Topologia degli interi equispaziati

In topologia generale, una branca della matematica, la topologia degli interi equispaziati è la topologia sull'insieme dei numeri interi generata dalla famiglia delle progressioni aritmetiche.^[1] Questa particolare topologia è stata introdotta da Fürstenberg nel 1955 per provare l'infinità dei numeri primi.

Per ogni coppia di interi ${\displaystyle a,b}$ poniamo ${\displaystyle a\mathbb {Z} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {Z} \}}$, allora la topologia ${\displaystyle \tau }$ degli interi equispaziati è la topologia di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ che ha come base ${\displaystyle \{a\mathbb {Z} +b:a,b\in \mathbb {Z} {\mbox{ con }}a\neq 0\}}$. In altri termini gli aperti di ${\displaystyle \tau }$ sono tutti e soli gli insiemi che sono unione di insiemi del tipo ${\displaystyle a\mathbb {Z} +b}$ con ${\displaystyle a,b}$ interi e ${\displaystyle a\neq 0}$.

Lo spazio topologico ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\tau )}$ ha alcune interessanti proprietà:

• L'insieme ${\displaystyle a\mathbb {Z} +b}$ è chiuso-aperto per ogni ${\displaystyle a,b}$ interi con ${\displaystyle a\neq 0}$; usando ciò si può dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi, infatti detto ${\displaystyle \mathbb {P} }$ l'insieme dei primi si ha

${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\in \mathbb {P} }(p\mathbb {Z} +0)}$

se per assurdo i primi fossero finiti allora il secondo membro sarebbe chiuso, quindi ${\displaystyle \{-1,1\}}$ sarebbe aperto ma cioè non è possibile poiché chiaramente non è unione di insiemi del tipo ${\displaystyle a\mathbb {Z} +b}$ con ${\displaystyle a,b}$ interi e ${\displaystyle a\neq 0}$, essendo un insieme finito.

• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\tau )}$ è totalmente disconnesso, non è né compatto né localmente compatto, è metrizzabile e una sua metrica è quella indotta dalla norma

${\displaystyle \|x\|:=\inf _{n\in \mathbb {N} ^{+}}\left\{{\frac {1}{n}}\,:\,n!\;{\mbox{ divide }}\;x\right\}}$

• Harry Fürstenberg, On the infinitude of primes, in American Mathematical Monthly, vol. 62, n. 5, Mathematical Association of America, 1955, pp. 353, DOI:10.2307/2307043, JSTOR 2307043.
• L. A. Steen e J. A. Seebach, Counterexamples in Topology, Dover, 1995, pp. 80–81, ISBN 0-486-68735-X.

V · D · M Topologia
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