta )=1}$  werden durch die Anwendung von ${\displaystyle \cosh }$  ins Reelle zurückgeworfen: ${\displaystyle \cosh(\eta )=\cosh \left(\pm {\tfrac {2\pi \mathrm {i} }{3}}\right)=-{\tfrac {1}{2}}}$ . Das Ergebnis ist wie im Unterfall 2a: ${\displaystyle z_{1}=-\operatorname {sgn}(q)\cosh(0)=-\operatorname {sgn}(q)}$  und ${\displaystyle z_{2}=-\operatorname {sgn}(q)\cosh \left(\pm {\tfrac {2\pi \mathrm {i} }{3}}\right)={\tfrac {\operatorname {sgn}(q)}{2}}}$ .

Fall 4:   ${\displaystyle \Delta >0}$    und   ${\displaystyle p>0}$ :

Substitution mit ${\displaystyle z:=\sinh {\eta }}$ , entspricht ${\displaystyle \sinh {3\eta }=\Gamma .}$ 

Als Ergebnis folgt:

${\displaystyle x={\frac {1}{3}}\left(2{\sqrt {3b-a^{2}}}\cdot \sinh {\eta }-a\right)}$  mit ${\displaystyle \eta ={\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} {(\Gamma )}}$ 

Es ergibt sich eine reelle Lösung.

Eine Lösungsformel über die Zerlegung ${\displaystyle x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=(x-x_{1})(x^{2}+px+q)}$  ist:

Nach den Setzungen
 ${\displaystyle a:=12a_{1}^{3}-3a_{1}^{2}a_{2}^{2}-54a_{1}a_{2}a_{0}+81a_{0}^{2}+12a_{0}a_{2}^{3}}$  und
 ${\displaystyle b:={\sqrt[{3}]{36a_{1}a_{2}-108a_{0}-8a_{2}^{3}+12{\sqrt {a}}}}}$  ist

${\displaystyle x_{1}={\frac {b^{2}-12a_{1}+4a_{2}^{2}-2a_{2}b}{6b}}}$ 
${\displaystyle p=-{\frac {1}{6}}{\frac {-b^{2}+12a_{1}-4a_{2}^{2}-4a_{2}b}{b}}}$ 
${\displaystyle q={\frac {1}{3}}{\frac {a_{1}a_{2}b-9ba_{0}+b{\sqrt {a}}+b^{2}a_{1}-2a_{1}a_{2}^{2}-18a_{2}a_{0}+2a_{2}{\sqrt {a}}+12a_{1}^{2}}{b^{2}}}}$ 

   ${\displaystyle x_{2}}$  und ${\displaystyle x_{3}}$  berechnet sich dann nach der Formel:
${\displaystyle x_{2}=-{\frac {p}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {-{\Bigl (}{\frac {p}{2}}{\Bigr )}^{2}+q}}}$ 
${\displaystyle x_{3}=-{\frac {p}{2}}-\mathrm {i} {\sqrt {-{\Bigl (}{\frac {p}{2}}{\Bigr )}^{2}+q}}}$ 
Für ${\displaystyle a=r\,(\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi )}$  ist zu wählen: ${\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt {r}}(\cos {\frac {\varphi }{2}}+\mathrm {i} \sin {\frac {\varphi }{2}})}$  und ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\frac {\varphi }{3}}+\mathrm {i} \sin {\frac {\varphi }{3}})}$  (${\displaystyle r,{\sqrt {r}},{\sqrt[{3}]{r}}}$  positiv).

Beispiel 1: Für ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-2=0}$  ergibt sich:

${\displaystyle a=441}$ , ${\displaystyle b=8}$ ,  ${\displaystyle p=1}$ , ${\displaystyle q=1}$ 
${\displaystyle x_{1}=2}$ 
${\displaystyle x_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}}$ 
${\displaystyle x_{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}}$ 

Beispiel 2: Für ${\displaystyle x^{3}-3x^{2}-3x-1=0}$  ergibt sich:

${\displaystyle a=324}$ , ${\displaystyle b=6{\sqrt[{3}]{4}}}$ ,  ${\displaystyle p={\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{3}]{2}}-2}$ , ${\displaystyle q={\sqrt[{3}]{2}}-1}$ 
${\displaystyle x_{1}={\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{3}]{2}}+1}$ 
${\displaystyle x_{2}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}+1+{\frac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {6{\sqrt[{3}]{2}}-12+3{\sqrt[{3}]{4}}}}}$ 
${\displaystyle x_{3}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}+1-{\frac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {6{\sqrt[{3}]{2}}-12+3{\sqrt[{3}]{4}}}}}$ 

Beispiel 3: Für ${\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-2=0}$  ergibt sich:

${\displaystyle a=-24}$ , ${\displaystyle b=1+3{\sqrt {2}}+({\sqrt {6}}-{\sqrt {3}})\mathrm {i} }$ ,  ${\displaystyle p=1+{\sqrt {2}}}$ , ${\displaystyle q={\sqrt {2}}}$ 
${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}}$ 
${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {2}}}$ 
${\displaystyle x_{3}=-1}$ 

Beispiel 4: Für ${\displaystyle x^{3}+4x^{2}+2x-4=0}$  ergibt sich:

${\displaystyle a=-144}$ , ${\displaystyle b=1+3{\sqrt {3}}+(3-{\sqrt {3}})\mathrm {i} }$ ,  ${\displaystyle p=3+{\sqrt {3}}}$ , ${\displaystyle q=2+2{\sqrt {3}}}$ 
${\displaystyle x_{1}=-1+{\sqrt {3}}}$ 
${\displaystyle x_{2}=-1-{\sqrt {3}}}$ 
${\displaystyle x_{3}=-2}$ 

Die Methode von Deiters und Macías-Salinas^[1] bringt die kubische Funktion zunächst einmal in die Form ${\displaystyle f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$  und verwendet dann die Laguerre-Samuelson-Ungleichung^[2], um Schranken für die Lösungen zu finden.

${\displaystyle x_{\mathrm {u,o} }:=x_{\mathrm {infl} }\pm {\frac {2}{3}}{\sqrt {d}}}$ .

Hierbei ist ${\displaystyle d:=a_{2}^{2}-3a_{1}}$ , und ${\displaystyle x_{\mathrm {infl} }:=-a_{2}/3}$  ist der Abszissenwert des Wendepunkts. Dann sind folgende Fälle zu unterscheiden:

1. ${\displaystyle f(x_{\mathrm {infl} })=0}$ : Dann ist die Wendestelle die erste Lösung, ${\displaystyle x_{1}=x_{\mathrm {infl} }}$ .
2. ${\displaystyle d=0}$ : Dann ist ${\displaystyle x_{1}=x_{\mathrm {infl} }-{\sqrt[{3}]{f(x_{\mathrm {infl} })}}}$  eine Lösung.
3. Andernfalls wird iterativ eine Näherungslösung ${\displaystyle x_{1}}$  bestimmt. Dies geschieht ausgehend vom Startwert

${\displaystyle x_{1,\mathrm {init} }={\begin{cases}x_{\mathrm {u} }&{\text{wenn }}d>0\land f(x_{\mathrm {infl} })>0\\x_{\mathrm {infl} }&{\text{wenn }}d<0\\x_{\mathrm {o} }&{\text{wenn }}d>0\land f(x_{\mathrm {infl} })<0\end{cases}}}$ 

mit dem Halley-Verfahren:

${\displaystyle x_{1}\;\;\;\leftarrow \;x_{1}-{\frac {f(x_{1})f^{\prime }(x_{1})}{f^{\prime }(x_{1})^{\,2}-{\frac {1}{2}}f(x_{1})f^{\prime \prime }(x_{1})}}}$ .

Anschließend wird durch Polynomdivision die quadratische Funktion ${\displaystyle g(x)={\bigl (}f(x)-e{\bigr )}/(x-x_{1})}$  (mit kleinem ${\displaystyle e:=f(x_{1})}$ , dessen Betrag von der erzielten Genauigkeit abhängt) gebildet, deren Nullstellen (im Fall ${\displaystyle e=0}$ ) direkt ausgerechnet werden können:

${\displaystyle g(x)=x^{2}+b_{1}x+b_{0}}$  mit ${\displaystyle b_{1}=x_{1}+a_{2}}$  und ${\displaystyle b_{0}=b_{1}x_{1}+a_{1}}$ .

Bei sorgfältiger Implementierung (siehe revidierte Zusatzinformationen zur Originalpublikation^[3]) ist dieses Verfahren auf modernen Prozessoren (2014, Architektur x86-64) um den Faktor 1,2 bis 10 schneller als die auf vergleichbare Genauigkeit ausgewerteten Cardanischen Formeln.

• Lineare Gleichung
• Quartische Gleichung
• Omar Chajjam
• Cardanische Formeln

• Online-Tool zum Berechnen von Polynomen n-ter Ordnung
• Kubische Gleichung – JavaScript, Archivlink abgerufen am 28. Februar 2022
• Berechnungen mit Beispielen von Joachim Mohr

• Peter Gabriel: Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-5376-7. 

1. ↑ U. K. Deiters, R. Macías-Salinas: Calculation of densities from cubic equations of state: revisited. In: Ind. Eng. Chem. Res. Band 53, 2014, S. 2529–2536, doi:10.1021/ie4038664. 
2. ↑ Paul Samuelson: How Deviant Can You Be? In: Journal of the American Statistical Association. 63. Jahrgang, Nr. 324, 1968, S. 1522–1525, doi:10.2307/2285901. 
   S. a. Samuelson’s inequality in der englischen Wikipedia, zugegriffen am 2016-06-10
3. ↑ Cubic rootfinder using Halley’s method: C/C++ program code. Abgerufen am 5. Juni 2023.